莱职院机械设计基础教案第10章 齿轮传动

第10章齿轮传动（一）教学要求了解齿轮机构的类型和应用，掌握齿廓啮合基本定理、渐开线性质、啮合特性、标准直齿圆柱齿轮的主要参数和尺寸计算，熟悉齿轮正确啮合条件和连续传动条件，能够计算斜齿轮、锥齿轮的几何尺寸，能正确分析齿轮失效原因，确定设计准则、进行强度校核。（二）教学的重点与难点重点：直齿圆柱齿轮基本参数的确定与几何尺寸、正确啮合条件、连续传动条件的计算、失效形式和计算准则、受力分析和强度计算。难点：斜齿圆柱齿轮、锥齿轮的当量齿轮概念、受力分析和强度计算。（三）教学内容10.1齿轮传动的特点和基本类型

10.2渐开线齿轮的齿廓及传动比

10.3渐开线标准直齿圆柱齿轮的主要参数及几何尺寸计算

10.4渐开线直齿圆柱齿轮的啮合传动

10.5渐开线齿轮的加工方法

10.6渐开线齿廓的根切现象与标准外齿轮的最少齿数

10.7变位齿轮传动

10.8齿轮常见的失效形式与设计准则

10.9齿轮的常用材料及许用应力

10.10渐开线直齿圆柱齿轮传动的强度计算

10.11斜齿圆柱齿轮传动

10.12直齿圆锥齿轮传动

10.13齿轮的结构设计及齿轮传动的润滑和效率 【学习内容】

本章将介绍渐开线圆柱直齿、斜齿轮以及直齿圆锥齿轮传动的设计计算，内容包括齿轮原理和齿轮强度两个方面，其中将着重讨论圆柱直齿轮的设计计算方法。

齿轮原理部分将介绍渐开线特性、啮合特性、啮合传动等，关于变位齿轮仅介绍传动计算的内容。齿轮强度部分将介绍齿轮材料的选择、失效形式、设计准则等，从而得出具体的设计计算方法。10.1齿轮传动的特点和基本类型10.1.1齿轮传动的特点

齿轮传动用来传递任意两轴间的运动和动力，其圆周速度可达到300m/s，传递功率可达105KW，齿轮直径可从不到1mm到150m以上，是现代机械中应用最广的一种机械传动。

齿轮传动与带传动相比主要有以下优点：（1）传递动力大、效率高；（2）寿命长，工作平稳，可靠性高；（3）能保证恒定的传动比，能传递任意夹角两轴间的运动。

齿轮传动与带传动相比主要缺点有：（1）制造、安装精度要求较高，因而成本也较高；（2）不宜作远距离传动。

10.1.2齿轮传动的类型10.2渐开线齿轮的齿廓及传动比10.2.1渐开线的形成直线BK沿半径为rb的圆作纯滚动时，直线上任一点K的轨迹称为该圆的渐开线。该圆称为渐开线的基圆。rb---基圆半径；BK---渐开线发生线

；---渐开线上K点的展角渐开线的形成10.2.2渐开线的性质（1）发生线沿基圆滚过的线段长度等于基圆上被滚过的相应弧长。由于发生线BK在基圆上作纯滚动，故（2）渐开线上任意一点法线必然与基圆相切。换言之，基圆的切线必为渐开线上某点的法线。因为当发生线在基圆上作纯滚动时，它与基圆的切点B是发生线上各点在这一瞬时的速度瞬心，渐开线上K点的轨迹可视为以B点为圆心，BK为半径所作的极小圆弧，故B点为渐开线上K点的曲率中心，BK为其曲率半径和K点的法线，而发生线始终相切于基圆，所以渐开线上任意一点法线必然与基圆相切。（3）渐开线齿廓上某点的法线与该点的速度方向所夹的锐角称为该点的压力角。

（4）渐开线的形状只取决于基圆大小。基圆愈小，渐开线愈弯曲；基圆愈大，渐开线愈平直。当基圆半径为无穷大，其渐开线将成为一条直线。（5）基圆内无渐开线。问题1：

G1、G3为同一基圆上所生成的两条同向渐开线,试问K1K3与K1'K3'之间有何关系?问题2：

G1、G2为同一基圆上所生成的两条反向渐开线,试问K1K2与K1'K2´之间有何关系?

10.2.3渐开线方程建立渐开线方程式前，我们先了解一下渐开线压力角的概念：

当以渐开线作为齿轮齿廓曲线并与其共轭的齿廓在K点啮合时，该齿廓在K点所受正压力的方向线为KB，齿轮绕O点转动时,K点速度方向线为Kv，两者之间所夹的锐角称为渐开线在K点的压力角,用表示，其大小等于∠KOB。以O为极点,OA为极轴,建立渐开线的极坐标方程。

由△OBK可知：向径：极角：称为压力角的渐开线函数，工程上用表示。渐开线的极坐标方程式：

为使用方便，在工程中已把不同压力角的渐开线函数值列成渐开线函数表（详表可查阅参考书）。【学习指导】

渐开线的性质和方程式是研究渐开线齿轮机构的基础，必须牢固掌握。

特别注意：齿轮啮合传动的许多重要的几何关系都与渐开线方程式有关，故应熟记并会灵活应用，

以下是就此方程中参数的几点说明：a）压力角的定义在物理意义上与连杆机构、凸轮机构中压力角的定义是一致的，即：在不计摩擦的情况下，渐开线上一点K所受的力F的方向与K点速度方向之间所夹的锐角。显然，渐开线上不同点的压力角是不同的。渐开线在基圆上的压力角为零；K点离基圆越远,越大。

b）展角和渐开线函数是同一个函数的两个不同的名称，它们表示的是同一个角度。10.2.4渐开线齿廓的啮合特点1.四线合一如图所示，一对渐开线齿廓在点K相啮合。由渐开线的性质可知,这对齿廓在点K的法线N1K

