2026年重庆市人教版初中数学上册第4章同步练习题

2026年重庆市人教版初中数学上册第4章同步练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，3），将△ABC沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度，得到△A′B′C′，则点A′的坐标为（）A.（-1，1）B.（1，5）C.（-1，5）D.（1，1）解析：将△ABC沿x轴向左平移3个单位长度，点A的横坐标2减去3得到-1；再沿y轴向上平移2个单位长度，点A的纵坐标3加上2得到5，故点A′的坐标为（-1，5），正确选项为C。其他选项错误的原因在于平移方向或单位长度计算错误，或未同时进行两个方向的平移操作。2.如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AB=3cm，AD=4cm，BC=5cm，则CD的长度为（）A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm解析：由题意知四边形ABCD中∠A=90°，AB=3cm，AD=4cm，根据勾股定理可得AC=√(AB²+AD²)=√(3²+4²)=5cm。又因为BC=5cm，所以AC=BC，四边形ABCD是直角梯形，CD=AD-AB=4cm-3cm=1cm，正确选项为A。其他选项错误的原因在于未正确运用勾股定理或混淆了梯形与平行四边形的性质。3.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，若AD=2cm，DB=4cm，BC=10cm，则DE的长度为（）A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm解析：由DE∥BC，根据平行线分线段成比例定理可得AD/AB=DE/BC，即2/(2+4)=DE/10，解得DE=4cm，正确选项为B。其他选项错误的原因在于未正确运用比例关系或计算错误。4.如图，在圆O中，弦AB=8cm，OC⊥AB于点D，OD=3cm，则圆O的半径为（）A.5cmB.7cmC.8cmD.9cm解析：由OC⊥AB于点D，根据垂径定理可得AD=AB/2=8cm/2=4cm。在直角三角形OCD中，OC²=OD²+CD²，即OC²=3²+(4-3)²=9+1=10，解得OC=√10cm，即圆O的半径为√10cm，正确选项为B。其他选项错误的原因在于未正确运用垂径定理或勾股定理。5.如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=4cm，BC=10cm，∠B=60°，则梯形ABCD的高为（）A.2√3cmB.3√3cmC.4√3cmD.5√3cm解析：过点D作DE⊥BC于点E，由AD∥BC，∠B=60°，可得∠DAB=60°，DE=AD=4cm。在直角三角形BDE中，tan∠B=DE/BE，即√3=4/BE，解得BE=4/√3cm，即BC=BE+EC=4/√3+6/√3=10/√3cm，正确选项为B。其他选项错误的原因在于未正确运用等腰梯形的性质或三角函数计算错误。6.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，2），将△ABC沿y轴翻折，得到△A′B′C′，若点B的坐标为（3，0），则点A′的坐标为（）A.（-1，2）B.（-1，-2）C.（1，-2）D.（-3，0）解析：将△ABC沿y轴翻折，点A的横坐标1变为-1，纵坐标2不变，故点A′的坐标为（-1，2），正确选项为A。其他选项错误的原因在于未正确运用翻折的性质或坐标变换错误。7.如图，在五边形ABCDE中，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=108°，则五边形ABCDE的内角和为（）A.540°B.720°C.900°D.1080°解析：五边形ABCDE的内角和为(5-2)×180°=540°，正确选项为A。其他选项错误的原因在于未正确运用多边形内角和公式或计算错误。8.如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，则斜边AB上的高为（）A.4cmB.4.8cmC.5cmD.6cm解析：由勾股定理可得AB=√(AC²+BC²)=√(6²+8²)=10cm。设斜边AB上的高为h，由三角形面积公式可得1/2×AC×BC=1/2×AB×h，即1/2×6×8=1/2×10×h，解得h=4.8cm，正确选项为B。其他选项错误的原因在于未正确运用勾股定理或三角形面积公式。9.如图，在圆O中，直径AB=10cm，弦CD=6cm，CD与AB相交于点E，若CE=2cm，则DE的长度为（）A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm解析：由垂径定理可得CE=DE，即DE=2cm，正确选项为A。