高考数学 拓展五：四边形问题 （讲）

第10讲拓展五：四边形问题（精讲）

目录

第一部分：典型例题剖析

高频考点一：求四边形中边（或角）

高频考点二：求四边形面积

高频考点三：求四边形面积最值

第二部分：高考真题感悟

第一部分：典型例题剖析

高频考点一：求四边形中边（或角）

1.（2022•福建•莆田一中高一期中）如图所示，四边形A8CZ）中，AC=AD=CD=7f/ABC=120，

，BD=

c

在中，AC=7,ZABC=120，sinZBAC=—

14

7BC

由正弦定理得.芸'」「=.与”,所以耳二三万，解得BC=5；

sinZABCsinZ.BAC―———

214

因为sin/ACB=sin(N34C+&)=^x(—L)+Ux^=述，ZAC5e(0\60),所以cosN4C8=E，

314214214''14

在△3C。中，cos/8CO=cos(/AC8+60)=-x-=

,72142147

由余弦定理得BE)1=BC?+CD?-2BCxCDxcos/BCD

=25+49-2x5x7x1=64,

7

所以30=8.

故答案为：5；8

2.(2022・全国•高三专题练习(文))如图，四边形A8C。中，48=1,4。=2,&?=8且以73.。。，则四

边形48co面积取最大值时，tan/£>84=.

%---------------------------1c

【答案】2-2##-2+2

设Q=x,Ml<x<3,

因为8C=Cr>且3C_LCD,所以BC=CO=曰x,所以=孝x

由余弦定理得cosNBA。=上空二=皂三，所以sin/B4O=Jl-(±±],

2x1x24Y(4J

所以四边形ABCO面枳S=，f+।J2Z=[,

4(/I4J

令1=./,贝I]lviv9,

5=­/+

I4=—+

S'=—+4

16.1-

4J

当1VY5时,S'>0,函数在(L5］上单调递增，所以£

当5</<9时，令S'>0,得5</<5+2应，令5'<0,得5+20</<9,

所以函数在(5,5+20)上单调递增，在(5+2&,9)上单调递减，

所以当,=5+2夜时，函数取得最大值为主字I+=士号

因为邛所以四边形加8面枳的最大值为邛‘

此时Y=5+2&，

2x2x2V5+2V2V5+2V2

所以sinNOBAJ一斤'

\3+2。

sin/DBA‘5+2拒立（应-1）_[_&

所以tanNDBA=_五_

cosZDBA-V2+i-（V2+i）（V2-i）=—

'5+2加

故答案为：2-夜.

3.（2022・全国•高一专题练习）如图所示，四边形A8C。是由笔腰直角三角形BC。以及直角三角形拼

4

接血成，其中NAO8=/8CO=90,tan2NA8D=§,若BC=2,则A到C的距离为

【答案】JI6

解：因为tan2NAa?=2tan/ABDJ,解得lan乙45。二,或tan4480=一2（舍去），

1-tan-ZABD32

sinZABD_I

o/c

由,cosZ.ABD2解得cosZ.ABD=,

sin2NABD+cos2NABD=15

因为△"CN）是等腰直角三角形，所以NBCD=90,8C=2,故右。=2忘，AD=BDtan^ABD=42>

在AAC£>中，NAQC=135",

由余弦定理得A。=JA£>2+-2AZ）.C7>cos135°=M，

故答案为：\/10.

4.（2022•河北•模拟预测）从①A/ysin/AKO=3sin4,②岳,2=动这两个条件中任选一个，补充在下

面的问题中，并作答.

7T

问题：如图，在平面四边形48。中，已知48=4,A=§,且

⑴求sinNADA；

(2)若N8OC=9，且AB_LAC,求BC的长.

6

【答案】(1)噜(2)¥

⑴选①

因为8Z>sin/A8O=3sin/h所以3£>A£>=38。，解得AO=3,

所以80?=A82+AO2-2AOA3COSA=16+9-12=13，

解得4。=Ji5.