和N2K分别切于各自的基圆。由于这对齿廓在K点相切接触构成高副，则必有一条过点K的公法线。因此N1K和N2K

必与此公法线重合而成为一条直线N1N2，成为两基圆的一条内公切线。

从动画中可以看出，无论两齿廓在什么位置啮合,啮合点都在两基圆的内公切线N1N2上，这条内公切线就是啮合点K走过的轨迹，称为啮合线。在两基圆的大小和位置都确定的情况下，在同一方向上只有一条内公切线，所以，啮合线为一条定直线。

优点：在渐开线齿轮传动过程中，齿廓间的正压力方向始终不变,对传动的平稳性极为有利。渐开线齿廓满足齿廓啮合基本定律2.中心距可分性上式表明：渐开线齿轮的传动比等于两轮基圆半径的反比。3.齿廓间正压力方向不变。如图所示，过节点C作两节圆的公切线tt，它与啮合线N1N2的夹角α’称为啮合角。它的大小与中心距有关，标志着啮合线的倾斜程度。节圆压力角:当一对渐开线齿廓在节点C处啮合时,啮合点K与节点C重合,这时的压力角称为节圆压力角,可分别用∠N1O1C和∠N2O2C度量。

结论:

∠N1O1C=∠N2O2C=

一对相啮合的渐开线齿廓的节圆压力角必然相等，且恒等于啮合角。4.齿廓间存在相对滑动。由齿廓啮合基本定律证明可知，一对齿廓如在节点C以外的其它点啮合，由于两齿廓在接触点的线速度不等，即齿廓接触点沿公切线方向的速度分量不等（ad>bd)，则齿廓间将产生相对滑动。齿廓间的这种相对滑动会引起传动时的摩擦损失和齿面磨损。10.3渐开线标准直齿圆柱齿轮的主要参数及几何尺寸计算10.3.1齿轮各部分名称及符号10.3.2渐开线标准直齿圆柱齿轮的基本参数及几何尺寸计算1模数齿轮圆周上轮齿的数目称为齿数，用z表示。根据齿距的定义知2压力角

3齿数

4齿顶高系数

ha=ha*m

（ha*=1）

5顶隙系数

c=c*m

(c*=0.25)

hf=(ha*+c*)m

全齿高

h=ha+hf=(2ha*+c*)m标准齿轮是指模数、压力角、齿顶高系数和顶隙系数均为标准值，且分度圆上的齿厚等于齿槽宽的齿轮。内齿轮与外齿轮的不同点是：

1.齿顶圆小于分度圆,齿根圆大于分度圆。

2.齿廓是内凹的,其齿厚和槽宽分别对应于外齿轮的槽宽和齿厚。3.齿顶圆必须大于基圆。齿条与外齿轮相比主要有以下两个特点：

1、齿廓不同高度上的压力角均相等，且等于齿廓的倾斜角，此角称为齿形角，标准值为20°。

2、齿廓在不同高度上的齿距均相等，即：。

3、齿廓不同高度线上的齿厚和槽宽各不相同，其中只有一条高度线上的齿厚等于槽宽，即：

这条线我们称为齿条中线（它相当于标准齿轮的分度圆）。【思考题】1、

渐开线直齿圆柱齿轮的基本参数有哪几个？哪些是有标准的，其标准值为多少？为什么这些参数为基本参数？2、

一个渐开线齿轮任意圆上的模数是否都一样？通常我们说齿轮的模数指的是什么？3、

齿距、法向齿距和基圆齿距是怎样定义的？它们之间有什么关系？4、

渐开线的形状取决于什么？若两个渐开线齿轮的模数和齿数分别相等，但压力角不同，它们齿廓渐开线形状是否相同？

5、试准确叙述分度圆和标准齿轮的定义。【学习指导】

熟练掌握渐开线标准基本直齿圆柱齿轮的五个基本参数和几何尺寸计算。1、五个基本参数

理解z、m、、ha*、c*五个基本参数的几何意义。知道除齿数z外，其余四个参数都应取标准

值，并记住、ha*、c*三个参数的标准值。模数m是一个长度比例参数，它与齿距p的几何意

义相同，两者之间的关系为：2、几何尺寸计算

几何尺寸计算公式虽然比较多，但记住几个基本式子，再根据齿轮几何图形就不难记忆。3、两个重要概念（1）分度圆--渐开线齿轮上，具有标准模数和标准压力角的圆。除了分度圆以外，齿轮上的其它圆的

模数和压力角不一定是标准值。（2）标准齿轮--分度圆上的齿厚等于槽宽的齿轮。分度圆上的齿厚是否等于槽宽，是区别标准齿轮与

非标准齿轮（变位齿轮）的一个重要标志。对于标准齿轮，分度圆以外的其它圆上，齿厚与槽宽

不相等。

容易混淆的概念(1)

分度圆与节圆

分度圆是指单个齿轮上具有标准模数和标准压力角的圆.只要确定了齿数和模数,这个齿轮的分度圆半

径就确定下来了，在加工、安装、传动时分度圆都不会改变。节圆是一对齿轮在啮合传动时两个相切作纯滚动的圆，其大小将随两轮中心距的变化而变化。单个齿

轮没有节圆。一般情况下节圆半径与分度圆的半径不相等，只有当两轮的实际中心距等于标准中心距

时，两轮的节圆才分别与两轮的分度圆重合。（2）压力角与啮合角压力角是指单个齿轮渐开线齿廓上某一点的线速度方向与该点法线方向所夹的锐角。渐开线齿廓上各

点压力角的大小是不相等的（齿条齿廓例外）。啮合角是指一对齿轮啮合时，啮合线与两节圆公切线之间所夹的锐角。啮合角的大小与两轮的中心距

有关，当两个齿轮在确定的中心距下安装后，在一个方向上只有一条固定的内公切线，所以啮合角

的大小不随齿轮啮合过程变化。当一对齿廓在节点C处啮合时，啮合点K与节点C重合，这时的压力角称为节圆压力角，相啮合的一对

渐开线齿廓的节圆压力角必然相等，且恒等于啮合角；当两轮的中心距等于标准中心距时，分度圆与

节圆重合，啮合角等于分度圆压力角。10.4渐开线直齿圆柱齿轮的啮合传动10.4.1渐开线直齿圆柱齿轮的正确啮合条件图1图2图3以上三个图中的齿轮都是渐开线齿轮，图1和图2中的主动轮只能带动从动轮转过一个小角度就卡死不能动了，而图3中的主动轮可以带动从动轮整周转动，看来并不是任意两个渐开线齿轮都能正确地进行啮合，而是必须满足一定的条件，即正确啮合条件。那么，这个条件是什么？

