详细介绍形如函数y=x^2√(1+x^2)的图像示意图画法步骤B7

函数y=x2eq\r(283+40x2)主要性质及其图像示意图主要内容：介绍函数y=x2eq\r(283+40x2)的定义域、值域、单调性、凸凹性、极限等主要函数性质，并通过导数知识求解计算函数的单调区间和凸凹区间，同时简要画出函数y=x2eq\r(283+40x2)图像示意图。函数定义域及值域因为y=x2eq\r(283+40x2)，含有根式，所以283+40x2≥0，可知自变量x取任意实数均成立，所以函数y=x2eq\r(283+40x2)的定义域为：(-∞，+∞）。函数的单调性可根据复合函数单调性来判断，对于本题有：当x≥0时，y1=x2为增函数，y2=x2eq\r(283+40x2)也为增函数，所以y=y1*y2为增函数；同理，当＜0时，y1=x2为减函数，y2=eq\r(283+40x2)也为减函数，根据同增同减为增函数原则，则y=y1*y2为增函数。本题还可以用导数知识判断函数单调性，步骤如下：由y=x2eq\r(283+40x2)，对x求导得：eq\f(dy,dx)=2xeq\r(283+40x2)+2x2*eq\f(40x,2eq\r(283+40x2))=eq\f(x*(120x2+566),eq\r(283+40x2)),此时单调性判断如下：(1)当x∈[0,+∞)时,eq\f(dy,dx)≥0，则函数为增函数。(2)当x∈(-∞，0)时，eq\f(dy,dx)＜0，则函数为减函数。函数的凸凹性：由eq\f(dy,dx)=eq\f(x*(120x2+566),eq\r(283+40x2))=eq\f(120x3+566x,eq\r(283+40x2))，再次对x求导得，eq\f(dy2,dx2)=eq\f((360x2+566)eq\r(283+40x2)-(120x3+566x)*eq\f(40x,eq\r(283+40x2)),283+40x2)=eq\f((360x2+566)(283+40x2)-(120x3+566x)*40x,\r((283+40x2)3))=eq\f(2(4800x4+50940x2+80089),\r((283+40x2)3)),可知eq\f(dy2,dx2)>0，则函数在定义域上为凹函数。函数的极限:lim(x→-∞)x2eq\r(283+40x2)=+∞，lim(x→0-)x2eq\r(283+40x2)=0，lim(x→0+)x2eq\r(283+40x2)=0，lim(x→+∞)x2eq\r(283+40x2)=+∞。函数的奇偶性因为f(x)=x2eq\r(283+40x2)，所以f(-x)=(-x)2eq\r(283+40(-x)2)，即：f(-x)=x2eq\r(283+40x2)=f(x)。故函数y=x2eq\r(283+40x2)为偶函数，关于y轴对称。函数的五点图表x00.10.20.30.4x200.010.040.090.16eq\r(283+40x2)016.8316.8716.9317.01y00.170.671.522.72x0-0.1-0.2-0.3-0.4x200.010.040.090.16eq\r(283+40x2)016.8316.8716.9317.01y00.170.671.522.72函数的示意图y=x2eq\r(283+40x2) y (-0.4,2.72)(0.4,2.72)(-0.3,1.52)(0.3,1.52)(-0.2,0.67)(0.2,0.67)