高中数学必修第一册教案：圆与圆的位置关系

2.5.2圆与圆的位置关系教学设计

课题圆与圆的位置关系单元第二单元学科数学年级高二

教材图形之间的位置关系，既可以直观定性描述，乜可以严格定量刻画.定量刻画的方法既

分析可以完全运用代数方法，通过运算求解，得到图形的性质，也可以综合使用几何方法，代数

方法，得到图形的性质.下面我们类比用方程研究两条直线位置关系的方法，利用直线和圆

的方程，通过定量计算研究圆与圆的位置关系。

1数学抽象：圆与圆的位置关系；

2逻辑推理：判断圆与圆的位置关系；

教学

3数学运算：判断圆与圆的位置关系；

目标

与4数学建模：圆与圆的方程解决实际问题；

核心5直观想象：圆与圆的位置关系；

素养

6数据分析：学习圆与圆的位置关系，同时类比直线与圆的位置关系的研究方法，提高学生

数学判断的能力，以及参与数学活动的能力.

重点圆与圆的位置关系

难点判断圆与圆的位置关系

教学过程

教学环节教师活动学生活动设计意图

导入新课通过具体的情

AnnularEclipse景，帮助学生回

21May2012.MmohOsaka.Japan

顾初中几何中已

••・——re9学的圆与圆的位

tM‘X，”….，"r«M，—置关系，同时类

比直线与圆的位

*•••・・••一6MH，f

“

置关系的研究方

上图是日食的变化过程。

法.

日食，又称“日蚀”，是一种天文学现象，仅

当月球在太阳与地球之间运行时才会发生。日食仅

在月亮和太阳处于合的状态时发生。在民间传说

中，称此现象为天狗食日。日食有四种类型，即日

全食，日环食，日偏食和全环食。

将太阳、月亮抽象为圆，观察这些圆在变化的

过程中位置关系是怎样的？

讲授新课前面我们运用直线的方程，圆的方程，研究了直

线与圆的位置关系.现在我们类比上述研究方法，运用

圆的方程，通过定量计算研究圆与圆的位置关系.

我们知道，两个圆之间存在以下三种位置关系：

（1）两11相交，有两个公共点；

（2）两圆相切，包括外切与内切，只有一个公

共点；

（3）两便相离，包括外离与内含，没有公共点.

思考

类比运用直线和圆的方程，研究直线与圆的位置

关系的方法，如何利用圆的方程，判断它们之间的位

置关系？

观察下图：

oQoO<©@©

问题1:

根据上图，结合平面几何，圆与圆的位置关系有

几种？

提示：

5种，即内含、内切、相交、外切、外离.

问题2：

能否通过一些数量关系表示这些圆的位置关

系？

提示：可以，利用圆心距与半径的关系可判断.

问题3：

直线与圆的位置关系可利用几何法与代数法判

断，那么圆与圆的位置关系能否利用代数法判断？

提示：可以.

例5已知圆G：%2+y2+2x+8y-8=0,

圆C2：x24-y2—4x—4y—2=0，试判断G

与C2的位置关系.

分析：

思路1：圆G与圆C2的位置关系由它们有几个公

共点确定，而它们有几个公共点又由它们的方程所组

通过例题，帮助

成的方程组有几组实数解确定；

学生进一步学习

思路2：借助图形，可以依据连心线的长与两半

两种基本方法，

径的和7*1+7*2或两半径的差的绝对值匕-七1的大小

判断圆与圆的位

关系，判断两圆的位置关系.

置关系，发展学

解法1:将圆G与圆。2的方程联立，得到方程组

生数学运算、数

(x2+y2+2%4-8y-8=0①

1%24-y2-4%-4y-2=0②学抽象和数学建

模的核心素养.

&-②相

x+2y-1=0,(3)

由③，得

1-x

y=2.

把上式代入①，并整理，得

X2-2X-3=0.④

方程④的根的判别式

△=(-2)2-4x1x(-3)=16>0,

所以，方程④有两个不相等的实数根修，x2.把

与，不分别代入方程③，得到%，%.

因此圆G与圆有两个公共点做占,yD,

8(%2，丫2)，这两个圆相交•

解法2：把圆G的方程化成标准方程，得

(x+I)2+(y+4)2=25.

圆G的圆心(-1,-4),半径八=5.类比判断直线与

把圆C2的方程化成标准方程，得教师引导学圆位置关系的几

(%-2)2+(7-2)2=10.生用几何法何法，学生尝试

圆的圆心(2,2),半径上=V10.解决问题.用几何方法判断

圆C1与圆的连心线的长为圆与圆位置美

V(-l-2)2+(-4-2)2=3\/5.系，培养学生自

圆Q与圆。2为两半径之和n+r2=5+VTO,主探究的意识.

两半径之差r1-r2=5-V10.

因为5-V10<3V5<5+V10,

即丁1一丁2<3而<〃+二，所以圆G与圆相交

(见下图)，它们有两个公共点A,B.

二1

W]

思考

在解法1中，如果两圆方程联立消元后得到的方

程的A=0,它说明什么？你能据此确定两圆是内切还

是外切吗？如何判断两圆是内切还是外切？

当AV0时，两圆是什么位置关系.

例6已知圆O的直径AB=4,动点M与点A的距离

是它与点B的距离的四倍.试探究点M的轨迹，并

判断该轨迹与圆。的位置关系.