从图3中可以看出：两个渐开线齿轮在啮合过程中，参加啮合的轮齿的工作一侧齿廓的啮合点都在啮合线N1N2上。而在图1和图2中，工作一侧齿廓的啮合点H不在啮合线N1N2上，这就是两轮卡死的原因。

从图3中可以看出

是齿轮1的法向齿矩，是齿轮2的法向齿矩，亦即:

这个式子就是一对相啮合齿轮的轮齿分布要满足的几何条件,称为正确啮合条件。请分析一下图1和图2中的两个齿轮的法向齿距的关系

。

由渐开线性质可知，法向齿距与基圆齿距相等，故上式也可写成

将和代入式中得：

由于模数m和压力角均已标准化，不能任意选取，所以要满足上式必须使：

结论：一对渐开线齿轮，在模数和压力角取标准值的情况下，只要它们分度圆上的模数和压力角分别相等，就能正确啮合。10.4.2渐开线齿轮传动的重合度1一对轮齿啮合过程2连续传动条件向齿距分别相等，即都满足正确啮合条件。但动画1中的齿轮传动是间断的，而动画2和动画3中的齿轮传动是连续的。可见，一对齿轮要连续传动除满足正确啮合条件外，还需满足别的条件，这个条件是什么？

在研究这个问题之前，我们先来研究轮齿的啮合过程图中B2点（从动轮2齿顶圆与啮合线N1N2的交点），是一对轮齿啮合的起始点。随着啮合传动的进行，两齿廓的啮合点沿着啮合线移动，直到B1点（主动轮1的齿顶圆与啮合线的交点）时，两轮齿即将脱离接触，B1点为轮齿啮合的终止点。

从一对轮齿的啮合过程来看，啮合点实际走过的轨迹只是啮合线上的一段，即，称为实际啮合线。

当两轮齿顶圆加大时，点B2和B1将分别趋近于点N1和N2，实际啮合线将加长，但因基圆内无渐开线，所以实际啮合线不会超过N1N2，即N1N2是理论上可能的最长啮合线，称为理论啮合线。全部渐开线齿廓都参加工作，而是图中阴影线所示的部分。实际参与啮合的这段齿廓称为齿廓工作段。条件。

从动画1中可以看出，虽然一对渐开线齿轮的法向齿距相等，但是，当前一对轮齿在点B1脱离啮合时，后一对轮齿尚未进入啮合，传动中断。

在动画2中,，当前一对轮齿在B1点即将脱离啮合时，后一对轮齿正好在B2点啮合，传动刚好连续，在传动过程中，始终有一对轮齿啮合。

在动画3中，，当前一对轮齿尚未脱离啮合时，后一对轮齿已进入啮合，确保了传动的连续性。在传动过程中，有时是一对轮齿啮合，有时是两对轮齿啮合。

所以，齿轮连续传动的条件是实际啮合线大于或至少等于法向齿距。我们把与的比值用表示，称为齿轮传动的重合度，故齿轮连续传动的条件为：

从理论上讲重合度＝1就能保证齿轮的连续传动，但在实际应用中考虑到制造和安装的误差，为确保齿轮传动的连续，应大于或至少等于许用值[]。10.4.3渐开线齿轮的无侧隙传动1、外啮合齿轮传动一对满足正确啮合条件的外啮合标准直齿圆柱齿轮，在什么情况下能满足无侧隙啮合条件呢？如图所示为满足正确啮合条件的一对外啮合标准直齿圆柱齿轮，它的中心距是两轮分度圆半径之和，此中心距称为标准中心距。

啮合线N1N2与O1O2的交点C是啮合节点，而两轮分度圆也相切于C点，所以分度圆与节圆重合为一个圆。即

由于标准齿轮的分度圆齿厚与槽宽相等，因此结论：两个标准齿轮如果按照标准中心距安装，就能满足无齿侧间隙啮合条件，能实现无齿侧间隙啮合传动。

两个标准齿轮在这种安装情况下，还有什么特点？从图中可以看出一轮齿顶与另一轮齿根之间有一个径向间隙c，我们称为顶隙，它是为储存润滑油以润滑齿廓表面而设置的，这就是标准齿轮齿根高大于齿顶高的原因，并因此把c*称为顶隙系数。在上述的安装情况下c＝c*m，c*m称为标准顶隙。

一对标准齿轮按照标准中心距安装，我们称之为标准安装

。2、标准齿轮齿条标准安装及啮合特点在标准安装的情况下，节点C是齿条中线与分度圆的切点，此时，齿轮分度圆与节圆重合，齿条中线与节线重合；啮合角等于分度圆压力角。

由于标准齿轮分度圆上的齿厚等于槽宽，齿条中线上的齿厚也等于槽宽，且均等于。

结论：标准齿轮和齿条如果是标准安装，就能满足无齿侧间隙啮合条件，能实现无齿侧间隙啮合传动。如果将齿条沿径向下移一段距离后，会有什么情况出现？

从图中可以看出，齿轮和齿条将只有一侧接触，另一侧出现间隙。但由于啮合线不变，因而节点C不变，故：齿轮节圆与分度圆仍重合，但齿条节线与中线不再重合；啮合角等于分度圆压力角。这种安装称为非标准安装。从上面的分析可以发现，当齿轮与齿条啮合传动时，无论是标准安装还是非标准安装都具有下面两个特点：