其他选项错误的原因在于未正确运用垂径定理或计算错误。10.如图，在等边三角形ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，若AD=2cm，DB=4cm，则DE与BC的长度之比为（）A.1:2B.1:3C.2:3D.3:4解析：由DE∥BC，根据平行线分线段成比例定理可得AD/AB=DE/BC，即2/(2+4)=DE/BC，解得DE/BC=1/3，正确选项为B。其他选项错误的原因在于未正确运用比例关系或计算错误。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，若AD=3cm，DB=6cm，BC=9cm，则DE的长度为______cm。参考答案：4.5解析：由DE∥BC，根据平行线分线段成比例定理可得AD/AB=DE/BC，即3/(3+6)=DE/9，解得DE=4.5cm。2.如图，在圆O中，弦AB=8cm，OC⊥AB于点D，OD=2cm，则圆O的半径为______cm。参考答案：√20解析：由OC⊥AB于点D，根据垂径定理可得AD=AB/2=8cm/2=4cm。在直角三角形OCD中，OC²=OD²+CD²，即OC²=2²+(4-2)²=4+4=8，解得OC=√8cm，即圆O的半径为√8cm。3.如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=6cm，BC=12cm，∠B=60°，则梯形ABCD的高为______cm。参考答案：2√3解析：过点D作DE⊥BC于点E，由AD∥BC，∠B=60°，可得∠DAB=60°，DE=AD=6cm。在直角三角形BDE中，tan∠B=DE/BE，即√3=6/BE，解得BE=6/√3cm，即BC=BE+EC=6/√3+6/√3=12/√3cm，正确选项为B。其他选项错误的原因在于未正确运用等腰梯形的性质或三角函数计算错误。4.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，3），将△ABC沿x轴向右平移4个单位长度，再沿y轴向下平移3个单位长度，得到△A′B′C′，则点A′的坐标为______。参考答案：（6，0）解析：将△ABC沿x轴向右平移4个单位长度，点A的横坐标2加上4得到6；再沿y轴向下平移3个单位长度，点A的纵坐标3减去3得到0，故点A′的坐标为（6，0）。5.如图，在五边形ABCDE中，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=108°，则五边形ABCDE的内角和为______°。参考答案：540解析：五边形ABCDE的内角和为(5-2)×180°=540°。6.如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=5cm，BC=12cm，则斜边AB上的高为______cm。参考答案：4.8解析：由勾股定理可得AB=√(AC²+BC²)=√(5²+12²)=13cm。设斜边AB上的高为h，由三角形面积公式可得1/2×AC×BC=1/2×AB×h，即1/2×5×12=1/2×13×h，解得h=4.8cm。7.如图，在圆O中，直径AB=12cm，弦CD=8cm，CD与AB相交于点E，若CE=3cm，则DE的长度为______cm。参考答案：5解析：由垂径定理可得CE=DE，即DE=3cm。8.如图，在等边三角形ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，若AD=1cm，DB=3cm，则DE与BC的长度之比为______。参考答案：1:4解析：由DE∥BC，根据平行线分线段成比例定理可得AD/AB=DE/BC，即1/(1+3)=DE/BC，解得DE/BC=1/4。9.如图，在平行四边形ABCD中，∠A=60°，AB=5cm，AD=4cm，则平行四边形ABCD的面积为______cm²。参考答案：10√3解析：过点D作DE⊥AB于点E，由∠A=60°，可得DE=AD×sin60°=4×√3/2=2√3cm，平行四边形ABCD的面积为AB×DE=5×2√3=10√3cm²。10.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3cm，BC=7cm，AB=5cm，CD=4cm，则梯形ABCD的面积为______cm²。参考答案：20解析：过点D作DE⊥BC于点E，过点A作AF⊥BC于点F，由AD∥BC，可得四边形ADEF为矩形，AF=DE。在直角三角形ABF中，由勾股定理可得BF=√(AB²-AF²)=√(5²-AF²)，在直角三角形CDF中，由勾股定理可得CF=√(CD²-DF²)=√(4²-DF²)，由BC=BF+CF，可得√(25-AF²)+√(16-DF²)=7，解得AF=3cm，DE=3cm，梯形ABCD的面积为(AD+BC)×DE/2=(3+7)×3/2=20cm²。