,ABBD,.ABsinA2n2相

由---------=----,得asin//A4DrBtD=-------=—f==-----.

sin/AOAsinABD屈13

选②

由SjM=3G=；A4AOsinA=VL4Q，得A£>=3，

所以BD2=AB2+AD2-2AD■ABcosA=16+9-12=13,解得BD=屈.

ABBD得』四爵需浮

由

sin/ADBsin/\

⑵由（1）知6。=岳，又A6_L3C,

所以sinzfCBD=cos/ABD=^,从而cos/CBD=3y,

2x4屈2626

所以即c=/(/加。+/6。)=，><返+且乂亚=迥，

'722622613

BCBD㈢“BDsinNBDCVl313\36

—=,传"BC==---x—=-----.

sin/BOCsinCsinC22>/3912

5.（2022・四川绵阳•高一期中）在平面四边形A8C。中，/B=g少=gBC=\.

J4

A

⑵记ZACD=a,若/\O=G，ZACB=a+^,求tana.

【答案】(l)AC=Vy(2)tana=W^

2

⑴解：S=AB-BCsinB=—A/?=—.解得44=3,

A4flC44

由余弦定理得AC2=AB2+8C2-2A8-8CCOS8=7,因此，AC=4i.

(2)

解：在RtZXACD中，AC=-^-=^~,在AA3c中，/BAC=九一/B-NACB=%一蓼，

si^nasina3

2

BCAC

由正弦定理得即sinsina,

sinZ.BACsinB

=Geosa-sina，即sina=^cosa，tana--

所以，sin<7=2sin三一a

22

6.（2022•湖北武汉•模拟预测）如图，在平面四边形A8CQ中，N8CO=],AB=\,Z45C=^

⑴当8C=&，CQ=V7时，求zMC。的面积;

(2)当=AO=2时，求ccs〃C”

6

【答案】(2)cos/ACQ=^

43

(1)当8C=&时，在AABC中，由余弦定理得AC2=AB2+8C2—2A8-8CCOSZA8C,

即AC=3-2及8S9=5'解得"=有,cos/“j-叽亚

2ACBC10

因为N8CO=E，则sinNACO=COS/ACB=^^，又CD=币,

21()

所以A^CD的面枳是S.cr)=-ACCDsinZACD=-^x77=-V14.

222104

ABACHllABsin—

⑵在AAHC中，由正弦定理得,即AC=-----------

sinZ.ACBsinZ.ABC

sinZ.ACB2cosZACD

ADACHnAOsing.

在△AC'。中，由正弦定理得即

sinZACD-sinZADC'AC=——2=—!—

sinZACDsinZACD

则一亘

，整理得sin乙ACO=&cos乙4CQ，而sin?/ACO+cos?/ACO=1，NAS为锐

2cosZ.ACDsinZ.ACD

角，

UcosZACD=—

3

7.(2022・河南•安阳一中高一阶段练习)在AAbC中，角A,B,C的对边分别为%〃，。且2s=-6丽•前,

作八8J.AO,使得如图所示的四边形"CO满足46=9,AD=6

(1)求B

⑵求6c的取值范围.

【答案】(1)4(2)92)

⑴解：由2s=-6胡•配,

得2xLcsinB=-GaccosB,

2

即sinB=—73cosB，

所以tanB=—»

因为5e(0,幻，

所以3=

(2)设NE4C=e,则NC4O二2一e,ZCDA=<9+-,

26

ACAD

在AA8中，由正弦定理得而右

sinZACD

ADsinZADC=2sinfz?+—

所以AC=

ZACD.7TI6J

sinsin-

3

在AAAC中，由正弦定理得其二等

sinBsin。

二f2诩.sine_4

所以8Csin(0+^J・sin0,

sinB

sin-

3

sin0+-cos。sin8=sin?0+—sinOcos。，

22

=9(2Gsin2e+2singcose)=9(2G匕四"+/28],

2)

=+(sin29一GCOS2£)+1

sin26>--+1,

I3j

因为0<0<7，可得-26—-<—>

当=g时，即。=g,可得也sinC+l=2，

33333

当26—工=—巳时，即0=0,可得述sinj—2]+1=0,

所以3。的取值范围是（0.2）.