1.齿轮分度圆永远与节圆重合，2.啮合角永远等于分度圆压力角，

【思考题】1、

一对渐开线齿廓啮合传动时，是什么因素使得其实际啮合线只是理论啮合线上的一部分？2、

渐开线直齿圆柱齿轮机构要满足哪些条件才能相互啮合正常运转？为什么要满足这些条件？3、

正确啮合条件和连续传动条件各解决的是什么问题？4、

一对渐开线外啮合直齿圆柱齿轮机构的实际中心距大于设计中心距，其传动比是否有变化？节圆

与啮合角是否有变化？这一对齿轮还能正确啮合吗？重合度是否有变化？5、

重合度的含义是什么？有哪些参数会影响重合度？6、“的一对圆柱直齿轮传动不可能有三对轮齿同时在啮合”。这样说是否正确？7、有人说“齿轮与齿条，不论是作无侧隙啮合传动还是作有侧隙啮合传动，齿轮的节圆都与分度圆

重合”。这样说是否正确？为什么？【学习指导】本节研究了为保证一对渐开线直齿圆柱齿轮能够稳定而连续地实现定角速比传动，并且在正、反转时没有冲击所必须满足的三个条件，即正确啮合条件、连续传动条件和无齿侧间隙啮合条件。正确啮合条件和连续传动条件，是保证一对齿轮能够正确啮合并连续平稳传动的缺一不可的条件。如前者不满足，两轮轮齿不能正确进入啮合，也就谈不上传动是否连续的问题；但仅满足前者，后者得不到保证，则两轮的啮合传动将会出现中断。1、一对齿轮要连续传动的条件是：重合度

，要求理解这个式子的几何意义。2、重合度的计算式不需记忆，但应知道式中各个参数的含义，能用它计算出重合度的准确值。3、应该了解影响重合度大小的因素以及它的含义。影响重合度大小的因素如下：1）与模数m没有直接关系。2）齿数z对的影响不明显，z增加会使略有增大（但远非线性关系）。3）齿顶圆减小会使值下降，因此，短齿制齿轮（）要比正常齿制齿轮（）的重合度小，

选用短齿制齿轮时要注意核验值。4）中心距对影响很大，加大时，两个基圆随之远离，但半径rb不变，因而啮合线变陡，啮合角

增大；同时，两个齿顶圆随之远离，使B2和B1点靠近，这两方面影响的结果使实际啮合线急

剧变短，从而使迅速减小。

10.5渐开线齿轮的加工方法近代齿轮加工方法很多，如：切制法、铸造法、热轧法、冲压法、电加工法等。但从加工原理的角度看，可分为两大类，即仿形法和范成法。

仿形法是用与齿槽形状相同的成形刀具或模具将轮坯齿槽的材料去掉。常用的有铣削法和拉削法。1.仿形法仿形法是在普通铣床上用轴向剖面形状与被切齿轮齿槽形状完全相同的铣刀切制齿轮的方法，如图所示。铣完一个齿槽后，分度头将齿坯转过3600/z，再铣下一个齿槽，直到铣出所有的齿槽。由于渐开线齿廓的形状取决于模数、齿数和压力角的大小。压力角虽只有一个标准值(20度),但模数的标准值却有几十个，尤其是齿数的取值范围更广。如果为不同模数、不同齿数的齿轮都准备一把刀具，刀具数量就会相当庞大，非常不经济。在实际生产中，对同一种模数，一般只备有1至8号八种铣刀。每一号铣刀的刀刃形状都是按对应的该组齿轮中齿数最少的那个齿轮的齿形制成的。

仿形法加工方便易行，但精度难以保证。由于渐开线齿廓形状取决于基圆的大小，而基圆半径rb=(mzcosα)/2，故齿廓形状与m、z、α有关。欲加工精确齿廓，对模数和压力角相同的、齿数不同的齿轮，应采用不同的刀具，而这在实际中是不可能的。生产中通常用同一号铣刀切制同模数、不同齿数的齿轮，故齿形通常是近似的。表中列出了1-8号圆盘铣刀加工齿轮的齿数范围。圆盘铣刀加工齿数的范围刀号12345678加工齿数范围12-1314-1617-2021-2526-3435-5455-134135以上2.展成法

展成法是利用一对齿轮无侧隙啮合时两轮的齿廓互为包络线的原理加工齿轮的。加工时刀具与齿坯的运动就像一对互相啮合的齿轮，最后刀具将齿坯切出渐开线齿廓。范成法切制齿轮常用的刀具有三种：

（1）齿轮插刀

是一个齿廓为刀刃的外齿轮；

（2）齿条插刀

是一个齿廓为刀刃的齿条；（3）齿轮滚刀

像梯形螺纹的螺杆，轴向剖面齿廓为精确的直线齿廓，滚刀转动时相当于齿条在移动。可以实现连续加工，生产率高。

用展成法加工齿轮时，只要刀具与被切齿轮的模数和压力角相同，不论被加工齿轮的齿数是多少，都可以用同一把刀具来加工，这给生产带来了很大的方便，因此展成法得到了广泛的应用。思考题

现有4个标准齿轮：1)m1=4mm,z1=25；

2)m2=4mm,z2=50；

3)m3=3mm,z3=60；

4)m4=2.5mm,z4=40。

试问：1）哪两个齿轮的渐开线形状相同？2）哪两个齿轮能正确啮合？3）哪两个齿轮能用同一把滚刀制造?这两个齿轮能否改成用同一把铣刀加工？10.6渐开线齿廓的根切现象与标准外齿轮的最少齿数10.6.1根切现象

用展成法加工齿轮时，若刀具的齿顶线（或齿顶圆）超过理论啮合线极限点N时（如图所示），被加工齿轮齿根附近的渐开线齿廓将被切去一部分，这种现象称为根切（如图所示）。10.6.2标准外齿轮的最少齿数

如图所示为齿条插刀加工标准外齿轮的情况，齿条插刀的分度线与齿轮的分度圆相切。要使被切齿轮不产生根切，刀具的齿顶线不得超过N点。思考题用滚刀和圆盘铣刀加工出两个齿数为13的标准直齿轮，这两个齿轮齿廓有什么不同？若将它们分别与标准齿条相啮合，会有什么不同状况？10.7变位齿轮传动10.7.1变位齿轮概述

