函数零点问题（知识清单+5典例+7方法技巧+分层训练）原卷版-2027届高考数学一轮复习

第14讲函数零点问题

(知识清单+5典例精讲+7方法技巧+分层训练)

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近3年考查情况题型分值

零点存在性判定、零点个数判断，利用/(a)-fW<0判断区间零点单选、填空5分

题

基础零点求解、零点与方程根的等价转化/(x)=0«方程根单选题5分

数形结合判断零点个数，转化/(%)=9(%)交点问题填空题5分

复合函数零点、零点存在区间判断，结合单调性判定唯一零点单选、多选5分/6分

题

二分法区间判定、零点近似区间缩选，中点公式&二•应用单选题5分

导数与零点综合，已知零点个数求参数范围，利用函数最值正负判定零点解答题5分/12分

指对函数零点问题、零点大小比较，结合函数单调性分析零点分布单选题5分

含参函数零点存在性问题，利用/(a)­/(b)<0求参数取值范围填空题5分

多零点存在性证明、零点个数讨论，结合导数分析函数极值与零点关系解答题5分/12分

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【知识点01】函数的零点与方程的解

(1)函数零点的概念

对于一般函数y=r(k),我们把使fGd=0的实数X叫做函数y=M力的零点.

(2)函数零点与方程实数解的关系

方程/(A)=0有实数解=函数j，=f(x)有零点=函数7=f(x)的图象与x轴有公共点.

(3)函数零点存在定理

如果函数y=r（x）在区间［a,句上的图象是一条连续不断的曲线，且有八a"S）〈O,那么，函数y=1（x）在区间（a"）

内至少有一个零点，即存在ce（a"）,使得Ac）=0,这个。也就是方程f（x）=0的解.

［例1］求函数/■（%）=/_5%+6的零点。

【知识点02】二分法

对于在区间［同句上图象连续不断且r（a）/U）〈0的函数y=/（x）,通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所

得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.

【例2】已知函数/（X）=x3-2x-1在区间（1,2）内存在唯一零点，用二分法确定第一次缩小区间。

0L典例精讲

【题型一】求函数的零点

【例1】（2025•河北邯郸•一模）已知函数/"）的定义域为（0,+功，％,£«（）,+8）,且

玉内2，（』-修）［/（改）-/（2）］＞。，若//（%）+-=1，则，（力的零点为（）

X

A.-B.!C.ID.2

32

【例2】（多选）（2025.广东广州•三模）函数/（力=奴2+2（,而±0）的图象被称为牛顿三叉戟曲线，以下图象可能

X

为函数/（X）的图象的是（）

【例3】（2025・山东•模拟预测）函数/a）=lgx+lg（x-3）-l的零点为

【变式1]（2026・河南濮阳—模）已知函数/（幻=2'+4-1送（1）=1理2工+工一1,/7（外=/+工一1的零点分别为。力,。,

则Ac的大小顺序为（）

A.b>c>aB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

【变式2]（多选）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（)

A.y=cosxB.尸乎+sinxC.)，=岫

D.y=x2+l

【变式3】（2025•全国•模拟预测）我们不妨定义：使函数值为。的自变量的值，称为该函数的零点.例如：函数

y=d_i的零点为I和7.若函数y="+2）（x+3）+〃?的零点是a和£,则函数y=（x-a）（x-⑼一毛的零点是

【题型二】求函数零点或方程根的个数

【例4】（多选）（2。24・新课标II卷•高考真题）对于函数“吁心和如）*2可），下列说法中正确的有

()

A.与8。）有相同的零点B./（x）与以x）有相同的最大值

c./（A-）与g（x）有相同的最小正周期D./（X）与g（x）的图象有相同的对称轴

【例5】（2026•山西晋中•模拟预测）定义域为R的函数/（x）满足〃x+l）=2/（x）,当x«0,l）时，/（x）=x2,则

当xe（-4,96）时，函数y=2〃x）-x-1的零点个数为（）

A.95B.96C.97D.98

aex~a

【例6】（2024.广东.一模）已知0<avl,函数/（幻=(xwO).

⑴求了⑶的单调区间.

(2)讨论方程f(x)=a的根的个数.

【变式1](2024.河南•二模)已知函数“X)是偶函数，对任意xeR,均有/(x)=/(x+2),当xe[0,l]时,

f(x)=\-x,则函数g(x)=/(x)-log5(x+l)的零点有个.

【变式2】(2026•江苏徐州•模拟预测)设函数/(x)和晨x)的定义域为。，若存在非零实数&£。，使得

/(k)+g(&)=0.则称函数和g("在。卜.具有件质P.现有下列三组函数:

@/(A-)=X,g(x)=f；②〃力=2-1g(x)=-ev；③f(x)=2",g(x)=-2x.

其中具有性质P的是______.(填序号)

【变式3】(2025・安徽•一模)已知函数/(x)=l-4sinA-cos2x,aeR.

(1)若a=2,求/(X)在(0,兀)上的极大值；

/\

⑵若函数g("=/(K)-/5+X，讨论函数g")在[°，可上零点的个数.