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.如图，在圆O中，弦AB=8cm，弦CD=4cm，AB与CD相交于点E，若AE=2cm，EB=6cm，CE=1cm，则DE=3cm。参考答案：正确解析：由相交弦定理可得AE×EB=CE×DE，即2×6=1×DE，解得DE=12cm，故原命题错误。2.如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=4cm，BC=10cm，∠B=60°，则梯形ABCD的高为4√3cm。参考答案：正确解析：过点D作DE⊥BC于点E，由AD∥BC，∠B=60°，可得∠DAB=60°，DE=AD=4cm。在直角三角形BDE中，tan∠B=DE/BE，即√3=4/BE，解得BE=4/√3cm，即BC=BE+EC=4/√3+6/√3=10/√3cm，正确选项为B。其他选项错误的原因在于未正确运用等腰梯形的性质或三角函数计算错误。3.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，2），将△ABC沿y轴翻折，得到△A′B′C′，若点B的坐标为（1，0），则点A′的坐标为（-3，2）。参考答案：正确解析：将△ABC沿y轴翻折，点A的横坐标3变为-3，纵坐标2不变，故点A′的坐标为（-3，2）。4.如图，在五边形ABCDE中，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=108°，则五边形ABCDE的内角和为720°。参考答案：错误解析：五边形ABCDE的内角和为(5-2)×180°=540°，故原命题错误。5.如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，则斜边AB上的高为4.8cm。参考答案：正确解析：由勾股定理可得AB=√(AC²+BC²)=√(6²+8²)=10cm。设斜边AB上的高为h，由三角形面积公式可得1/2×AC×BC=1/2×AB×h，即1/2×6×8=1/2×10×h，解得h=4.8cm。6.如图，在圆O中，直径AB=10cm，弦CD=6cm，CD与AB相交于点E，若CE=2cm，则DE=4cm。参考答案：正确解析：由垂径定理可得CE=DE，即DE=2cm。7.如图，在等边三角形ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，若AD=2cm，DB=4cm，则DE与BC的长度之比为1:3。参考答案：正确解析：由DE∥BC，根据平行线分线段成比例定理可得AD/AB=DE/BC，即2/(2+4)=DE/BC，解得DE/BC=1/3。8.如图，在平行四边形ABCD中，∠A=60°，AB=6cm，AD=4cm，则平行四边形ABCD的面积为12√3cm²。参考答案：正确解析：过点D作DE⊥AB于点E，由∠A=60°，可得DE=AD×sin60°=4×√3/2=2√3cm，平行四边形ABCD的面积为AB×DE=6×2√3=12√3cm²。9.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=5cm，BC=9cm，AB=7cm，CD=3cm，则梯形ABCD的面积为24cm²。参考答案：错误解析：过点D作DE⊥BC于点E，过点A作AF⊥BC于点F，由AD∥BC，可得四边形ADEF为矩形，AF=DE。在直角三角形ABF中，由勾股定理可得BF=√(AB²-AF²)=√(7²-AF²)，在直角三角形CDF中，由勾股定理可得CF=√(CD²-DF²)=√(3²-DF²)，由BC=BF+CF，可得√(49-AF²)+√(9-DF²)=9，解得AF=4cm，DE=4cm，梯形ABCD的面积为(AD+BC)×DE/2=(5+9)×4/2=32cm²，故原命题错误。10.如图，在圆O中，弦AB=10cm，弦CD=6cm，AB与CD相交于点E，若AE=3cm，EB=7cm，CE=2cm，则DE=4cm。参考答案：正确解析：由相交弦定理可得AE×EB=CE×DE，即3×7=2×DE，解得DE=10.5cm，故原命题错误。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=4cm，BC=10cm，∠B=60°，求梯形ABCD的高。参考答案：2√3cm解析：过点D作DE⊥BC于点E，由AD∥BC，∠B=60°，可得∠DAB=60°，DE=AD=4cm。在直角三角形BDE中，tan∠B=DE/BE，即√3=4/BE，解得BE=4/√3cm，即BC=BE+EC=4/√3+6/√3=10/√3cm，正确选项为B。其他选项错误的原因在于未正确运用等腰梯形的性质或三角函数计算错误。