前面讨论的都是渐开线标准齿轮，它们设计计算简单，互换性好。但标准齿轮传动仍存在着一些局限性：（1）受根切限制，齿数不得少于Zmin，使传动结构不够紧凑；（2）不适合于安装中心距a'不等于标准中心距a的场合。当a'<a时无法安装，当a'>a时，虽然可以安装，但会产生过大的侧隙而引起冲击振动，影响传动的平稳性；（3）一对标准齿轮传动时，小齿轮的齿根厚度小而啮合次数又较多，故小齿轮的强度较低，齿根部分磨损也较严重，因此小齿轮容易损坏，同时也限制了大齿轮的承载能力。

为了改善齿轮传动的性能，出现了变位齿轮。如图所示，当齿条插刀齿顶线超过极限啮合点N1，切出来的齿轮发生根切。若将齿条插刀远离轮心O1一段距离（xm），齿顶线不再超过极限点N1，则切出来的齿轮不会发生根切，但此时齿条的分度线与齿轮的分度圆不再相切。这种改变刀具与齿坯相对位置后切制出来的齿轮称为变位齿轮，刀具移动的距离xm称为变位量，x称为变位系数。刀具远离轮心的变位称为正变位，此时x>0；刀具移近轮心的变位称为负变位，此时x<0。标准齿轮就是变位系数x=0的齿轮。10.7.2最小变位系数ha*m-xm≤N1EN1E=CN1sinα=rsin2α=mz/2sin2α式中z为被切齿轮的齿数。联立以上二式得x≥ha*-z/2sin2α由式

zmin=2ha*/sin2α，x≥ha*(zmin-z)/zmin由此可得最小变位系数为xmin=ha*(zmin-z)/zmin当ha*=1,α=200时，xmin=(17-z)/1710.7.3变位齿轮的几何尺寸和传动类型1.变位齿轮的几何尺寸

变位齿轮的齿数、模数、压力角与标准齿轮相同，所以分度圆直径、基圆直径和齿距也都相同，但变位齿轮的齿厚、齿顶圆、齿根圆等都发生了变化，具体的尺寸计算公式列于表中。外啮合变位直齿轮基本尺寸的计算公式名称符号计算公式分度圆直径dd=mz齿厚ss=m(π/2+2xtgα)啮合角α'invα'=invα+2tgα(x1+x2)/(z1+z2)或cosα'=a/a'cosα节圆直径d'd'=dcosα/cosα'中心距变动系数y齿高变动系数σσ=x1+x2-y齿顶高haha=(ha*+x-σ)m齿根高hfhf=(ha*+c*-x)m齿全高hh=(2ha*+c*-σ)m齿顶圆直径dada=d+2ha齿根圆直径dfdf=d-2hf中心距a'a'=(d1'+d2')/2公法线长度Wk

Wk=mcosα[(k-0.5)π+zinvα]+2xmsinα

分度圆齿厚、齿槽宽和公法线长度的计算s=m(π/2+2xtgα)

e=m(π/2–2xtgα)Wk=mcosα[(k-0.5)π+zinvα]+2xmsinαk=αmz/1800+0.5αm-----半径为rm=r+xm的圆周上的压力角。

啮合角α'与总变位系数x1+x2的关系invα'=2tgα(x1+x2)/(z1+z2)+invα

中心距与啮合角的关系；中心距变动系数y的计算

顶隙为：

σ称为齿顶高变动系数。

齿高、齿顶圆和齿根圆的计算2.变位齿轮传动的类型

根据变位系数之和的不同值，变位齿轮传动可分为三种类型，标准齿轮传动可看作是零传动的特例。表中列出了各类齿轮传动的性能与特点。传动类型高度变位传动又称零传动角度变位传动正传动负传动齿数条件

z1+z2≥2Zmin

z1+z2<2zmin

z1+z2>2zmin变位系数要求

x1+x2=0,x1=-x2≠0

x1+x2>0

x1+x2<0传动特点

a'=a,α'=α,y=0

a'>a,α'>α,y>0

a'<a,α'<α,y<0主要优点

小齿轮取正变位，允许z1<zmin，减小传动尺寸。提高了小齿轮齿根强度，减小了小齿轮齿面磨损，可成对替换标准齿轮。

传动机构更加紧凑，提高了抗弯强度和接触强度，提高了耐磨性能，可满足a'>a的中心距要求。

重合度略有提高，满足a'<a的中心距要求。主要缺点

互换性差，小齿轮齿顶易变尖，重合度略又下降。

互换性差，齿顶变尖，重合度下降较多。

互换性差，抗弯强度和接触强度下降，轮齿磨损加剧。3.变位齿轮传动的设计步骤

设计变位齿轮时，根据不同的已知条件，可采用不同的设计步骤。

（1）已知z1、z2、m、α、ha*和c*时，其设计步骤为：1）选择传动类型，若z1+z2<2zmin，必须采用正传动，否则可考虑其它传动类型；2）选择两齿轮的变位系数；3）计算两齿轮的几何尺寸；4）验算重合度及轮齿强度。（2）已知z1、z2、m、a'、α、ha*和c*时，其设计步骤为：1）计算啮合角α'

cosα'=（a/a')cosα2）选择两齿轮的变位系数invα'=2tgα(x1+x2)/(z1+z2)+invαx1+x2=(z1+z2)(invα'-invα)/2tgαx1≥ha*(zmin-z)/zmin，x2≥ha*(zmin-z)/zmin3）计算两齿轮的几何尺寸

