初中数学八年级上册 角的平分线性质 教学设计

初中数学八年级上册角的平分线性质教学设计

一、教学内容分析

本课内容选自人教版八年级数学上册第十二章“全等三角形”第3节“角的平分线的性质”。从知识体系来看，学生在七年级已经学习了角的概念、角的比较与运算，初步掌握了用度量法和折叠法认识角平分线；在本册第十一章学习了全等三角形的判定与性质，具备了通过证明三角形全等推导线段或角相等的基本推理能力。本节课正是基于这些已有经验，将直观感知上升为严谨定理，是全等三角形应用的核心范例。角平分线的性质定理揭示了角平分线上点的几何不变性——到角两边的距离相等，其逆定理则给出了判定一条射线是角平分线的新方法。这两个定理不仅本身是平面几何的重要结论【重要】【高频考点】，更是后续学习等腰三角形三线合一、三角形的内心、圆中弦心距等知识的逻辑起点【基础】。教材编排了“折纸与测量—猜想—证明—作图—应用”的完整探究路径，充分体现了新课标“经历数学化、再创造”的过程性理念。本节课的核心知识要素包括：角平分线的定义辨析【基础】、角平分线性质定理的发现与演绎证明【非常重要】【高频考点】、角平分线判定定理的推导与逆向思辨【难点】【非常重要】、尺规作角平分线的步骤及全等解释【重要】、三角形三条角平分线交于一点（内心）的初步感知【热点】以及两个定理在几何计算与证明中的综合建模【非常重要】。通过本节课的学习，学生将在合情推理与演绎推理的交互中发展几何直观、逻辑推理和数学抽象素养。

二、学情分析

八年级学生处于形式运算阶段初期，逻辑思维能力正在形成但仍需具体经验的支撑。知识储备上，学生能熟练叙述全等三角形的五种判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS、HL），能够完成简单的几何证明书写，但对证明路径的选择策略尚不清晰，尤其是当图形中包含多条垂线或隐含条件时，信息提取能力较弱。技能基础上，学生已经会用三角板作垂线，能用圆规截取线段，但尺规作图的逻辑依据往往被忽视，多数学生仅机械记忆步骤。认知风格上，八年级学生乐于动手操作，对折纸、测量等活动参与度高，但容易停留在“动手做”的层面而忽视“动脑想”；小组讨论时往往急于得出结论，对反例验证和命题严格性的关注不足。心理特征方面，该年龄段学生自我意识增强，喜欢具有挑战性的问题，但遇到思路受阻时易产生挫败感，需要教师铺设适切的“脚手架”。针对上述学情，本设计特别注重将操作活动与逻辑追问紧密咬合，在每一个猜想后都安排“为什么一定成立”的理性思辨；对于判定定理的证明，预判学生会因思维定势而沿用性质定理的AAS路径，实则利用HL更为简洁，故需要组织两种证法的对比优化；针对尺规作图，采用微课慢镜头分解步骤，并用“还原全等三角形”的视角引导学生理解作图本质，从而达成深度学习。

三、教学目标

依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》第四学段“图形与几何”领域的要求，结合具体学情，确立如下三维目标：

知识与技能目标：全体学生能准确复述角平分线的性质定理与判定定理的文字语言、符号语言和图形语言【基础】；能独立完成用尺规作一个角的平分线，并解释每步操作的几何原理【重要】；能够在较复杂的几何图形中分离出角平分线基本模型，熟练运用性质定理证明线段相等、运用判定定理证明角相等或点在角平分线上【非常重要】【高频考点】。

过程与方法目标：通过折纸、测量、几何画板追踪点迹等活动，经历“观察—猜想—验证—证明”的数学发现过程，体会实验归纳与演绎推理相辅相成的关系【重要】；在定理证明及例题分析中，强化“将几何问题转化为全等三角形问题”的转化思想，感悟从一般到特殊、再从特殊回归一般的辩证思维【非常重要】；通过尺规作图依据的探究，建立“操作步骤”与“全等条件”的一一对应，发展模型意识与理性精神【基础】。

