往年八省联考试题及答案

往年八省联考试题及答案一、单选题（每题2分，共20分）1.下列关于函数$f(x)=\ln(x+1)-x$的叙述正确的是：A.函数在$(-1,+\infty)$上单调递增B.函数在$(-1,+\infty)$上单调递减C.函数存在唯一极值点D.函数无极值点2.已知等差数列$\{a_n\}$中，$a_1=2$，公差$d=3$，则$a_5+a_7$的值为：A.20B.22C.24D.263.若复数$z=1+i$，则$|z|^2$等于：A.1B.2C.3D.44.在直角坐标系中，直线$y=2x+1$与圆$(x-1)^2+(y+2)^2=9$的位置关系是：A.相交B.相切C.相离D.无法确定5.已知样本数据$\{x_1,x_2,\ldots,x_10\}$的平均数为$\bar{x}=5$，方差$s^2=4$，则样本数据的标准化数据$\{\frac{x_1-5}{2},\frac{x_2-5}{2},\ldots,\frac{x_{10}-5}{2}\}$的平均数为：A.0B.2C.5D.106.若函数$f(x)=\sin(x+\varphi)$的图像关于原点对称，则$\varphi$的值可能为：A.0B.$\frac{\pi}{2}$C.$\pi$D.$\frac{3\pi}{2}$7.在三棱锥$ABC-D$中，底面$ABC$为等边三角形，侧棱$AD$垂直于底面，若$AB=2$，$AD=1$，则三棱锥$ABC-D$的体积为：A.$\frac{\sqrt{3}}{3}$B.$\frac{\sqrt{3}}{2}$C.$\sqrt{3}$D.$2\sqrt{3}$8.已知函数$g(x)=e^x-1$，则$g(x)$的反函数$g^{-1}(x)$的图像可能为：A.B.C.D.9.在甲、乙两个班级中，随机抽取一名学生参加数学竞赛，已知甲班有30名学生，乙班有40名学生，若甲班学生的平均成绩为85分，乙班学生的平均成绩为90分，则两个班级学生的平均成绩为：A.87.5分B.87.8分C.88分D.88.5分10.已知函数$h(x)=\frac{1}{x}$，则$h(x)$在$(0,+\infty)$上的图像是：A.上升的直线B.下降的直线C.上升的曲线D.下降的曲线二、填空题（每空2分，共20分）1.若函数$f(x)=x^3-3x^2+2$，则$f(x)$的极小值点为______。2.在等比数列$\{b_n\}$中，$b_1=3$，公比$q=2$，则$b_4+b_5=$______。3.若复数$w=-1+i$，则$|w+1|^2=$______。4.圆$(x+1)^2+(y-2)^2=4$的圆心坐标为______，半径为______。5.已知样本数据$\{y_1,y_2,\ldots,y_8\}$的中位数为4，则样本数据的众数可能为______。6.若函数$p(x)=\cos(x+\theta)$的图像关于$y$轴对称，则$\theta$的值可能为______（填一个满足条件的值）。7.在四棱锥$P-ABCD$中，底面$ABCD$为矩形，侧棱$PA$垂直于底面，若$AB=2$，$BC=1$，$PA=3$，则四棱锥$P-ABCD$的表面积为______。8.已知函数$q(x)=\ln(x+2)$，则$q(x)$的定义域为______。9.在一个袋中有5个红球和3个白球，从中随机抽取2个球，则两个球颜色相同的概率为______。10.已知函数$r(x)=x^2-4x+3$，则$r(x)$的图像开口______，对称轴为______。三、解答题（共60分）1.（10分）已知函数$f(x)=2\sin(x+\frac{\pi}{3})+1$。（1）求函数$f(x)$的周期和最大值；（2）解不等式$f(x)>3$。2.（12分）在$\triangleABC$中，角$A$、$B$、$C$的对边分别为$a$、$b$、$c$，已知$a=3$，$b=4$，$c=5$。（1）求$\cosA$的值；（2）求$\sinB+\sinC$的值。3.（12分）已知数列$\{a_n\}$满足$a_1=1$，$a_n+a_{n+1}=2n+1$，$n\in\mathbb{N}^$。（1）求$a_2$，$a_3$，$a_4$；（2）猜测数列$\{a_n\}$的通项公式，并证明你的结论。4.（14分）在直角坐标系中，已知点$A(1,2)$，点$B(3,0)$，点$C(0,4)$。（1）求过点$A$且与直线$BC$垂直的直线方程；（2）求三角形$ABC$的面积。5.（12分）某工厂生产一种产品，每件产品的成本为10元，售价为20元。工厂每生产一件产品，需要缴纳0.5元的环保税。设工厂每天生产$x$件产品，每天获得的利润为$y$元。（1）求$y$关于$x$的函数关系式；（2）当工厂每天生产多少件产品时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？标准答案及解析一、单选题1.C解析：$f'(x)=\frac{1}{x+1}-1=\frac{-x}{x+1}$，令$f'(x)=0$，得$x=0$。当$x\in(-1,0)$时，$f'(x)>0$，函数单调递增；当$x\in(0,+\infty)$时，$f'(x)<0$，函数单调递减。故函数在$(-1,0)$上单调递增，在$(0,+\infty)$上单调递减，存在唯一极值点$x=0$。2.C解析：$a_5+a_7=2a_1+10d=2\times2+10\times3=24$。3.B解析：$|z|^2=|1+i|^2=1^2+1^2=2$。4.A解析：圆心到直线的距离$d=\frac{|2\times1+1-2|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\frac{1}{\sqrt{5}}<3$，故直线与圆相交。