4）验算重合度及轮齿强度（3）已知i、m、a'、α、ha*和c*时，其设计步骤为：

1）确定两齿轮的齿数

因a'=acosα/cosα'=[m(z1+z2)/2]cosα/cosα'=[mz1(1+i)/2]cosα/cosα'故z1≈2a'/(i+1)m

取整数，

z2=iz1

取整数。思考题：1)某机器中的一对外啮合标准圆柱直齿轮，小齿轮轮齿严重磨损，拟报废，大齿轮轮齿磨损较轻，拟修复。试问采用什么方法可使传动能恢复使用？2）图示为一单联滑移齿轮机构，已知基本参数为m=3mm,z1=18,z2=30,z3=27。试问有几种设计方案？哪种方案较好？3）吊车行走机构中有一对标准直齿轮传动，已知z1=13,z2=47,m=3mm,齿轮1因根切经常断齿。试问采用什么方案来解决这个问题？例用齿条插刀加工一个直齿圆柱齿轮。已知被加工齿轮轮坯的角速度ω1=5rad/s，刀具的移动速度为0.375m/s，刀具的模数m=10mm，压力角α=200。1）求被加工齿轮的齿数z1；2）若齿条分度线与被加工齿轮中心的距离为77mm,求被加工齿轮的分度圆齿厚；3）若已知该齿轮与大齿轮2相啮合时的传动比i12=4，无侧隙准确安装时的中心距a'=377mm，求这两个齿轮的节圆半径r1'、r2'及啮合角α'。解：（1）齿条插刀加工齿轮时，被加工齿轮的节圆与其分度圆重合，且与刀具的节线作展成运动，则有

r1ω1=V刀

而r1=mz1/2

故得

z1=2V刀/mω1=2*375/(10*5)=15

（2）因刀具安装的距离（L=77mm）大于被加工齿轮的分度圆半径（r1=mz1/2=75mm），被加工齿轮为正变位，其变位量为

xm=L-r1=77-75=2mm

x=xm/m=2/10=0.2

故被加工齿轮的分度圆齿厚为

s=(π/2+2xtgα)m=(π/2+2*0.2*tg200)*10=17.164mm

（3）由两齿轮的传动比i12和实际中心距a'可知

z2=i12z1=4*15=60

i12=ω1/ω2=r2'/r1'=4

r2'=4r1'

r1'+r2'=a'=377mm

联立求解上面可得r1'=75.4mm，r2'=301.6mm

两齿轮的标准中心距为

a=m(z1+z2)/2=10*(15+60)/2=375mm

由cosα'=acosα/a'=375cos200/377=0.93471

α'=20.819010.8齿轮常见的失效形式与设计准则10.8.1轮齿常见的失效形式轮齿主要失效形式：轮齿折断（疲劳折断、过载折断）齿面损坏（点蚀、磨损、胶合、塑性变形）1.轮齿折断●弯曲疲劳折断——闭式硬齿面齿轮传动最主要的失效形式●过载折断——载荷过大或脆性材料齿根整体折断——直齿，b较小时局部折断——斜齿或偏载，b较大时提高轮齿抗折断能力的措施：●减小齿根应力集中，增加齿根过渡圆角，降低齿根表面粗糙度；●提高安装精度及支承刚性，避免轮齿偏载；●改善热处理，使其有足够的齿芯韧性和齿面硬度；●齿根部分进行表面强化处理（喷丸、滚压）。2.齿面疲劳点蚀齿面疲劳点蚀是闭式软齿面齿轮传动的主要失效形式，开式齿轮传动由于磨损较快，一般不会出现点蚀。发生位置：节线附近原因：●单齿对啮合接触应力较大；●节线处相对滑动速度较低，不易形成润滑油膜；●润滑油渗入微裂纹，接触应力挤压使裂纹扩展至金属剥落。防止措施：●提高齿面硬度；●降低表面粗糙度；●采用角度变位x∑=x1＋x2>0；●选用较高粘度的润滑油；●提高加工、安装精度；●改善散热。3.齿面磨损齿面磨损是开式齿轮传动的主要失效形式。防止措施：●提高齿面硬度；●降低表面粗糙度；●降低滑动系数；●润滑油定期清洁和更换；●变开式为闭式。4.齿面塑性变形齿面塑性变形是低速重载软齿面齿轮传动的主要失效形式，齿面材料在过大的摩擦力作用下处于屈服状态，产生沿摩擦力方向的塑性流动，从而使齿面正确轮廓曲线被损坏。防止措施：●提高齿面硬度；●采用高粘度的润滑油或加极压添加剂。5．齿面胶合齿面胶合是高速重载传动齿轮的主要失效形式。防止措施：●采用抗胶合能力强的润滑油；●采用角度变位齿轮传动；●减小m和齿高h，降低滑动速度VS；●提高齿面硬度；●配对齿轮有适当的硬度差；●改善润滑与散热条件。10.8.2设计准则

对于闭式齿轮传动：1）软齿面（≤350HBS）齿轮主要失效形式是齿面点蚀，故可按齿面接触疲劳强度进行设计计算，按齿根弯曲疲劳强度校核。2）硬齿面（>350HBS）或铸铁齿轮，由于抗点蚀能力较高，轮齿折断的可能性较大，故可按齿根弯曲疲劳强度进行设计计算，按齿面接触疲劳强度校核。

对于开式齿轮传动中的齿轮，齿面磨损为其主要失效形式，故通常按照齿根弯曲疲劳强度进行设计计算，确定齿轮的模数，考虑磨损因素，再将模数增大10%——20%，而无需校核接触强度。10.9齿轮的常用材料及许用应力

10.9.1齿轮材料的基本要求

由轮齿的失效分析可知，对齿轮材料的基本要求为：(1)齿面应有足够的硬度，以抵抗齿面磨损、点蚀、胶合以及塑性变形等；(2)齿芯应有足够的强度和较好的韧性，以抵抗齿根折断和冲击载荷：(3)应有良好的加工工艺性能及热处理性能．使之便于加工且便于提高其力学性能。最常用的齿轮材料是钢．此外还有铸铁及一些非金属材料等。