2.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，2），将△ABC沿x轴向右平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度，得到△A′B′C′，若点B的坐标为（4，0），求点C′的坐标。参考答案：（7，4）解析：将△ABC沿x轴向右平移3个单位长度，点A的横坐标1加上3得到4；再沿y轴向上平移2个单位长度，点A的纵坐标2加上2得到4，故点A′的坐标为（4，4）。由平移的性质可得△ABC与△A′B′C′全等，故点C′的坐标为（7，4）。3.如图，在圆O中，直径AB=12cm，弦CD=8cm，CD与AB相交于点E，若CE=3cm，求DE的长度。参考答案：5cm解析：由垂径定理可得CE=DE，即DE=3cm。4.如图，在五边形ABCDE中，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=108°，求五边形ABCDE的内角和。参考答案：540°解析：五边形ABCDE的内角和为(5-2)×180°=540°。5.如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=7cm，BC=24cm，求斜边AB上的高。参考答案：12cm解析：由勾股定理可得AB=√(AC²+BC²)=√(7²+24²)=25cm。设斜边AB上的高为h，由三角形面积公式可得1/2×AC×BC=1/2×AB×h，即1/2×7×24=1/2×25×h，解得h=12cm。6.如图，在等边三角形ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，若AD=1cm，DB=2cm，求DE与BC的长度之比。参考答案：1:3解析：由DE∥BC，根据平行线分线段成比例定理可得AD/AB=DE/BC，即1/(1+2)=DE/BC，解得DE/BC=1/3。7.如图，在平行四边形ABCD中，∠A=60°，AB=8cm，AD=6cm，求平行四边形ABCD的面积。参考答案：24√3cm²解析：过点D作DE⊥AB于点E，由∠A=60°，可得DE=AD×sin60°=6×√3/2=3√3cm，平行四边形ABCD的面积为AB×DE=8×3√3=24√3cm²。8.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3cm，BC=7cm，AB=5cm，CD=4cm，求梯形ABCD的面积。参考答案：20cm²解析：过点D作DE⊥BC于点E，过点A作AF⊥BC于点F，由AD∥BC，可得四边形ADEF为矩形，AF=DE。在直角三角形ABF中，由勾股定理可得BF=√(AB²-AF²)=√(5²-AF²)，在直角三角形CDF中，由勾股定理可得CF=√(CD²-DF²)=√(4²-DF²)，由BC=BF+CF，可得√(25-AF²)+√(16-DF²)=7，解得AF=3cm，DE=3cm，梯形ABCD的面积为(AD+BC)×DE/2=(3+7)×3/2=20cm²。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.如图，在圆O中，直径AB=10cm，弦CD=6cm，CD与AB相交于点E，若CE=2cm，求DE的长度。参考答案：4cm解析：由垂径定理可得CE=DE，即DE=2cm。2.如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=6cm，BC=12cm，∠B=60°，求梯形ABCD的高。参考答案：2√3cm解析：过点D作DE⊥BC于点E，由AD∥BC，∠B=60°，可得∠DAB=60°，DE=AD=6cm。在直角三角形BDE中，tan∠B=DE/BE，即√3=6/BE，解得BE=6/√3cm，即BC=BE+EC=6/√3+6/√3=12/√3cm，正确选项为B。其他选项错误的原因在于未正确运用等腰梯形的性质或三角函数计算错误。3.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，3），将△ABC沿x轴向左平移4个单位长度，再沿y轴向下平移3个单位长度，得到△A′B′C′，若点B的坐标为（5，1），求点C′的坐标。参考答案：（-1，-2）解析：将△ABC沿x轴向左平移4个单位长度，点A的横坐标2减去4得到-2；再沿y轴向下平移3个单位长度，点A的纵坐标3减去3得到0，故点A′的坐标为（-2，0）。由平移的性质可得△ABC与△A′B′C′全等，故点C′的坐标为（-1，-2）。4.如图，在五边形ABCDE中，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=108°，求五边形ABCDE的内角和。参考答案：540°解析：五边形ABCDE的内角和为(5-2)×180°=540°。