8.（2022・山东•临沐县教育和体育局高一期中）已知平面四边形ABCQ满足NBA。=90。，N/WC=120°,

48=60°,人力=3.设=ZAC8=0（30°45。）.

⑴当。=30。时，求四边形A8CO的面积；

⑵求力的值（用。表示）；

⑶若/=A6+BC,求/关于夕的函数表达式，并求出/的最小值.

[答案）（1）3G[2}h=2sin2/30Y"45）.⑶百+1

(1)解：。=30°,ZABC=120',/.ABAC=ZBCA=30：

又ABAD=90",ZCAD=60",又ZACD=60°,

・•.△AC。为正三角形，•••AO=3,「.AC=3,

._4C."AC。

在公/WC中,

sinZACBsin/B'sin120°

故四边形ABCD的面积S=S.Q+Sjg

=^|AB|x|£fC|sinZABC+ix|AC|x|CD|sinZACD

=L(G)2xsin1200+1x3?sin60,=30.

22

(2)v^ABC=120°,ZACB=夕「.ABAC=6(f-仇

又NBAD=90°,.•.ZCAD=30°+仇/ZACD=6()\/.ZADC=90°-以

...ADAC.3cos。八G八

在A中'丁/^而r而百茬「"。=百=2限叱

在&43C中，•.•一竺一=*1,

sinZACBsinNB

•/h=AB="Csm?=2sin26(30'<O<45°).

sin120

⑶―，

sinZ.BACsinBsin120

=4cos0sin(60—夕)=6+6cos10-sin2。,

则/=A3+3。=石+石cos2。+sin2。=G+2sin(2<9+60°),

•.•30<0<45120°<20+60°<150；

.•.当0=45°时，U=V3+1.

9.(2022•江苏•海安市曲塘中学高一期中)在平面四边形ABC。中，NB4C=90。，ZZMC=30。，ZDCB=150°,

CO=1,BC=2.

(1)求证:sin25+sin2D=1;

(2)求AC的长.

【答案】(1)证明见解析；⑵VL

⑴由题意可知，因为N8AC=90。，ZZMC=30°,

所以NBAD=NBAC+NDAC=90°+30°=120°,

由四边形ABC。的内角和定理，得/BAD+NB+/BCD+N。=360°,

所以/8+/。=360。-120。-150。=90°,

所以cosB=cos(90O-D)=sinD.

vsin2B+cos2B=1,.\sin2B+sin2D=\.

(2)在“iBC中，由正弦定理，得

AC_BC即AC_2_2①

sinBsinABAC''sinBsin900-'

在£\AC。中，由正弦定理，得

患缶，肌益=盛3

ACAC

由①②得,即sin4=sinD,

sinBsinD

由(1)知,sin2B+sin279=I.即sin?A+sin?B=1,

解得sin8=也，乂0<Av9()。，所以4=45。，

2

在公A4C中，AC=8Csin4=2x也=&.

2

10.(2022•广东•佛山市南海区艺术高级中学模拟预测)如图，四边形ABC。的内角4+。=4，48=6,D4=2,

BC=CD,且AC=25/7.

A

⑴求3;

⑵若点P是线段A3上的一点，PC=2逐，求物的值.

7T

【答案】⑴8=]⑵4

(1)解：设KC=CA=x>0,

在中据余弦定理，得AC2=36+/—2X6XCOS8=28,即f+8=12xcos8,①

又在448中据余弦定理，WAC2=4+X2-2X2XCOSD=28,即V—24=4XCOSO，②

因为8+£>=7，则cosD=cos(乃-4)=-cosB,

联立①②可得x=4,8sB=；,因为8«0,乃)，所以B=g.

BCPC

(2)解:在△P8C中，由正弦定理知,

sinZBPC~sinB

所以“3生皿工厂

PC2x/3

且OvzBPCv万，故NBPC=%,

2

在直角三角形△P8C中，由勾股定理知，PB=4BC?-PC2=2'

此时始=A8-PB=4.