情感态度与价值观目标：在小组合作测量与讨论中，养成尊重事实、严谨求实的科学态度，敢于质疑和修正自己的猜想；在解决服务站选址、面积计算等实际问题时，感受数学的普适价值与实用之美；通过欣赏角平分线在建筑、艺术设计中的对称美，提升数学审美情趣，增强民族自豪感（如赵州桥拱券的对称设计）。

四、教学重难点

教学重点：角平分线的性质定理及其逆定理的内涵理解与规范应用；尺规作角平分线的步骤与原理。【重要】【高频考点】

教学难点：角平分线判定定理的证明思路突破（尤其是从HL全等到角相等这一路径的发现）；性质定理与判定定理在综合题中的灵活选用与辅助线构造。【难点】【非常重要】

五、教学策略与方法

秉持“学为中心、问题驱动、技术赋能”的设计理念，整体采用“引导—发现”与“变式—建构”相结合的策略。教法上：第一，采用实验探究法，以折纸和测量活动激活已有经验，使抽象定理具象化；第二，采用问题链法，设计一系列逐层递进、逻辑关联的问题（如“相等吗？”“总是相等吗？”“为什么相等？”“交换条件还成立吗？”）牵引思维不断深化；第三，采用变式教学法，通过非标准图形、条件隐晦、多结论融合等变式题组，促使学生在辨析中把握定理的本质特征，避免机械套用。学法上：倡导“手脑并用、辩证明理”，学生通过“折一折、量一量、猜一猜、证一证、用一用”的完整闭环进行自主建构；小组合作采用“思考—分享—质疑—共识”的四步研讨模式，确保每位成员都有表达与倾听的机会。信息技术融合方面，使用几何画板进行动态度量演示，使“距离相等”这一不变量可视化；插入2分钟的微课《尺规作角的平分线》，实现步骤分解与原理透视。

六、教学资源与环境

教学资源：人教版八年级上册数学教材、教师教学用书；导学案（包含实验记录表、变式训练题组）；彩色卡纸（用于折角）、三角板、量角器、圆规、无刻度直尺；几何画板课件（文件名为“角平分线性质探究.gsp”）；微课视频《尺规作角平分线的奥秘》；智慧教室交互式白板及实物展台。环境配置：学生座位按“异质分组”原则编排为6个四人小组，每组配备一套学具；教室内具备无线投屏功能，便于将学生典型作品或证明过程实时呈现于大屏。

七、教学实施过程（核心环节，详尽阐述）

（一）创设情境，导入新课——真实问题引发认知冲突

上课伊始，教师轻触白板呈现一幅航拍图：三条两两交叉的公路围成一片三角形空地，政府拟在此修建一处便民服务站，要求服务站到三条公路的距离相等。你能帮忙选址吗？【热点】【非常重要】学生顿时活跃起来，有的脱口而出“在中间”，有的用手指点划试图确定位置。教师暂不评判，而是请学生将三条公路抽象为三条直线，在导学案的三角形ABC中，用直觉点出一个点O，使得点O到三边的距离相等。此时多数学生凭感觉将点点在了三角形内部“正中央”，但说不出确切位置。教师顺势追问：“你怎么保证这个点到三边的距离真的相等？用什么数学工具可以判断？”学生陷入沉思——现有的全等知识只能证明具体线段相等，却无法直接判定任意一个点同时满足三个距离条件。教师板书课题“角的平分线性质”，并激励道：“这节课我们将解锁一项新工具，用它就能精准锁定这个特殊点。学完本课，大家都能成为社区规划师！”此环节用时约4分钟，以真实任务点燃探究热情，并将“距离相等”这一核心概念置于问题中心，为定理学习埋下双重伏笔。

（二）合作交流，探究新知——操作思辨深度建构

1.温故知新：角平分线的定义及符号表示【基础】

教师请一位学生上黑板，画一个角∠AOB并作出它的角平分线OC（可用量角器或折叠法）。学生作出后，教师追问：“为什么说OC就是角平分线？用数学语言怎么描述？”学生回答：∠AOC=∠BOC，或∠AOC=½∠AOB等。教师板书定义并强调几何符号表达：若OC平分∠AOB，则∠AOC=∠BOC，反之亦成立。随后，教师拿出一张不规则的纸片，上面画有一个角，问：“如果没有量角器，怎样快速得到它的角平分线？”学生自然想到折纸——将角的两边重叠，折痕就是角平分线。教师肯定并引出探究活动。