5.A解析：标准化数据$\{\frac{x_1-5}{2},\frac{x_2-5}{2},\ldots,\frac{x_{10}-5}{2}\}$的平均数为$\frac{1}{10}\times\frac{1}{2}\times10\times0=0$。6.C解析：$\sin(x+\pi)=-\sinx$，故$\varphi=k\pi$，$k\in\mathbb{Z}$。当$k=1$时，$\varphi=\pi$。7.A解析：三棱锥$ABC-D$的体积$V=\frac{1}{3}\times\frac{\sqrt{3}}{4}\times2^2\times1=\frac{\sqrt{3}}{3}$。8.D解析：$y=e^x-1$的反函数为$x=e^y-1$，即$y=e^x-1$，图像为$D$。9.A解析：两个班级学生的平均成绩为$\frac{30\times85+40\times90}{30+40}=87.5$分。10.D解析：$y=\frac{1}{x}$在$(0,+\infty)$上是下降的曲线。二、填空题1.1解析：$f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$，令$f'(x)=0$，得$x=0$或$x=2$。当$x\in(-\infty,0)$时，$f'(x)>0$，函数单调递增；当$x\in(0,2)$时，$f'(x)<0$，函数单调递减；当$x\in(2,+\infty)$时，$f'(x)>0$，函数单调递增。故$f(x)$的极小值点为$x=2$，极小值为$f(2)=-2$。2.48解析：$b_4+b_5=3\times2^3+3\times2^4=24+48=72$。3.2解析：$|w+1|^2=|-1+i+1|^2=|i|^2=1^2+1^2=2$。4.(-1,2)，2解析：圆$(x+1)^2+(y-2)^2=4$的圆心坐标为$(-1,2)$，半径为$\sqrt{4}=2$。5.4解析：样本数据的中位数为4，众数可能为4。6.0解析：$\cos(x+\theta)=\cosx\cos\theta-\sinx\sin\theta$，若图像关于$y$轴对称，则$\cos\theta=1$，$\sin\theta=0$，故$\theta=0$。7.14解析：四棱锥$P-ABCD$的表面积$S=2\times2\times1+2\times\sqrt{1^2+3^2}+2\times\sqrt{2^2+3^2}=4+2\sqrt{10}+2\sqrt{13}=14$。8.(-2,+\infty)解析：$x+2>0$，故$x>-2$。9.\frac{5}{8}解析：$P(\text{两个球颜色相同})=\frac{C_5^2}{C_8^2}=\frac{10}{28}=\frac{5}{8}$。10.向上，x=2解析：$r(x)=(x-2)^2+1$，故图像开口向上，对称轴为$x=2$。三、解答题1.解：（1）函数$f(x)=2\sin(x+\frac{\pi}{3})+1$的周期$T=\frac{2\pi}{1}=2\pi$，最大值为$2+1=3$。（2）解不等式$f(x)>3$，即$2\sin(x+\frac{\pi}{3})+1>3$，得$\sin(x+\frac{\pi}{3})>1$。由于$\sin$函数的值域为$[-1,1]$，故不等式无解。2.解：（1）由余弦定理，$\cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{4^2+5^2-3^2}{2\times4\times5}=\frac{25}{40}=\frac{5}{8}$。（2）由正弦定理，$\frac{a}{\sinA}=\frac{b}{\sinB}=\frac{c}{\sinC}$，故$\sinB=\frac{b\sinA}{a}=\frac{4\times\frac{5}{8}}{3}=\frac{5}{6}$，$\sinC=\frac{c\sinA}{a}=\frac{5\times\frac{5}{8}}{3}=\frac{25}{24}$。由于$\sinC>\sin\frac{\pi}{2}=1$，故$\sinC$无解。故$\sinB+\sinC=\frac{5}{6}+\frac{25}{24}=\frac{20}{24}+\frac{25}{24}=\frac{45}{24}=\frac{15}{8}$。3.解：（1）$a_2+a_3=2\times1+1=3$，$a_3+a_4=2\times2+1=5$，$a_4+a_5=2\times3+1=7$。故$a_2=3-a_1=2$，$a_3=3-a_2=1$，$a_4=5-a_3=4$。（2）猜测数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=2n-1$。证明：当$n=1$时，$a_1=2\times1-1=1$，成立。假设当$n=k$时，$a_k=2k-1$成立，则$a_k+a_{k+1}=2k+1$，故$a_{k+1}=2k+1-a_k=2k+1-(2k-1)=2$。故当$n=k+1$时，$a_{k+1}=2(k+1)-1$成立。由数学归纳法可知，数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=2n-1$。4.解：（1）直线$BC$的斜率$k_{BC}=\frac{0-4}{3-0}=-\frac{4}{3}$，故过点$A$且与直线$BC$垂直的直线的斜率为$\frac{3}{4}$。故直线方程为$y-2=\f