2026年高中数学数列求和与极限专项训练

2026年高中数学数列求和与极限专项训练一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_1=3，a_5=15，则该数列的前10项和S_10等于多少？A.150B.180C.210D.240解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=15可得3+4d=15，解得d=3。前n项和公式S_n=n/2[2a_1+(n-1)d]，代入n=10，a_1=3，d=3计算得S_10=10/2[6+9×3]=210。2.已知数列{b_n}满足b_1=2，b_n=b_{n-1}+n（n≥2），则b_6的值是多少？A.21B.22C.23D.24解析：根据递推关系逐项计算：b_2=b_1+2=4，b_3=b_2+3=7，b_4=b_3+4=11，b_5=b_4+5=16，b_6=b_5+6=22。3.若一个等比数列{c_n}的前3项分别为1，2，4，则该数列的第四项c_4等于多少？A.8B.16C.32D.64解析：由等比数列性质q=b_2/b_1=2/1=2，故c_4=c_3×q=4×2=8。4.在数列{a_n}中，若a_n=1/n+1/(n+1)，则前n项和S_n的表达式是什么？A.n/(n+1)B.1-1/(n+1)C.n+1D.1/n解析：S_n=∑[1/k+1/(k+1)]=∑[1/(k(k+1))]=∑[1/k-1/(k+1)]，为望远镜求和，结果为1-1/(n+1)。5.数列{d_n}的前n项和S_n=2^n-1，则该数列的通项公式a_n等于多少？A.2^nB.2^(n-1)C.2^n-1D.2^(n+1)-1解析：当n=1时a_1=S_1=1；当n≥2时a_n=S_n-S_{n-1}=[2^n-1]-[2^(n-1)-1]=2^(n-1)。综上a_n=2^(n-1)。6.已知数列{e_n}满足e_1=1，e_n=e_{n-1}+1/n（n≥2），则e_5的值是多少？A.3.5B.3.8C.4.0D.4.2解析：e_2=e_1+1=2，e_3=e_2+1/2=2.5，e_4=e_3+1/3≈3.1667，e_5=e_4+1/4≈3.5833。7.若数列{f_n}的前n项和T_n=n^2+n，则该数列的通项公式f_n等于多少？A.2nB.n^2C.2n-1D.n+1解析：当n=1时f_1=T_1=2；当n≥2时f_n=T_n-T_{n-1}=n^2+n-[（n-1）^2+n-1]=2n-1。综上f_n=2n-1。8.在等比数列{g_n}中，若g_3=8，g_5=32，则该数列的前6项和G_6等于多少？A.63B.64C.127D.128解析：由g_5/g_3=q^2=32/8=4，得q=2。g_1=g_3/q^2=8/4=2，G_6=a_1(1-q^n)/(1-q)=2(1-2^6)/(1-2)=126。9.已知数列{h_n}满足h_n=n/(n+1)，则前n项和S_n的极限lim（n→∞）S_n等于多少？A.0B.1/2C.1D.2解析：S_n=∑[n/(n+1)]=∑[1-1/(n+1)]=n-∑[1/(n+1)]，当n→∞时∑[1/(n+1)]发散，故极限不存在。10.若数列{a_n}满足a_n=1/(n(n+1))，则该数列的前n项和S_n的表达式是什么？A.1-1/(n+1)B.1/nC.n/(n+1)D.1/(n+1)解析：a_n=1/n-1/(n+1)，为望远镜求和，S_n=1-1/(n+1)。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，若a_4+a_7=18，则该数列的公差d等于______。解：a_4+a_7=2a_1+11d=18，解得d=2/11。2.若数列{b_n}的前n项和T_n=3n^2+n，则该数列的通项公式b_n（n≥2）等于______。解：b_n=T_n-T_{n-1}=3n^2+n-[3(n-1)^2+(n-1)]=6n-2。3.在等比数列{c_n}中，若c_2=6，c_4=54，则该数列的公比q等于______。解：q^2=c_4/c_2=54/6=9，得q=3。4.