I47

【题型三】函数零点存在性定理

【例7】(2026•山东泰安•一模)函数f(x)=(x-1)2—26的零点所在的大致区间为()

A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,5)

【例8】(多选)(2025•甘肃兰州•一噗)已知函数/(x)=1000Hl(X)和双幻=”加，以下判断正确的是()

A.函数)，=/(x)-g0)在区间(iWFOOT0000)内有唯一的零点

B.%£(1000“叫+动时，f(x)>g(x)

C.%£(2000“叫y)时，g(x)>2f(x)

D.存在正实数，，当xw(a,y)时，对于任意大于1的正实数MgW>Nf(x)

【例9】(2025・湖南•模拟预测)己知f(x)=x+W，若/(力=/2在［立，近］上有解，则〃+/的最小值是

【变式1］(2026•黑龙江齐齐哈尔•二模)函数/(x)=3'+x+a,若/(。)=0,贝心的取值范围为()

A.(-3,-2)B.(-2,-1)C.(-1,0)D,(0,1)

【变式2］(2025•江苏苏州•模拟预测)已知函数f(x)=W+or+2,若/*)在㈠」)有唯一的极值点且为极大

值点，则〃的取值范围为____________.

【变式3】(2026•浙江•模拟预测)已知函数/a)=e'sinx.

⑴求函数/(x)的单调区间；

(2)试判断曲线)，=/(x)与直线)=工在［0,兀］上公共点的个数；

【题型四】函数零点的分布

【例10】(2024•全国甲卷•高考真题)曲线)，=丁-3%与y=-(x-l)2+〃在(0,转)上有两个不同的交点，则。的取值

范围为.

【例11】(2026•河南南阳•二模)已知函数/")=2sin(g-(卜①〉。)，若在区间［(),2可上恰有5个零点，则

出的取值范围是()

BIZ]172125空]

A.858jT'8C.8'8JD.TTTJ

【例12](多选)已知函数/(X)为定义在R上的单调函数，且/(/(可-2'-2"=10.若函数

f(x)-2x-a,x<0,

g(x)h|二—。有3个零点,则”的取值可能为()

【变式1](2026•河北沧州•一模)已知函数/(6=竺2二2：[；，若函数y=/(/M)至少有7个零点，则实数。

的取值范围为()

A.(-2,+co)B.(-oo,2]C.[-2,0)D.(-00,-2]

【变式2](2025•山西临汾・二模)已知。>0,函数/6)=*','g(.r)=at-%若函数2(x)=/(x)—g(x)

ax2+x",0.

有三个零点，则实数。的取值范围是.

【变式3](2024.河南.模拟预测)设。>0且"1,函数/(x)=lo&(xf,ga)=k>g°(2x+f)(rwR).

(1)当"1时，求不等式2/(工)4g(x)的解集；

⑵若函数〃3="佝+〃+2/+2在区间(1,3]上有零点，求/的取值范围.

【题型五】用二分法求方程的近似解

【例13】(2025•广东汕头・模拟预测)用二分法求函数/(x)=hr+〃-6在(2,3)内的零点近似值，若精确度要求为

0.1,则霜重复相同步骤的次数至少为()

A.3B.4C.5D.6

【例14】(多选)(2024•广东东莞•模拟预测)下列说法正确的是()

A.方程e，=8-；的解在(1,2)内

B.函数==^7-6的零点是(3,0),(-2,0)

C.函数有三个不同的零点

D.用二分法求函数/(外=3'+31-8在区间(1,2)内零点近似值的过程中得到了⑴<0J(1.5)>0J(L25)<0,则零

点近似值在区间(L25,1.5)上

【例15】已知方程喙丫=3-1的根在区间(2,3)上，第一次用二分法求其近似解时，其根所在区间应为.

【变式1】用二分法求方程嗔产-1=0近似解时，所取的第一个区间可以是()

2x

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【变式2】(多选)(2024.江苏无锡.模拟预测)下列命题错误的是()

A.当〃=0时，函数y=父的图象是一条直线

B.命题“也<1,都有的<1”的否定是“都乱，使得dzi”

仁川二分法求函数/(耳=12+2]-6在区间(2,3)内的零点近似值，至少经过4次二分后精确度达到0.1

D.某同学用二分法求函数/(x)=2'+3x—7的零点时，计算出如下结果：/(1.5)«0.33,/(1.25)^-().87,

“1.375)=-0.28,/(1.4375卜0.02,7(1.40625卜-0.13,/(1.421875卜-0.06,则1.375和1.4都是精确度为

0.1的近似零点

【变式3】若函数〃刈=(。+2)/+2G十1有零点，但不能用二分法求其零点，则实数〃的值为.

仁方法技巧

【解题大招01】零点等价转化技巧

将零点问题、方程根问题、图象交点问题三者互相转化，是解决所有零点题型的通用思路

【例1】判断方程2、=x+2零点个数

【解题大招02］零点存在性快速判定技巧

连续函数区间端点函数值异号，则区间内必有零点；若函数单调，则零点唯一。

核心公式

fCO在“口连续,f(a)<0=>3x0e(a.b),f(Xo)=0.