高频考点二：求四边形面积

1.(2022・吉林长春•模拟预测(文))如图，在四边形488中，sinA=!，C=2A4C=4,CZ)=2.

4

⑴求8。的长：

(2)若NAAO=60。，求△48。的面积.

［答案］(1)"(2)3百+9小

(1)解：^为sinA=Lc=248C=4,CO=2,

4

所以cosC=cos(2A)=I-2sin?4=1-2x(4=—

k4j8

7

由余弦定理得：=BZ+CD2-2Z?CCDCOSC=42+22-2X4X2X-=6,

8

所以8。=卡.

ADBD

⑵由正弦定理得

sin/ABDsinA

所以人。=8。・^^!^^=遥・迪=6,3=6人.

sinAsinA，

4

故AD>BD,60°=NA5Q>NA,

则Z-A为锐角，cosZ.A=Vl-sin2Z.A=把5

4

所以sinZADB=sin(i80°-ZA-Z4BD)=sin(ZA+ZABD)

,.,..,../.DeiiV15VSI3r-

=sinNAcosZ.ABDDr+cosNAsinZABD=—x—+-----x——=—+-75,

424288

所以△A3。的面积为S==

aABD2284

2.（2022•山西大附中高一期中）（1）定理默写：请用数学符号语言表达余弦定理（写出三个式子）；

（2）定理证明：请用向量方法证明余弦定理（只需证明你写出的其中•个式子即可）；

（3）定理应用：如图在四边形4BCQ中，cosZABC=-,ZADC=~,/BAD*,AB=5,BC=7.

763

①求/8AC；

②求四边形ABC。的面积.

D

【答案】(1)见解析(2)见解析；(3)①=5②426.

(1)余弦定理为：a2=b2+c2-2bccosA.

b2=a2+c2-2«ccosB，c2=a~+lr-2a力cosC.

(2)证明：c2=a2+b2-2abeosC.

证明：如图：设CB=67,CA=b,AB=c»

由三角形法则有工=1兀所以工、（［歹=♦+石2一阪石

即c2=a2+b2-2abeosC.

(3)①在△ABC中，由余弦定理知：AC2=AB2+BC2-2AB-BCcosZABC=25+49-2x5x7x^=64.

BCAC

AC=8,由正弦定理知

sinZ.BACsin/ABC

因为cos/.ABC=1,所以sinZ.ABC=V1-cos2AABC=

7

78

sin/B4。-4石，「.sinABAC=V3

T

7

又乙BAD上：./BAC='

33

②由（1）知NC4£>=1,Nz4£）C=[,/.ZACD=-1/.AD=2AC=16,

362

「•四边形48C。的面积为：5AACD+SzMfiC=|xl6x8xsin^+1x5x8xsin^=42x/3.

4J4J

3.（2022・重庆一中高三阶段练工）在①乌=-4-,②.1nA="③2S=-技珞肥三

cosC2a+csinw-sinCa+c

个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答.在△然（2中，角A氏C的对边分别为“*•，且_______

作AO//8C,连接CD围成梯形ABCO中A8=4,8c=2,ZACD=^-.

⑴求角B的大小;

(2)求四边形人8CQ的面积

【答案】(1)8=爷(2)16不

cosB_sinB

⑴若选条件①，由正弦定理得:-------—---------------------

cosC2sinA+sinC

即2sinAcos3+cos3sinC=-sinBcosC,

/.2sinAcosB=-sin8cosC-cosBs\nC=-sin（B+C）=-sin（万一A）=-sinA,

।2乃

•.•Ae（0,万），」.sin4H0,/.cos5=--,XBG（0,^）,：.B=—.

若选条件②，由正弦定理得：即一〃=一枇，

b-ca+c

+°2-b~1T7\D2乃

cosB=---------------=——，又8e（0,乃），/.B=—.

