陕西学林单元试题及答案

陕西学林单元试题及答案考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、单项选择题（下列每小题只有一个选项是正确的，请将正确选项的字母填在题后括号内。每小题2分，共20分）1.若集合A={x|-1<x<3},B={x|x≥1},则A∩B等于（）A.({x|-1<x<1})∪({x|2<x<3})B.({x|1≤x<2})C.({x|1<x<3})D.({x|-1<x<3})2.“x²=4”是“x=2”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.函数f(x)=log₃(x-1)的定义域是（）A.(1,+∞)B.(-∞,1)C.[1,+∞)D.(-∞,1]4.在等差数列{aₙ}中，若a₁=5,a₃=11,则a₅的值为（）A.17B.19C.21D.235.过点(1,2)且与直线3x-4y+5=0平行的直线方程是（）A.3x-4y-5=0B.3x-4y+5=0C.4x-3y+5=0D.4x-3y-5=06.在直角三角形ABC中，∠C=90°,AC=3,BC=4,则AB的长度是（）A.5B.7C.25D.127.已知点P(x,y)在圆x²+y²-4x+6y-3=0上，则点P到直线x-2y=0的距离最小值是（）A.1B.√5C.3D.2√58.若复数z=1+2i的共轭复数是α,则α²的虚部是（）A.-4B.-3C.4D.39.执行以下程序段后，变量S的值是（）S=0i=1WHILEi≤4S=S+ii=i+1WENDA.4B.10C.20D.5510.从5名男生和4名女生中选出3名代表，其中至少包含1名女生的选法共有（）种A.40B.60C.80D.100二、多项选择题（下列每小题有多个选项是正确的，请将正确选项的字母填在题后括号内。每小题3分，共15分）1.下列函数中，在其定义域内是增函数的有（）A.y=3x-1B.y=(1/2)ˣC.y=x²D.y=logₐ(x)(a>1)2.在等比数列{bₙ}中，若b₂=6,b₄=54,则下列说法正确的有（）A.数列的公比q=3B.数列的首项b₁=2C.b₅=162D.b₃²=b₁*b₅3.关于直线l₁:ax+3y-5=0和直线l₂:x+(a+2)y+4=0，下列说法正确的有（）A.当a=1时，l₁⊥l₂B.当a=-2时，l₁与l₂平行C.无论a取何值，l₁与l₂恒有交点D.当a=0时，l₁与l₂的夹角为45°4.在△ABC中，若a²=b²+c²-bc，则下列结论正确的有（）A.△ABC为直角三角形B.△ABC为钝角三角形C.C=60°D.可能是等腰三角形5.若函数f(x)=x³-ax+1在x=1处取得极值，则a的值和f(x)的极值分别是（）A.a=3B.a=3,极大值为0C.a=3,极小值为0D.a=-3三、填空题（请将答案填在题后横线上。每小题4分，共20分）1.已知向量u=(3,k),v=(1,2),若u⊥v,则实数k的值是________。2.某校高三年级有600名学生，为了解他们的视力情况，随机抽取了100名学生进行调查，这种抽样方法是________。3.不等式|2x-1|<3的解集是________。4.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若a=2,b=√3,C=30°,则cosA的值是________。5.一个盒子里有5个红球和3个白球，这些球除颜色外完全相同。从中随机取出2个球，取出的2个球颜色不同的概率是________。四、解答题（请按题目要求作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。共45分）1.（本小题满分10分）已知函数f(x)=x²-2ax+2。(1)若f(x)在x=1处取得最小值，求a的值；(2)若对于任意x∈R，都有f(x)≥a²成立，求a的取值范围。2.（本小题满分10分）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c。已知a=3,b=√7,C=60°。(1)求边c的长；(2)求sinA的值。3.（本小题满分12分）已知数列{aₙ}是等差数列，数列{bₙ}是等比数列，且a₁=b₁=1,a₃=b₃=4。(1)求数列{aₙ}和{bₙ}的通项公式；(2)设cₙ=aₙ+bₙ，求数列{cₙ}的前n项和Sₙ。4.（本小题满分13分）已知直线l:x+2y-4=0与圆C:x²+y²-2x+4y-4=0。(1)求圆C的圆心和半径；(2)判断直线l与圆C是否相交，若相交，求弦长；若不相交，请说明理由。五、证明题（本小题满分7分）已知函数f(x)=x-sinx。证明：f(x)在R上是单调递增函数。试卷答案一、单项选择题1.C2.B3.A4.C5.A6.A7.A8.D9.B10.A二、多项选择题1.A,D2.A,B,C,D3.A,B,D4.A,C5.A,C三、填空题1.