第六章 第1节　数列的概念

第1节数列的概念[课程标准要求]1.了解数列的概念和表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是一种特殊函数.夯实·必备知识知识梳理1.数列的定义按照

排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的

.确定的顺序项2.数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数无穷数列项数按项与项间的大小关系分类递增数列an+1

an其中n∈N*递减数列an+1

an常数列an+1=an摆动数列从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项有限无限><3.数列的表示法数列有三种表示法,它们分别是

、

和

.4.数列的通项公式如果数列{an}的第n项an与它的

之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式.列表法图象法公式法序号n5.数列中an与Sn的关系释疑·数列与函数的关系数列是一种特殊的函数,即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数,当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值,就是数列.基础自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.(

)(2)1,1,1,1,…,不能构成一个数列.(

)(3)任何一个数列不是递增数列,就是递减数列.(

)(4)根据数列的前几项归纳出的数列的通项公式可能不止一个.(

)(5)如果数列{an}的前n项和为Sn,则对任意n∈N*,都有an+1=Sn+1-Sn.(

)√×××√2.(人教A版选择性必修第二册P8习题4.1

T3改编)观察下列数列的特点:1,1,2,3,

,8,13,21,…,用适当的数填空(

)

A.3

B.4

C.5

D.6C【解析】

观察可知,数列的前2项都是1,从第3项开始每一项等于它前2项的和,所以空的一项为5.故选C.B4.(人教A版选择性必修第二册P8练习T4改编)已知数列{an}的前n项和公式为Sn=3n2+n,则数列{an}的通项公式为an=

.6n-2【解析】

当n=1时,a1=S1=4;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n2+n-3(n-1)2-(n-1)=6n-2.显然n=1时也符合上式,所以an=6n-2.5.(人教B版选择性必修第三册P15习题5-1B

T3改编)在数列{an}中,an=-n2+6n+7,当其前n项和Sn取最大值时,n=

.

6或7【解析】

由题可知n∈N*,令an=-n2+6n+7≥0,得1≤n≤7(n∈N*),且该数列的第7项为零,所以从第8项开始an<0,则S6=S7且最大.提升·关键能力an与Sn的关系的应用考点1[例1]

已知数列{an}的前n项和Sn=n2+2n,则an=

.

【解析】

当n=1时,a1=S1=3.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+2n-[(n-1)2+2(n-1)]=2n+1.由于a1=3也满足上式,所以an=2n+1.2n+1[变式探究1]

(在已知条件Sn与n的关系式中添加常数)若Sn=n2+2n+1,则an=

.[变式探究2]

(已知条件改为Sn与an的关系式)若Sn=2an+1,则an=

.

-2n-1【解析】

当n=1时,a1=S1=2a1+1,所以a1=-1.当n≥2时,Sn=2an+1,①Sn-1=2an-1+1,②①-②得Sn-Sn-1=2an-2an-1,即an=2an-2an-1,即an=2an-1(n≥2).所以{an}是首项为a1=-1,公比为q=2的等比数列.所以an=a1·qn-1=-2n-1.解题策略·an与Sn的关系的应用(1)已知Sn求an的步骤.①利用a1=S1求出a1;②用n-1替换Sn中的n得到一个新的关系式,利用an=Sn-Sn-1便可求出当n≥2时an的表达式;③检验n=1时的表达式是否可以与n≥2时的表达式合并.解题策略·(2)Sn与an关系问题的求解思路.根据所求结果的不同,将问题向不同的方向转化.①利用an=Sn-Sn-1(n≥2)转化为只含Sn,Sn-1的关系式,再求解;②利用Sn-Sn-1=an(n≥2)转化为只含an,an-1的关系式,再求解.[针对训练]

(2026·湖南长沙模拟)在数列{an}中,Sn为其前n项和.若a1=1,Sn+1=3Sn+1,则an=(

)A.3n

B.3n-2C.3n-1

D.2n-1C【解析】

因为Sn+1=3Sn+1,所以当n≥2时,Sn=3Sn-1+1.两式相减,得an+1=3an,n≥2.因为a1=1,且当n=1时,S2=3S1+1=a1+a2,所以a2=3,所以a2=3a1,所以数列{an}是首项为1,公比为3的等比数列,所以an=3n-1.故选C.由数列的递推关系求通项公式考点2角度1累加法[例2]