2ac2''3

若选条件③，v25=-\f3BA-BC•/.acsinB=-y/3accosB•

tanB=s'"'=-75,乂8e（0,万），:.B=—.

cos83

(2)在△4KC中，由余弦定理得：b2=a2+c2-2accosB=20-16cos—=28,:.b=2五,

CC+从—C24+28-1626

CDS/ACB=---——

2ab8诟―~~

//n1

sinZ.ACB=Vl-cos2ZACB=,又ADHBC,."CAD=ZACB,

..sinZCAD=—,cosZCAD=—

77

sinZADC=sin(ZCAD+ZACD)=sinZCADcosZACD+cosZC4DsinZACD

叵,

7V2；72141

2币乂

在zMCO中，由正弦定理得：34廿公。=—屋一=4右，

sinZ.ADCV21

14

I，冗।2^7*

SVWABCD=S&ABC+S.ACD=-x4x2sin^+-x2>/7x4x/7sin胃=16G

乙D乙。

4.(2022•湖南•长郡中学高一期中)如图，四边形A8CO中，AB=2,AD=旧,BC=2逐,8=5,sinA=亭,

A为锐角.

⑴求孙

⑵求四边形ABC。的面积.

【答案】(1)逐(2)7

在△48。中，由余弦定理得，BD2=AB2+AD2-2XABXADCO^A=4+5-2X2X45X—=5,

5

所以/刃=6.

⑵在△C8D中，因为30?+802=25=CO’,

所以△C4Q为直角三角形，NC8D=90,

△A8O的面积为=；43xADxsinA=2,

△BCD的面积为S^c/)=^BDxBC=5,

加以四边形ABCD的囿枳=5入佃)+SAHCO=2+5=7.

5.(2022•宁夏•石嘴山市第三中学模拟预测(理))如图在四边形A8CD中，cosZABC=^,乙AQC=f,

76

Z£AD=—,AB=5,4C=7.

3

⑴求4MC；

(2)求四边形人8CO的面积.

【答案】(1)/6八。=?(2)426

⑴在AA3c中，由余弦定理知：AC2=AB2+BC2-2ABBCcosZABC=25+49-2x5x7x^=64,

BCAC

「•AC=8,由正弦定理知

sinNB4csinZABC

所以sinNA3C=Jl-C/.c=J一击=竽

因为cos/.ABC

78

sinABAC4G，.二sin/£MC=B

7T

又N8AD=T，：.Z!3AC=~.

3

(2)[tl(1)知NC4O=工，ZADC=~,ZACD=-,/.AD=2AC=\6,

362

四边形A8CO的面积为：Sfo+Sa8c=gxl6x8xsin(+；x5x8xsinq=42G.

高频考点三：求四边形面积最值

1.（2022•江苏•盐城中学高一期中）在四边形ABCO中，AC=AB,AD=3,CD=\fNA8C=。，则四

边形ABC。面积的最大值为（）

A底+90-563+573于r-

A.------------RB.3d-------rC.----------nD.4+—

4223

【答案】B

在三角形ACQ,由余弦定理得：AC2=32+1-6COSD-10-6COSD,

所以SA8e=L8c+Sg）,在三角形ABC中，AC=A8,NABC=9,所以三角形ABC为等边三角形,

S.C=gxA。?又^^=^~AC。‘S/MC=/x3x1xsinO,

S.AHCD+%。=速-速3。+&。=速+3加（。-6。。）43+辿.

22222v72

故选:B.

2.（2022・福建•三明一中高一期中）如图，平面四边形A8CD中，ABA.AD,AB=AD,BC=2,CD=1,

则四边形ABCD的面积的最大值为.

【答案小五

解：因为AB=AD，所以△ABO为等腰直角三角形,

所以2柿=；5，

设N8CD=d,。£（0,不），则由余弦定理切T=8C2+CD2-28C.COCOS0,

即BD2=5-4COS6>.

所以q+q=-BD2+-BCCDsinO=--cosO+sinO

AABD丁,ABCD424

-+V2sin0--

4I4

所以当ej唠即6•时（sq皿=~友；

故答案为：”

3.（2022•云南保山•高一期中）如图，在平面四边形ABC。中，AB=BC=CD=2,AD=2y/i.