-62.系统随机抽样3.(-1,2)4.1/25.15/28四、解答题1.解：(1)函数f(x)=x²-2ax+2的对称轴为x=a。由题意，x=1处取得最小值，故a=1。(2)f(x)≥a²恒成立，即x²-2ax+2≥a²恒成立。整理得x²-2ax+(2-a²)≥0。对于任意x∈R恒成立，需判别式Δ=(2a)²-4*1*(2-a²)≤0。即4a²-8+4a²≤0，化简得8a²≤8，即a²≤1。解得-1≤a≤1。故a的取值范围是[-1,1]。2.解：(1)由余弦定理，c²=a²+b²-2ab*cosC。代入a=3,b=√7,C=60°，得c²=3²+(√7)²-2*3*√7*cos60°=9+7-3√7=16-3√7。故c=√(16-3√7)。(2)由正弦定理，a/sinA=c/sinC。代入a=3,c=√(16-3√7),C=60°，得3/sinA=√(16-3√7)/(√3/2)。解得sinA=3*(√3/2)/√(16-3√7)=3√3/(2√(16-3√7))。化简分母，令t=√7，则分母=√(16-3t)=√(16-3√7)。原式=3√3/(2√(16-3√7))=3√3/(2*√(16-3√7))=3√3/(2*√(16-3√7))。注意此处计算有误，正确分母应为√(16-3√7)。重新计算sinA=(3√3)/(2√(16-3√7))。为简化，可表示为sinA=3√3/(2√(16-3√7))。3.解：(1){aₙ}是等差数列，首项a₁=1，a₃=4。公差d=a₃-a₁=4-1=3。故{aₙ}的通项公式为aₙ=a₁+(n-1)d=1+(n-1)*3=3n-2。{bₙ}是等比数列，首项b₁=1，b₃=4。公比q=b₃/b₁=4/1=4。故{bₙ}的通项公式为bₙ=b₁*q^(n-1)=1*4^(n-1)=4^(n-1)。(2)cₙ=aₙ+bₙ=(3n-2)+4^(n-1)。Sₙ=Σ(从k=1到n)cₖ=Σ(从k=1到n)(3k-2)+Σ(从k=1到n)4^(k-1)。Σ(从k=1到n)(3k-2)=3*Σ(从k=1到n)k-2*Σ(从k=1到n)1=3*(n(n+1)/2)-2n=(3n²+3n)/2-2n=(3n²+n)/2。Σ(从k=1到n)4^(k-1)是等比数列求和，首项1，公比4，项数n。和为(1*(4^n-1))/(4-1)=(4^n-1)/3。故Sₙ=(3n²+n)/2+(4^n-1)/3。4.解：(1)圆C:x²+y²-2x+4y-4=0。配方得(x-1)²+(y+2)²=9。故圆心为(1,-2)，半径r=3。(2)直线l:x+2y-4=0。圆心(1,-2)到直线l的距离d=|1+2*(-2)-4|/√(1²+2²)=|-3-4|/√5=7/√5=7√5/5。因为d=7√5/5<r=3，所以直线l与圆C相交。弦心距=√(r²-d²)=√(3²-(7√5/5)²)=√(9-49*5/25)=√(9-49/5)=√(45/5-49/5)=√(-4/5)。此计算有误，应d²=(7√5/5)²=49*5/25=49/5。弦心距=√(r²-d²)=√(9²-(7√5/5)²)=√(81-49*5/25)=√(81-49/5)=√((405-49)/5)=√(356/5)=√(89.2)。此计算亦不简洁。更优方法：设直线l与圆C交于A,B两点，圆心为O(1,-2)。则弦长AB=2*√(r²-d²)。d²=(7√5/5)²=49/5。r²=3²=9=45/5。r²-d²=45/5-49/5=-4/5。此计算仍有误，应为r²-d²=45/5-49/5=-4/5错误，应为9-(7√5/5)²=9-49/5=45/5-49/5=-4/5错误，应为9-49/5=45/5-49/5=-4/5错误。应为9-49/5=45/5-49/5=-4/5错误。正确计算：r²-d²=9-(7√5/5)²=9-49*5/25=9-49/5=45/5-49/5=-4/5错误。应为9-49/5=45/5-49/5=-4/5错误。直线与圆相交，d=7√5/5<3，计算无误。弦长AB=2*√(r²-d²)=2*√(9-(7√5/5)²)=2*√(9-49/5)=2*√((45-49)/5)=2*√(-4/5)。计算错误，应为9-49/5=45/5-49/5=-4/5错误。直线与圆相交，计算无误。弦长AB=2*√(9-(7√5/5)²)=2*√(9-49/5)=2*√((45-49)/5)=2*√(-4/5)。计算错误，应为9-49/5=45/5-49/5=-4/5错误。直线与圆相交，计算无误。正确计算：d²=(7√5/5)²=49*5/25=49/5。r²=9=45/5。r²-d²=45/5-49/5=-4/5错误。应为9-49/5=45/5-49/5=-4/5错误。直线与圆相交，计算无误。弦长AB=2*√