已知数列{d_n}满足d_n=n^2-n+1，则该数列的前5项和S_5等于______。解：S_5=∑[n^2-n+1]=∑[n^2]-∑[n]+∑[1]=55-15+5=45。5.若数列{e_n}的前n项和G_n=2^n-1，则该数列的第3项e_3等于______。解：e_3=G_3-G_2=(2^3-1)-(2^2-1)=7。6.在等差数列{a_n}中，若a_1=-5，a_10=15，则该数列的前10项和S_10等于______。解：d=(a_10-a_1)/9=20/9，S_10=10/2[-10+(20/9)×9]=50。7.已知数列{f_n}满足f_n=1/(2n-1)，则该数列的前4项和S_4等于______。解：S_4=1/1+1/3+1/5+1/7=25/14。8.在等比数列{g_n}中，若g_1=2，g_4=16，则该数列的前4项和G_4等于______。解：q^3=g_4/g_1=8，得q=2，G_4=2(1-2^4)/(1-2)=30。9.若数列{a_n}的前n项和T_n=n^3，则该数列的第3项a_3等于______。解：a_3=T_3-T_2=27-8=19。10.已知数列{b_n}满足b_n=1/(n+1)，则该数列的前5项和S_5的近似值等于______（保留两位小数）。解：S_5=1/2+1/3+1/4+1/5+1/6≈1.57。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}的前n项和S_n=2n^2+3n，则该数列的通项公式a_n=4n+5。解：当n=1时a_1=S_1=5；当n≥2时a_n=S_n-S_{n-1}=4n+2，与题干不符，故错误。2.在等比数列{b_n}中，若b_1=1，b_3=8，则该数列的公比q=2。解：q^2=b_3/b_1=8，得q=±2，题干未说明正负，故错误。3.若数列{c_n}满足c_n=c_{n-1}+1（n≥2），且c_1=1，则该数列为等差数列。解：由递推关系可知c_n=n，为等差数列，故正确。4.在等差数列{a_n}中，若a_1+a_5=12，则该数列的前6项和S_6=36。解：S_6=3(a_1+a_4)=3(a_1+a_1+3d)=6a_1+9d，无法确定具体值，故错误。5.若数列{d_n}的前n项和T_n=n^2+n，则该数列的通项公式d_n=2n-1。解：当n=1时d_1=T_1=2；当n≥2时d_n=T_n-T_{n-1}=2n，与题干不符，故错误。6.在等比数列{b_n}中，若b_2=6，b_4=54，则该数列的公比q=3。解：q^2=b_4/b_2=9，得q=±3，题干未说明正负，故错误。7.若数列{a_n}满足a_n=1/n，则该数列的前n项和S_n的极限lim（n→∞）S_n=1。解：S_n=1-1/2+1/3-1/4+...+1/n，为交错级数，极限为ln2≈0.693，故错误。8.在等差数列{c_n}中，若c_1=2，c_4=10，则该数列的前10项和S_10=55。解：d=(c_4-c_1)/3=8/3，S_10=5(c_1+c_10)=5[2+2+(10-2)/3×3]=55，故正确。9.若数列{d_n}的前n项和G_n=2^n-1，则该数列的第3项d_3=7。解：d_3=G_3-G_2=(2^3-1)-(2^2-1)=7，故正确。10.已知数列{a_n}满足a_n=1/(n(n+1))，则该数列的前n项和S_n=1-1/(n+1)。解：a_n=1/n-1/(n+1)，为望远镜求和，S_n=1-1/(n+1)，故正确。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.请写出等差数列{a_n}的前n项和S_n的公式，并说明其推导过程。解：S_n=a_1+a_2+...+a_n。由等差数列性质：S_n=a_n+a_{n-1}+...+a_1。两式相加得2S_n=n(a_1+a_n)，故S_n=n/2[a_1+a_n]。也可表示为S_n=n/2[2a_1+(n-1)d]。2.请写出等比数列{b_n}的前n项和G_n的公式（当q≠1时），并说明其推导过程。解：G_n=a_1+a_1q+...+a_1q^{n-1}。两边乘以q得qG_n=a_1q+...+a_1q^n。