(1)证明："CO：C=G

cos4

⑵记AABD与△88的面积分别为$和邑，求S；+S；的最大值.

【答案】（1）证明见解析（2）14

⑴证明：在△A8D中，由余弦定理得BO?=4+12-8GCOSA=16-8GCOSA,

在4BCD中，由余弦定理得5£>2=4+4-8cosC=8-8cosC，

16-85/3cosA=8-8cosC，

所以y/3cosA-cosC=1，

i+cosCn

即Hn-------=V3.

cosA

(2)S]=ix2x2\/3sinA=2>/3sinA,

S,=—x2x2sinC=2sinC,

■2

则=12sin2/\+4sin2C=!6-(12cos2A+4cos2C)

由(1)知：GcosA=1+cosC>

代人上式得S：+S；=16-12cos2A_4(百cosA-1『,

-24cos2A+8\/3cosA+12,

=-24cosA-+14,

.•.当8s4=立时,S；+5；取到最大值14.

6

4.（2022•河北唐山♦三模）如图，在四边形A8CO中，丽=3比，丝乡绘=cos4.

smZADB

DC

⑴证明：△43D为直角三角形；

(2)若A8=6,求四边形A8CO面积S的最大值.

【答案】(1)证明见解析⑵12

sinZ.BADBDAB

(I)--=cosZABD,II=与余弦定理

sin4ADBsinABADsinNADB

BD曲+BD?-A。?

~AB~2ABxBD

整理得，AD2+BD2=AB2，

/.ZADB=-.

2

△A"。为直知二角形.

(2)vAB=3DC，

・C_lc

一MBCD_3'ABD•

由A8=6,WAD2+BD2=36.

4AioAD2+RD2?46

UDU

SVWAl)CD=S,BD+SBCD=-SABD=-X-XADXBD<-X^^=±x—=12.(当且仅当AD=8Z)时

riA<JUU3^AnU323232

取等号)

所以四边形ABC。面积S的最大值为12.

5.(2022・浙江绍兴•模拟预测)如图，设△人4c的内角A,4,C,所对的边分别为小仇c,若*

sm(A+B)a+b

Kcos2C+cosC=0,点。是AABC外一点，DC=6,DA=2.

⑴求角B的大小；

(2)求四边形ABCO面积的最大值.

【答案】⑴8=5(2)(枭~)叱=96

(1)因为0<C<乃，由2cos2C+cosC—l=0得cosC=T或8SC=-1(舍).故由正弦定理得，

a-bc-b122।

-------=--------=>a2-b=c-be

ca+b

口r,।,b2+c2-a21.n匚匚「I九

JvT以cosA=---------------=—=>A=—»目T以8=77

2bc233

(2)设Z4DC=0(0<0<7r),则S$CD=g力。・CD・sin夕=Gsin<9

在zMCZ)中，AC2=CD2+AD2-2CD-/AD-cos<9=7-4>/3cos6>

由①知为正三角形，故=」百-3cos夕，

2344

所以必8s=S^ACD+S^Afsc=>/3sin^-3cos6?+—^3=2\/3sinl+—，

4I5/4

因为。<e<乃，故。=知时，⑸口)四=?6.

6.(2022・山东师范大学附中模拟预测)如图，在AABC中，角A,B,。的对边分别为，7,〃,c,△4台。的面

积为S,R4S=a2+c2-b2.

⑴求知B的大小；

7T

⑵若A=],O为平面ABC上△AEC外一点，DB=2,DC=1,求四边形ABOC面积的最大值.

【答案】(1)B=£(2)：+应

44

(1)解：在中，由4s=/+/一从，

有4xxocsin8=a2+c2-b2,

2

.i.„/+c2—b~

则msinB=------------------=cosB,

2ac

即tan4=1,「8w(0,乃)，

所以.