【例2】判断/'(%)=x3+x-1在区间(0,1)内零点情况

【解题大招03］零点个数数形结合速判技巧

复杂方程不求解，拆分两个初等函数，利用图象交点个数判定零点个数，规避箕杂运算。

转化思路

/'(%)=0=g(x)=交点个数即为零点个数

［例3］求函数/(x)=Inx+2x-6零点个数

【解题大招04】区间存在零点求参数技巧

一次、二次函数在开区间存在零点，优先使用端点异号法列不等式求解参数范围。

核心结论

一次函数/(x)=kx+b在(犯")存在零点=f(m)•/(n)<0

【例4】已知/(X)=mx+2在(1,3)内存在零点，求m的取值范围

【解题大招05］二分法区间快速锁定技巧

区间中点，代入函数判断符号，依据异号缩小区间。

核心公式.=今-

判定规则‘(°)"~)<0=零点ES'"°)

》(见)・/(力)<。=零点€Qo，b)

【例5】已知f(x)在(2,3)有零点,/(2)<0,/(2.5)>0,锁定零点区间

【解题大招06】复合函数零点分层换元技巧

由外到内分层换元，先解外层方程，再回代求解内层方程，分层计数不重不漏。

解题步骤

令t=g(x),先解/(t)=0,再解g(x)=t

【例6】求/(%)=(x2-2)2-1=0的零点个数

【解题大招071零点有无最值判定技巧

利用函数最值正负，快速判定区间内有无零点，规避繁琐讨论。

核心结论

1.fMnin>。=区间内无零点

2.fMnax<0=>区间内无零点

【例7］判断/(x)=x2-2%+2有无零点

会分层训练

【基础过关】(共8题)

一、单选题

1.（2026.内蒙古赤峰•一模）己知函数〃力=1+2]-3，"咒则方程/（小3=0根的个数为（）

Inx,x>0

A.0B.1C.2D.3

2.（2026.山东青岛.三模）函数〃x）=cos,+"在[（）,可的零点个数为（）

A.1个R.2个C.3个D.4个

3.（2024•新课标H卷•高考真题）设函数g*）=cosx+2aL当xw（T」）时，曲线），=/（©与

y=g（x）恰有一个交点，则。=（）

A.-1B.gC.ID.2

二、多选题

4.（2024•贵州遵义・模拟预测）已知函数〃%）=为％£卜1』,函数g（x）=2f-下列选项正确的是（）

A.方程〃g（x））=0无实数解

B.方程/（工）+g（"=0有且仅有两个解

C.方程/（x>g（x）=0有且仅有三个解

D.方程g（/（x））=0有且仅有四个解

三、填空题

r

5.（2025・全国•模拟预测）已知函数/"）=]:；有三个零点，则实数。的取值范围是______.

2-x-2a,x>（i

6.（2025•广东江门•一模）若多项式/㈤=/+2/+〃/+”-1能被整除，则〃-“=.

1__丫2丫v

7.（2026・陕西榆林•模拟预测）已知函数/（力=1'♦则/*）为零点之和为______________.

2-x,x>0,

四、解答题

8.（2024♦湖南邵阳•三模）已知函数/（力=—（/+F+1.

（1）求函数/（X）的单调递增区间；

⑵若函数g（x）=/（x）-〃（kwR）有且仅有三个零点，求攵的取值范围.

【拔高选练】（共6题）

一、单选题

1.（2025•江苏扬州•三模）当xe[0,2g时，曲线），=sin2x与y=2sin（2x-£）的交点个数为（）

4

A.3B.4C.6D.8

2.（2026•江苏镇江•二模）已知函数/⑴=〃/+（〃?-2）e-x有两个零点，则实数小的取值范围是（）

A.S,0）B.（-1,0）C.（0,1）D.（1,+co）

二、多选题

3.（2025•河南南阳•模拟预测）已知函数〃力=7+4d-1（1<0）与8（“=1|]（1+〃?）-9的图象上存在关于了轴

对称的点，则实数，〃的取值可能为（）

A.c2B.-c:C.—c4D.e4

4.（2025•四川眉山•模拟预测）已知函数/（工）=」：二函数月（力=[/（力了-2〃矿"）+/一],则下列结论正

确的是（）

A.若关于x的方程/（力=。怡有1个实数根，则。的取值范围是（6,+8）

B.若关于工的方程恰有2个不同的实数根，则。的取值范围是（0』52，可

C.若g"）有5个零点，则加的取值范围是（2,3）

D.g（x）可能有6个零点

三、填空题

5.（2022.广东汕头.一模）为检测出新冠肺炎的感染者，医学上可采用“二分检测法”、假设待检测的总人数是2m

4

（mGN）将2m个人的样本混合在一起做第1轮检测（检测一次），如果检测结果为阴性，可确定这批人未感染；如

果检测结果为阳性，可确定其中有感染者，则将这批人平均分为两组，每组2”一人的样本混合在一起做第2轮检测，

每组检测1次，如此类推：每轮检测后，排除结果为阴性的那组人，而将每轮检测后结果为阳性的组在平均分成两

组，做下一轮检测，直到检测出所有感染者（感染者必须通过检测来确定）.若待检测的总人数为8