第三章 第3节　导数与函数单调性的应用

第3节导数与函数单调性的应用提升·关键能力根据单调性求参数范围考点1B2(1,+∞)(1,2)解题策略·(1)已知函数单调性求参数的取值范围.①已知可导函数f(x)在区间D上单调递增,则在区间D上f′(x)≥0恒成立;②已知可导函数f(x)在区间D上单调递减,则在区间D上f′(x)≤0恒成立;③已知可导函数f(x)在区间D上存在单调递增区间,则f′(x)>0在区间D上有解;④已知可导函数f(x)在区间D上存在单调递减区间,则f′(x)<0在区间D上有解.(2)已知函数在所给区间上不单调,则转化为导函数在该区间上存在变号零点,通常利用分离变量法求解参数的取值范围.利用单调性比较大小考点2BA.a>b>c

B.b>a>cC.a>c>b

D.b>c>a解题策略·(1)比较大小时,若要比较的是解析式已知的函数值,可通过函数导数的正负确定函数的单调性,然后根据自变量的大小得到函数值的大小关系,如果自变量的值不在同一个区间,那么要先利用函数的奇偶性、对称性转化到同一个区间上来比较.(2)比较大小时,若只给出了要比较的函数值,则需要根据所给的函数值的特征构造函数,将所给函数值视为相应的函数值,再借助导数确定所构造函数的单调性,从而比较大小.D利用单调性解不等式考点3D[例3]

若函数f(x)=-xln

2-x3,则不等式f(3-x2)+f(5-2x)>0的解集为(

)A.(-4,2)B.(-2,2)C.(-∞,2)∪(2,+∞)D.(-∞,-4)∪(2,+∞)【解析】

因为f(x)的定义域为R,关于原点对称,且f(-x)=-(-x)ln

2-(-x)3=xln

2+x3=-f(x),所以f(x)为奇函数.f′(x)=-ln

2-3x2<0,所以f(x)在R上单调递减,因为f(3-x2)+f(5-2x)>0,所以f(3-x2)>-f(5-2x),即f(3-x2)>f(2x-5),因为f(x)单调递减,所以3-x2<2x-5,解得x<-4或x>2.故选D.解题策略·解不等式时,一方面要借助导数确定单调性,另一方面还要巧妙地将常数转化为函数值,同时注意函数定义域对变量的限制.[针对训练]

设函数f(x)=2x+2-x+x2,则不等式2f(2x)-7>0的解集为

.

微点提能6导数中的函数构造问题微点解读函数思想是中学数学重要的解题思想和方法,也是中学数学的核心素养,解题过程中,可根据题目的结构特征,抓住自变量,构造合理的函数,利用导数研究函数的单调性、极值、最值,进一步研究函数的零点,达到比较实数的大小,研究函数、方程、不等式的目的.题型演绎题型一利用导数的运算法则构造函数角度1构造f(x)±g(x)型可导函数(0,10)解题策略·当题设条件中出现或通过变形可出现特征式“f′(x)±g′(x)”时,可联想、逆用“f′(x)±g′(x)=[f(x)±g(x)]′”,构造可导函数y=f(x)±g(x),然后利用该函数的性质巧妙地解决问题.[拓展演练]

已知函数f(x)的定义域为R,f(1)=4,若∀x∈R,f′(x)>2,则f(x)>2x+2的解集为(

)A.(-1,1)

B.(1,+∞)C.(-∞,1)

D.R【解析】

构造函数F(x)=f(x)-2x-2,满足F(1)=f(1)-4=0,F′(x)=f′(x)-2>0,所以F(x)在R上是增函数,又因为F(1)=0,所以f(x)>2x+2,即F(x)>0=F(1),则x>1,所以原不等式的解集为(1,+∞).故选B.B角度2构造f(x)·g(x)型可导函数A.(2,+∞)

B.(-∞,2)C.(0,+∞)

D.(-∞,0)D(2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,设函数f(x)的导函数为f′(x),若对任意的x>0都有2f(x)+xf′(x)>0成立,则(

)A.4f(-2)<9f(3)

B.4f(-2)>9f(3)C.2f(3)>3f(-2)

D.3f(3)<2f(-2)A【解析】(2)根据题意,令g(x)=x2f(x),其导函数g′(x)=2xf(x)+x2f′(x),又对任意的x>0都有2f(x)+xf′(x)>0成立,则当x>0时,有g′(x)=x[2f(x)+xf′(x)]>0恒成立,即函数g(x)在(0,+∞)上单调递增,又函数f(x)是定义在R上的偶函数,则f(-x)=f(x),则有g(-x)=(-x)2f(-x)=x2f(x)=g(x),即函数g(x)也为偶函数,则有g(-2)=g(2),且g(2)<g(3),则有g(-2)<g(3),即有4f(-2)<9f(3).故选A.解题策略·当题设条件中出现或通过变形可出现特征式“f′(x)·g(x)+f(x)·g′(x)”时,可联想、逆用“f′(x)·g(x)+f(x)·g′(x)=[f(x)·g(x)]′”,构造可导函数y=f(x)·g(x),然后利用该函数的性质巧妙地解决问题.ADCD解题策略·[拓展演练]

已知定义在R上的函数f(x)满足f′(x)>f(x),且f(1)=0,则不等式f(x)>0的解集为

.

(1,+∞)A题型二指对同构[典例4]

已知当x∈(0,+∞)时,不等式ax+eax≥ln

x+x恒成立,则实数a的最小值为(

)解题策略·指对同构,经常使用的变换形式有两种,一种是将x变成lnex,然后构造函数;另一种是将x变成elnx,然后构造函数.B[拓展演练]

设a,b都为正数,e为自然对数的底数,若aea<bln

b,则(

)A.ab>e B.b>ea

C.ab<e D.b<ea【解析】

由aea<bln

b,得ealn

ea<bln

b.设f(