10.9.2

1．锻钢

锻钢因具有强度高、韧性好、便于制造、便于热处理等优点，大多数齿轮都用锻钢制造。

下面介绍软齿面齿轮和硬齿面齿轮常用的材料。

(1)软齿面齿轮

软齿面齿轮的齿面硬度<350HBS，常用中碳钢和中碳合金钢，如45钢．40Cr，35SiMn等材料，进行调质或正火处理。这种齿轮适用于强度。精度要求不离的场合，轮坯经过热处理后进行插齿或滚齿加工，生产便利、成本较低。

在确定大．小齿轮硬度时应注意使小齿轮的齿面硬度比大齿轮的齿面硬度高30一50HBS，这是因为小齿轮受载荷次敷比大齿轮多，且小齿轮齿根较薄．为使两齿轮的轮齿接近等强度，小齿轮的齿面要比大齿轮的齿面硬一些。

(2)硬齿面齿轮

硬齿面齿轮的齿面硬度大于350HBS，常用的材料为中碳钢或中碳合金钢经表面淬火处理。

2．铸钢

当齿轮的尺寸较大(大于400一600mm)而不便于锻造时．可用铸造方法制成铸钢齿坯，再进行正火处理以细化晶粒。

3．铸铁

低速、轻载场合的齿轮可以制成铸铁齿坯。当尺寸大于500mmm时可制咸大齿圈，或制成轮辐式齿轮。10.10渐开线直齿圆柱齿轮传动的强度计算10.10.1轮齿的受力分析忽略摩擦力，法向力Fn沿啮合线作用于节点处（将分布力简化为集中力）Fn与过节点P的圆周切向成角度。Fn可分解为Ft和Fr1、力的大小圆周力Ft=2π/d1Ft1=-Ft2径向力Fr=Ft/tgαFr1=-Fr2大小相等，方向相反法向力Fn=Ft/cosαFn1=-Fn2T1——小齿轮上传递的扭矩（N.mm）d1——小齿轮上的直径（mm）,α=20°2、力的方向Ft——“主反从同”，Fr——指向轴线—外齿轮背向轴线—内齿轮2.力的方向（如图）10.10.2轮齿的计算载荷1.工作情况系数KA考虑齿轮啮合时，外部因素引起的附加动载荷对齿轮传动精度的影响，它与原动机与工作机的类型、特性、联轴器类型等因素有关。

Fnc=KFn

K为载荷系数，参考表选取。10.10.3齿面接触疲劳强度计算计算目的：防止轮齿因齿面接触疲劳而出现疲劳点蚀，要求齿面的最大接触应力不超过接触疲劳极限应力。计算依据：赫其公式（弹性力学）依据赫其公式得齿面最大接触应力：接触疲劳强度的校核：设计公式：式中：σH——齿面最大接触应力(MPa)；

i——传动比，i=z2/z1>1；

T1——小齿轮所传递的转矩(N.mm)；

K——载荷系数，见表；

b——齿宽(mm)；

a——中心距(mm)；

ψa——齿宽系数；

[σH]——齿轮材料许用接触应力(MPa)，见表。应用公式时还应注意下列数据的确定：1.传动比i

i<8时可采用一级齿轮传动。若总传动比i为8--40，可分为二级传动；若总传动比i大于40，可分为三级或三级以上传动。2.齿宽b

为了安装方便，保证轮齿全齿宽啮合，一般小齿轮齿宽b1应比大齿轮齿宽b2大（5--10)mm。可以认为公式里的齿宽为b2。3.齿宽系数ψa

一般闭式齿轮传动，ψa=0.3--0.6，常用0.4；开式齿轮传动ψa=0.1--0.3。4.许用应力[σH]

一对齿轮啮合时，两齿轮轮齿间的接触应力相等，但许用接触应力一般是不相等的，故应用[σH1]和[σH2]中较小者代入公式计算。10.10.4齿根弯曲疲劳强度计算计算目的：防止轮齿因弯曲疲劳折断计算假设：1.只考虑弯曲应力；2.单齿对啮合；3.载荷作用于齿顶；4.计算模型为悬臂梁；5.危险截面用30°切线法定；6.用重合度系数考虑齿顶啮合时非单齿对啮合影响。弯曲疲劳强度：弯曲疲劳强度校核：设计公式：（取标准值）10.10.5齿轮传动强度计算说明●弯曲强度计算：σF1≤[σF1]、σF2≤[σF2]，对大小齿轮，其它参数均相同，取两轮值较大者代入计算。●接触强度计算：σH1=[σH2]●轮齿面——按齿面接触疲劳强度设计，校核齿根弯曲疲劳强度硬齿面——按齿根弯曲疲劳强度设计，校核齿面接触疲劳强度●确定d1或m时，试取Kt代替K（Kt=1.2~1.4）计算d1t(mnt)，按d1t计算v查KV、Kβ、Kα、计算K=KA•KV•Kβ•Kα，若K与Kt相差较大，则应对d1t(mnt)进行修正。●其它参数相同时，弯曲疲劳强度与m成正比；接触疲劳强度与d1或中心距a成正比。10.11斜齿圆柱齿轮传动10.11.1斜齿圆柱齿轮齿面的形成及啮合由于圆柱齿轮是有一定宽度的，因此轮齿的齿廓沿轴线方向形成一曲面。直齿轮轮齿渐开线曲面的形成如图所示。平面与基圆柱相切于母线，当平面沿基圆柱作纯滚动时，其上与母线平行的直线KK在空间所走过的轨迹即为渐开线曲面，平面称为发生面，形成的曲面即为直齿轮的齿廓曲面。渐开线曲面的形成

斜齿圆柱齿轮齿廓曲面的形成如图所示，当平面沿基圆柱作纯滚动时，其上与母线成一倾斜角βb的斜直线KK在空间所走过的轨迹为渐开线螺旋面，该螺旋面即为斜齿圆柱齿轮齿廓曲面，βb称为基圆柱上的螺旋角。×直齿圆柱齿轮啮合时，齿面的接触线均平行于齿轮轴线。因此轮齿是沿整个齿宽同时进入啮合、同时脱离啮合的，载荷沿齿宽突然加上及卸下。因此直齿轮传动的平稳性较差，容易产生冲击和噪声，不适合用于高速和重载的传动中。