(1)(2026·江苏南通模拟)已知数列{an}的首项为2,且an+1-an=2n+1,则an=(

)A.2n

B.2n-1+1C.2n-2

D.2n+1-2D(2)(2026·陕西咸阳模拟)在数列{an}中,a1=1,an+1=an+2n-1,则a7=(

)A.43

B.46

C.37

D.36C已知a1且an-an-1=f(n)(n≥2),可用“累加法”求an,即an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a3-a2)+(a2-a1)+a1(n≥2).解题策略·AA.5

B.3+100lg

3C.4

D.10+2lg

3角度2累乘法[例3]

(2026·甘肃张掖模拟)已知数列{an}中,a1=1,an+1=2nan(n∈N*),则数列{an}的通项公式为

(

)C解题策略·[针对训练]

(2026·江苏连云港模拟)已知数列{an}中,a1=4,(n+1)an+1=(n+2)an,则an=

.

2n+2数列的性质考点3角度1数列的周期性[例4]

(2026·陕西榆林模拟)已知数列{an}满足an+1=1+anan+1,a1=2,则此数列前100项的和为(

)D解决数列的周期性问题的常用方法:先根据已知条件求出数列的前几项,归纳确定出数列的周期,再根据周期性求值.解题策略·B角度2数列的单调性[例5]

(2026·河北保定模拟)下列通项公式中,对应数列是递增数列的是(

)C解决数列单调性问题的三种方法(1)作差比较:根据an+1-an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列.解题策略·(3)函数法:转化为函数,结合相应函数的图象直观判断.(-3,+∞)[针对训练]

已知an=n2+λn,且对于任意的n∈N*,数列{an}是递增数列,则实数λ的取值范围是

.【解析】

因为{an}是递增数列,所以对任意的n∈N*,都有an+1>an,即(n+1)2+λ(n+1)>n2+λn,整理得2n+1+λ>0,即λ>-(2n+1).因为n∈N*,所以-(2n+1)≤-3,要使不等式

λ>-(2n+1)恒成立,则λ>-3,即λ的取值范围是(-3,+∞).角度3数列的最值A.a10

B.a8或a9C.a6

D.a4或a5D求数列的最大项与最小项的常用方法(1)函数法,利用函数的单调性求最值.解题策略·D教考衔接11斐波那契数列[教材拓展]

(人教A版选择性必修第二册P10阅读与思考)斐波那契数列的定义:若一个数列,首两项等于1,从第三项起,每一项是之前两项的和,则称该数列为斐波那契数列.例:1,1,2,3,5,8,13,….从中可得到斐波那契数列的递推公式:F1=F2=1,Fn=Fn-1+Fn-2(n>2).[名师解读]

斐波那契数列,又称黄金分割数列,是由意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例子而引入,故又称为“兔子数列”.该数列的特征是:从第3项起,每一项是前两项之和.(1)斐波那契数列的通项公式:(2)斐波那契数列的性质:②F1+F3+F5+…+F2n-1=F2n;③F2+F4+F6+…+F2n=F2n+1-1;④F1+F2+F3+F4+…+Fn=Sn=Fn+2-1.[对接高考]

(1)(2024·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)的定义域为R,f(x)>f(x-1)+f(x-2),且当x<3时f(x)=x,则下列结论中一定正确的是(

)A.f(10)>100

B.f(20)>1

000C.f(10)<1

000

D.f(20)<10

000B【解析】

(1)因为当x<3时f(x)=x,所以f(1)=1,f(2)=2,又因为f(x)>f(x-1)+f(x-2),则f(3)>f(2)+f(1)=3,f(4)>f(3)+f(2)>5,f(5)>f(4)+f(3)>8,f(6)>f(5)+f(4)>13,f(7)>f(6)+f(5)>21,f(8)>f(7)+f(6)>34,f(9)>f(8)+f(7)>55,f(10)>f(9)+f(8)>89,f(11)>f(10)+f(9)>144,f(12)>f(11)+f(10)>233,f(13)>f(12)+f(11)>377,f(14)>f(13)+f(12)>610,f(15)>f(14)+f(13)>987,f(16)>f(15)+f(14)>1

597,f(17)>f(16)+f(15)>2

584,f