分析：我们可以通过建立适当的平面直角坐标

系，求得满足条件的动点M的轨迹方程，从而得到点

M的轨迹；通过研究它的轨迹方程与圆0方程的关

系，判断这个轨迹与圆0的位置关系.

解：如图

以线段AB的中点0为原点，AB所在直线为X

轴，线段AB的垂直平分线为)，轴，建立平面直角坐

标系，由AB=4,得A(-2,0),B(2,0).

设点M的坐标为(x,y)，由|M川=V5|MB|,得

+2Q+y2=&xy(x-2)24-y2

化简，得

x2-12%+V+4=0

即(x-6)2+y2=32.

所以点M的轨迹是以P(6,0)为圆心，半径为

4注的一个圆(见上图)

因为两圆的圜心距|OP|=6,两圆的半径分别为

又

rt=2.r2=4V2,

-r2<lOPlVq+r?

所以点M的轨迹与圆O相交.

总结：

1圆与圆的位置关系

圆与圆的位置关系有五种，分别为外离、外切、

相交、内切、内含.

2.圆与圆的位置关系的判定

几何法；若两圆的半径分别为小，「2，两圆连心

线的长为d,则两圆的位置关系的判断方法如下：

外离外切相交内切内含

0©耐电您学生尝试自

己总结本节

4门+d=〃+d=l〃一dVh一

VdV为内容，梳理

zdr|

±122知识要点。通过小结使学生

在小组的交流讨

代数法：设两圆的一般方程为论过程中，理清

本节知识的脉

Cl：X24-J2+DIX+EIJ+FI=0(D?+E?-4Fi>0),

22络，对所学知识

C2：X4-J+D2X+£^+F2=0(Z)?+E5-4F2>0),

技能和思想方法

fx2+j2+£>ix+Eij4-Fi=0,

联立方程组得,A有一个全面系统

.尸+产+0亦+母+尸2=0，

的认识，培养了

则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：

学生概括总结所

方程组解的

2组1组0组学知识的能力.

个数

两圆的公共

2±1±。个

点个数

两圆的位置内切或外离或

关系外切内含

课堂练习：

1已知两圆G：x2+y2-2x-6y—1=0

22

C2:x+y-10%-12y4-45=0

(1)求证：圆G与圆G相交；

(2)求圆G.与圆Cz的公共弦所在直线方■程和公共弦

长.

分析：

(1)分别求出圆G与圆。2的圆心和半径，再求出圆心

距IGCzl，由圆心距大于半径之差的绝对值，小于半

径之和，能证明圆G与圆G相交.

(2)两圆G与G相减，得圆Q与圆。2的公共弦所在

直线方程；求出圆心C2(5.6)到公共弦所在直线的距离，

由此能求出圆G与圆C2的公共弦长.

解答：学生自己完

(1)证明：成课堂习

G：x2+y2-2%—6y-1=0的圆心G(1,3),题，后教师

半径q=^V4+36+4=Vil集体订正.

Q:x2+y2-lOr-12y+45=0的圆心G(5,6),

半径r2=^VlOO+144-180=4,

通过练习巩固所

I2

KC2I=V(5-1)+(6-3)2=5学内容，发现和

,/4-711<\CyC2\=5<4+711弥补学生学习中

・•圆G与圆。2相交.的遗漏和不足，

强化基本技能训

练，培养学生良

(2)解

好的思维品质和

二•两圆G：%2+y2—2x—6y—1=0

习惯.

22

C2:x+y-lOx-12y+45=0

・•・两圆相减，得圆G与圆Q的公共弦所在直线

方程为：8x+6.y-46=0,即4x+3y-23=0

圆心。2(5,6)到直线4x+3>-23=0的距离

|4x5+3x6-23|

d=-----,----=3

V16+9

・•圆G与圆Q的公共弦长为

2我2-d2=2V16-9=2夕.

2圆G：(%+2)2+y?=5,圆。2：(%—2)2+()

27=5,则圆G与圆C2的位置关系为()

A.相交B.相离C.内切D.外切

答案：D

解：

根据题意，圆G：(%+2)2+/=5,其圆心为(-2,0),

半径R=V5

圆。2：(%—2)2+(7-2)2=5,其圆心为(2⑵，半径

R=yf5

圆心IGC2I=716+4=2而=R+r

则两圆外切，故选D.

22

3已知圆G：/+y?=1和圆C2:x+(y—2)=

r2(r>0),若圆G与圆C2有公共点，则r的取值范

围是()

A.(0,1]B.(0,3]C.[1,3]D.[1,+«>)

答案：C

分析：根据圆G与圆有公共点得到两圆相切或相

交，结合圆心距和半径之间的关系进行求解即可.

解：

当圆C1与圆C2有公共点时，则两圆相切或相交

圆心半径R=1圆心。2(0,2),半径r

则IGQI=2

若两圆相交，则满足r-R<IGC2I<R+r

即r-lW2Wl+r得lWrW3

4如图，在平面直角坐标系中，已知以“为圆

心的圆M：f—14y+60=0及其上一点

A(2,4).

(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N

在直线工=6上，求圆N的标准方程；

(2)设平行于04的直线/与圆M相交于&。两

点，且8c=04,求直线/的方程：

解：

圆V的标准方程为6)?+(y—7)2