4

(2)解：在△BCO中，BD=2,DC=\,

BC2=I2+22—2xlx2xcosD=5-4cosD♦

又A=1,则为等腰直角三角形,

=-xBCxlxfiC=-fiC2=--cosD

2244

又S/w>c=gx8Ox£)CsinO=sinO

/.SABlx:=(一cos£>+sinO=1+&sin(/)一?,

当£>二个时，四边形ABOC的面积最大值，最大值为之+夜.

44

7.(2022•福建省厦门集美中学高一期中)如图，在平面四边形A8CO中，ZA=I2O°,AB=,AD,BC

CD=B

(1)若cos/C8D=包，求A3的值；

3

⑵求四边形ABC。面积的最大值.

【答案】(1)48=75(2)1+土

3

⑴在△4C。中，由余弦定理可得

CD2=BC2+BD2-2BCBDcosNCBD，

2/7

,-3=1+BD2---BD,即3心一2做£>-6=(),

3

(3BD+x/6)(BD-x/6)=0,

又BO>0,二BD=瓜.

■「乙120。，AB=AD,

：.ZABD=ZADB=30°,

AARDAB瓜

在△AB。中，由正弦定理可得一7T=—^7,即丁二方,

sinZADBsinNA-2

22

:.AB=&

(2)由余弦定理可得:

BD2=AB1+AD2-2ABADcosA=AB2+AD2-2AB|=3AB2,

22

=CB+CD-2CBCDCOSC=1+3-2>/3COSC=4-2X/3COSC,

.Ag2=4-2V3cosC

3

四边形ABC。的面积

2

S=S^00+S^ACl）=^ABADsinA+^CBCDsinC=^-AB+^-sinC

64-2石cos。，石.「G1「工6.厂.J兀

=---------------+——sinC=------cosC+——smC=sinC—+——.

432322（6）3

又二0<C<7t,

当。一5=5,即C=?时.，四边形A5CO的面积取得最大值1+且.

6233

8.（2022•江苏•苏州市相城区陆慕高级中学高一阶段练习）现有长度分别为1,2,3,4的线段各1条，将

它们全部用，，首尾依次相连地放在案面，，可组成周长为10的三角形或四边形.

（1）求出所有可能的三角形的面积；

（2）如图，已知平面凸四边形ABCQ中，AB=1,BC=3,CD=2fD4=4.

①求cos4cosc满足的数量关系；

②求四边形A8CD面积的最大值，并指出面积最大时8。的值.

【答案】（1）2后,后；（2）①28sA-38sC=l；②2、6，=

（1）根据三角形两边之和大于第三边，由题意可知，所有符合情况的可能三角形为1+2,3,4、2,3+1,4

当三角形三边为1+2,3,4时・，由余弦定理知等腰三角形顶角cose=^^£=Lsine=jlj”、拽

2x3x39Y⑺9

S\,=gx3x3x华=2石

当三角形三边为2,3+1,4时，由余弦定理知等腰三角形顶角cos*/一＞=工,sin*/］。=巫,

2x4x48V'8/8

Sv=lx4x4x—=V15

'28

AB+AD2-BD217-BD2八CB+CD2-BD2\3-BD2

（2）①连接60,由余弦定理知cos4---------------------=-----------cosC=----------------------=-----------

2xABxAD82xCBxCD12

BD2=17-SeosBD2=13-12cosC,17-8cosA=13-12cosC,.2cosA-3cosC=1

②SABCD=SABD+SBCD=—xIx4xsin4+ix2x3xsinC=2sinA+3sinC

22

(2sinA+3sinC)2=4sin2A+9sin2C+12sinAsinC

又「2cosA-3cosC=1,(2cosA-3cosC)2=1,

4cos2/\+9cos?C-12cos4cosC=1

故S；=4(1-cos?A)+9(1-cos2C)+I2sinAsinC

=13-(4cos:A+9cos2C)+12sinAsinC

=13-l-12cosAcosC4-12sinAsinC

=12-12cos(/l+C)<24

当且仅当A+C'=万，5==24,S,D=2几取得最大值,

此时4+。=4，2cos24-3cosC=l,/.2cosA+3cos/4=1,cosA=(,cosC=,

BD2=13-12cosC=—,BD=

55