5.如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=5cm，BC=12cm，求斜边AB上的高。参考答案：4cm解析：由勾股定理可得AB=√(AC²+BC²)=√(5²+12²)=13cm。设斜边AB上的高为h，由三角形面积公式可得1/2×AC×BC=1/2×AB×h，即1/2×5×12=1/2×13×h，解得h=4cm。6.如图，在等边三角形ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，若AD=2cm，DB=4cm，求DE与BC的长度之比。参考答案：1:3解析：由DE∥BC，根据平行线分线段成比例定理可得AD/AB=DE/BC，即2/(2+4)=DE/BC，解得DE/BC=1/3。7.如图，在平行四边形ABCD中，∠A=60°，AB=7cm，AD=5cm，求平行四边形ABCD的面积。参考答案：10√3cm²解析：过点D作DE⊥AB于点E，由∠A=60°，可得DE=AD×sin60°=5×√3/2=5√3/2cm，平行四边形ABCD的面积为AB×DE=7×5√3/2=35√3/2cm²。8.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=4cm，BC=8cm，AB=5cm，CD=3cm，求梯形ABCD的面积。参考答案：12cm²解析：过点D作DE⊥BC于点E，过点A作AF⊥BC于点F，由AD∥BC，可得四边形ADEF为矩形，AF=DE。在直角三角形ABF中，由勾股定理可得BF=√(AB²-AF²)=√(5²-AF²)，在直角三角形CDF中，由勾股定理可得CF=√(CD²-DF²)=√(3²-DF²)，由BC=BF+CF，可得√(25-AF²)+√(9-DF²)=8，解得AF=3cm，DE=3cm，梯形ABCD的面积为(AD+BC)×DE/2=(4+8)×3/2=18cm²。【标准答案及解析】一、单项选择题1.C2.A3.B4.B5.B6.A7.A8.B9.A10.B解析：2.平移变换中，横坐标左减右加，纵坐标下减上加。3.直角梯形中，高为AD-AB=4cm-3cm=1cm。4.平行线分线段成比例定理。5.垂径定理结合勾股定理。6.等腰梯形中，高为AD×sin60°=4×√3/2=2√3cm。7.翻折变换中，横坐标变相反数，纵坐标不变。8.多边形内角和公式。9.勾股定理结合三角形面积公式。10.垂径定理。11.平行线分线段成比例定理。二、填空题1.4.52.√203.2√34.(6，0)5.5406.4.87.58.1:49.10√310.20解析：2.平行线分线段成比例定理。3.垂径定理结合勾股定理。4.等腰梯形中，高为AD×sin60°=4×√3/2=2√3cm。5.平移变换中，横坐标左减右加，纵坐标下减上加。6.多边形内角和公式。7.勾股定理结合三角形面积公式。8.垂径定理。9.平行线分线段成比例定理。10.三角函数计算梯形面积。11.三角函数计算梯形面积。三、判断题1.×2.√3.√4.×5.√6.√7.√8.√9.×10.×解析：2.相交弦定理中，AE×EB=CE×DE，3×6≠1×12，故错误。3.等腰梯形中，高为AD×sin60°=4×√3/2=2√3cm。4.翻折变换中，横坐标变相反数，纵坐标不变。5.五边形内角和为(5-2)×180°=540°，故错误。6.勾股定理结合三角形面积公式。7.垂径定理。8.平行线分线段成比例定理。9.三角函数计算平行四边形面积。10.三角函数计算梯形面积。11.相交弦定理中，AE×EB=CE×DE，3×7≠2×10.5，故错误。四、简答题1.过点D作DE⊥BC于点E，由AD∥BC，∠B=60°，可得∠DAB=60°，DE=AD=4cm。在直角三角形BDE中，tan∠B=DE/BE，即√3=4/BE，解得BE=4/√3cm，即BC=BE+EC=4/√3+6/√3=10/√3cm，正确选项为B。其他选项错误的原因在于未正确运用等腰梯形的性质或三角函数计算错误。2.将△ABC沿x轴向右平移3个单位长度，点A的横坐标1加上3得到4；再沿y轴向上平移2个单位长度，点A的纵坐标2加上2得到4，故点A′的坐标为（4，4）。由平移的性质可得△ABC与△A′B′C′全等，故点C′的坐标为（7，4）。3.由垂径定理可得CE=DE，即DE=3cm。4.五边形ABCDE的内角和为(5-2)×180°=540°。5.由勾股定理可得AB=√(AC²+BC²)=√(7²+24²)=25cm。设斜边AB上的高为h，由三角形面积公式可得1/2×AC×BC=1/2×AB×h，即1/2×7×24=1/2×25×h，解得h=12cm。6.由DE∥BC，根据平行线分线段成比例定理可得AD/AB=DE/BC，即1/(1+2)=DE/BC，解得DE/BC=1/3。7.过点D作DE⊥AB于点E，由∠A=60°，可得DE=AD×sin60