一对平行轴斜齿圆柱齿轮啮合时，斜齿轮的齿廓是逐渐进入啮合、逐渐脱离啮合的。如图所示，斜齿轮齿廓接触线的长度由零逐渐增加，又逐渐缩短，直至脱离接触，载荷也不是突然加上或卸下的，因此斜齿轮传动工作较平稳。10.11.2斜齿圆柱齿轮的主要参数和几何尺寸计算斜齿轮的轮齿为螺旋形，在垂直于齿轮轴线的端面（下标以t表示）和垂直于齿廓螺旋面的法面（下标以n表示）上有不同的参数。斜齿轮的端面是标准的渐开线，但从斜齿轮的加工和受力角度看，斜齿轮的法面参数为标准值。法面：与分度圆柱面螺旋线切线垂直的平面。其模数和压力角为标准值。端面：垂直于轴线的面。1、齿距：Pt=πmt，Pn=πmn，Pn=Ptcosβ2、模数：mn=mtcosβ3、压力角：4、齿顶高系数及顶隙系数：斜齿轮的齿顶高和齿根高不论从端面还是从法面来看都是相等的，即

han*mn=hat*mt

及cn*mn=ct*mt

han*=1,cn*=0.255、螺旋角：

5.斜齿轮的几何尺寸计算10.11.3斜齿轮正确啮合的条件和重合度能够用于传递两平行轴之间运动和动力的一对斜齿圆柱齿轮所组成的传动机构，称为平行轴斜齿轮机构。平行轴斜齿轮机构的啮合传动两个条件：正确啮合条件、连续传动条件。1.正确啮合的条件一对外啮合斜齿轮传动的正确啮合条件为：1）两斜齿轮的法面模数相等；2）两斜齿轮的法面压力角相等；3）两斜齿轮的螺旋角大小相等，方向相反。若不满足条件3），就成为交错轴斜齿轮传动。即：2.斜齿轮传动的重合度要保证一对平行轴斜齿圆柱齿轮能够连续传动，其重合度必须大于（至少等于）1。首先分析一对齿廓啮合传动的情况：两齿廓曲线接触线是齿廓曲面与啮合面的交线。传动情况：

重合度计算：图示是直齿圆柱齿轮传动和平行轴斜齿圆柱齿轮传动的对照，B2B2表示进入啮合的位置，B1B1表示脱离啮合的位置。因此，平行轴斜齿轮传动的实际啮合区比直齿轮传动增大了，增大的重合度称为纵向重合度，用表示，由于，，故而端面重合度（为端面啮合角，为端面齿顶圆压力角）总重合度

斜齿轮到达位置1时一端进入啮合，到达2时全齿宽进入啮合，到达3时一端脱离啮合，到达4时全齿宽脱离啮合。10.11.4斜齿圆柱齿轮的当量齿轮当量齿轮：以ρ为分度圆半径，以斜齿轮的mn和αn分别为模数和压力角作一虚拟的直齿轮，其齿形与斜齿轮的法面齿形最接近。这个齿轮称斜齿轮的当量齿轮，齿数ZV称当量齿数。10.11.5斜齿圆柱齿轮的强度计算一、轮齿的受力分析不考虑摩擦力的影响，轮齿所受的法向力Fn作用于垂直于轮齿齿向的法平面内，法平面与端面的夹角为，Fn与水平面的夹角为，如图10-23所示，其中为端面压力角，为法面内的螺旋角，Fn可分解为三个互相垂直的分力1、力的大小Ft=2π/d1Ft1=-Ft2Fr=Ftgαn=Fttgαn/cosβFr1=-Fr2Fa=FttgβFa1=-Fa2Fn=F'/cosαn=Ft/(cosαncosβ)=Ft/cosαtcosβbFn1=F'n22、力的方向Ft——“主反从同”，Fr——指向轴线—外齿；背向轴线—内齿Fa——主动轮的左右手螺旋定则。即根据主动轮轮齿的齿向伸左手或右手（左旋伸左手，右旋伸右手），握住轴线，四指代表主动轮的转向，大拇指所指即为主动轮所受的Fa1的方向，Fa2与Fa1方向相反。螺旋角引起轴向力↑Fa↑对传动不利（太小斜齿轮的优点不明显）实际接触线（如图9-24）全齿宽接触线长为b/cosb，且啮合过程中是变化的，总的啮合线长度取——（实际L是变化的），大（增加，有利）∵既不能太大，也不能太小，∴=8°~20°——端面重合度，可查图10-25确定。二、齿根变曲疲劳强度如图9-26所示，斜齿轮齿面接触线为一斜线，轮齿折断为局部折断，但如按局部折断建立弯曲疲劳强度条件，则分析计算过程比较复杂。为此考虑用直齿圆柱齿轮传动的强度条件∵Fn作用于法平面内，受载时轮齿的齿厚也是在法平面内的齿厚∴计算依据：按过节点处法面内当量直齿圆柱齿轮（齿形与斜齿轮法面齿形）进行计算，其模数为法面模数mn，其齿数为当量齿数ZV利用公式（10-4）和（10-5b）得：并计入螺旋角的影响系数——纵向重合度影响校核计算公式：Mpa(直：)设计计算公式：取标准值——重合度系数——斜齿轮的端面重合度，图10-25——斜齿系数，按当量齿数，由表10-5查取——斜齿轮应力接正系数，按ZV，查表10-5——螺旋角影响系数，图10-27查取——纵向重合度，三、齿面接触疲劳强度计算斜齿轮齿面接触疲劳强度同样按过节点的法平内当量直齿圆柱齿轮进行，并注意以下几点：1）考虑接触线倾斜有利于提高接触强度，引入螺旋角系数；2）节点处曲率半径按法面计算；3）重合度大，传动平稳，接触线总长度随啮合位置不同而变化，且同时受端面重合度和纵向重合度共同作用∵接触疲劳强度计算公式Mpa(1