两式相减得(1-q)G_n=a_1(1-q^n)，故G_n=a_1(1-q^n)/(1-q)。3.请解释什么是望远镜求和法，并举例说明其应用。解：望远镜求和法是指将数列的通项拆分为两项之差，求和时中间项相互抵消，仅剩首尾项的求和方法。例如：数列{c_n}满足c_n=1/(n(n+1))=1/n-1/(n+1)，则S_n=1-1/2+1/2-1/3+...+1/n-1/(n+1)=1-1/(n+1)。4.请说明如何判断一个数列是否为等差数列或等比数列。解：等差数列：若相邻两项之差为常数，即a_{n+1}-a_n=d（常数），则为等差数列。等比数列：若相邻两项之比为常数，即a_{n+1}/a_n=q（常数，q≠0），则为等比数列。5.请写出数列{a_n}的通项公式a_n与前n项和S_n之间的关系式。解：当n=1时a_1=S_1；当n≥2时a_n=S_n-S_{n-1}。综上a_n={S_1,n=1;S_n-S_{n-1},n≥2}。6.请解释数列极限的定义，并举例说明。解：数列{a_n}的极限为L是指：对于任意ε>0，存在正整数N，当n>N时，|a_n-L|<ε恒成立。例如：数列{b_n}=1/n，当n→∞时b_n→0。7.请说明如何求一个数列的前n项和S_n的极限。解：若数列{a_n}收敛于L，则其前n项和S_n的极限为：lim（n→∞）S_n=lim（n→∞）[a_1+a_2+...+a_n]。例如：数列{c_n}=1/n，S_n=n(n+1)/2→∞，故极限不存在。8.请解释什么是递推数列，并举例说明其求解方法。解：递推数列是指通过前一项或前几项来表示当前项的数列。例如：数列{d_n}满足d_1=1，d_n=2d_{n-1}+1（n≥2），可逐项计算：d_2=3，d_3=7，d_4=15，发现d_n=2^n-1。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.在等差数列{a_n}中，若a_3=10，a_7=22，求该数列的前12项和S_12。解：d=(a_7-a_3)/4=3，a_1=a_3-2d=4，S_12=12/2[2×4+(12-1)×3]=276。2.若数列{b_n}满足b_1=2，b_n=b_{n-1}+n（n≥2），求b_10的值。解：b_2=b_1+2=4，b_3=b_2+3=7，...，b_10=2+3+...+10=54。3.在等比数列{c_n}中，若c_2=6，c_5=162，求该数列的前6项和G_6。解：q^3=c_5/c_2=27，得q=3，c_1=2，G_6=2(1-3^6)/(1-3)=728。4.已知数列{d_n}的前n项和T_n=n^2+n，求该数列的第4项d_4。解：d_4=T_4-T_3=16-12=4。5.在等差数列{a_n}中，若a_1=-5，a_10=15，求该数列的前10项和S_10。解：d=(a_10-a_1)/9=20/9，S_10=10/2[-10+(20/9)×9]=50。6.若数列{b_n}满足b_n=1/(n(n+1))，求该数列的前5项和S_5。解：S_5=1/1+1/6+1/12+1/20+1/30=193/60。7.在等比数列{c_n}中，若c_1=3，c_4=24，求该数列的前4项和G_4。解：q^3=c_4/c_1=8，得q=2，G_4=3(1-2^4)/(1-2)=45。8.已知数列{a_n}的前n项和T_n=2^n-1，求该数列的第3项a_3。解：a_3=T_3-T_2=7-3=4。【标准答案及解析】一、单项选择题1.C2.B3.A4.B5.D6.A7.C8.C9.D10.A解析：第1题，由a_1=3，a_5=15得d=3，S_10=210。第2题，逐项计算b_6=22。第3题，由b_3=8得q=2，c_4=8×2=16。二、填空题1.2/112.6n-23.±34.455.76.507.25/148.309.1910.1.57解析：第1题，a_4+a_7=18得2a_1+11d=18，d=2/11。第5题，e_3=G_3-G_2=7。三、判断题1.×2.×3.√4.×5.×6.×7.×8.√9.√10.√解析：第1题，a_n=4n-3≠4n+5。第4题，S_6=6a_1+9d无法确定。四、简答题1.解：S_n=n/2[2a_