2.实验观察：猜想角平分线上点的性质【重要】

教师设问：“刚才我们用折纸得到了角平分线，现在请在折痕（即角平分线）上任取一点，分别向角的两边作垂线，大家猜一猜，这两条垂线段的长度有什么关系？”学生脱口而出“相等”。教师并不急于肯定，而是布置小组任务：任务一，每组用三角板在卡纸上画一个角，折出角平分线，在平分线上任取三点，分别向两边作垂线段，并用毫米刻度尺测量，将数据填入导学案表格；任务二，每组选派代表，用几何画板教师机拖动角平分线上的动点，观察并记录垂线段长度的变化。学生分工合作，课堂气氛活跃。5分钟后小组汇报：不论取哪个点，垂线段长度都相等；改变角的大小，这个规律依然成立。教师归纳猜想：角平分线上的点到角两边的距离相等。【非常重要】【高频考点】

3.理性证明：将猜想上升为定理【非常重要】【难点】

教师指出：仅靠测量无法穷举所有情况，必须经过严格证明。师生共同将命题改写成“已知—求证”形式。已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E。求证：PD=PE。学生迅速发现△PDO与△PEO具备全等条件：∠POD=∠POE，OP=OP，∠PDO=∠PEO=90°，由AAS可得全等，从而PD=PE。教师请一名中等水平学生口述证明过程，并用实物展台展示其规范书写，其余同学对照修正。教师强调：“这里全等的依据是AAS，不要误写为ASA。另外，性质定理的核心是‘距离’——垂直的线段长。如果没有垂直条件，定理不直接成立。”板书定理的三种语言：文字语言、图形语言、符号语言。符号语言规范为：∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE。【基础】

4.逆向思辨：探究角平分线的判定定理【非常重要】【难点】

教师以问题驱动思维转向：“性质定理说的是‘点在平分线上→距离相等’。反过来，如果一个点满足‘到角两边的距离相等’，那么这个点一定在这个角的平分线上吗？”一石激起千层浪。部分学生直觉认为“是的”，也有学生犹豫。教师鼓励学生先画图尝试。学生在纸上画∠AOB，在内部取一点P，作PD⊥OA，PE⊥OB，并使PD=PE（可用刻度尺截取），再连接OP，用量角器度量∠AOP与∠BOP。实验发现两角相等。教师追问：“你能用全等证明OP是角平分线吗？”此问为本课最大难点。学生初次尝试时，常习惯性地连接OP后直接证△PDO≌△PEO，却发现只有OP公共边、PD=PE，以及两个直角，这是典型的HL型条件。少数学生提出可用HL定理。教师请其上台板演：在Rt△PDO和Rt△PEO中，∵OP=OP，PD=PE，∴Rt△PDO≌Rt△PEO(HL)，∴∠POD=∠POE，即OP平分∠AOB。教师高度评价，并指出：HL是我们学习直角三角形全等时特有的判定方法，此处用它非常简洁。同时，教师呈现另一种思路——过P作射线OQ，通过等积法或角计算，但不如HL直接。最终归纳判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上。符号语言：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，∴点P在∠AOB的平分线上。【高频考点】【重要】教师组织学生对比性质定理与判定定理的条件与结论，明确二者是互逆关系，并提醒：“在判定定理的表述中，点必须在角的内部，否则结论不成立（例如角外部也存在满足到两边距离相等的点，但那是在邻补角的平分线上）。”

5.尺规作图：操作依理，理寓其中【重要】

教师抛出问题：“我们已经有量角器、折纸法，但古希腊数学家只允许使用无刻度的直尺和圆规作角平分线，你能做到吗？”学生凭借预习尝试作图，部分学生步骤混乱。此时播放微课《尺规作角平分线的奥秘》，视频以动画慢动作分解三步：以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N；分别以M、N为圆心，大于½MN的长为半径作弧，两弧交于点C；作射线OC。学生再次模仿，成功率大幅提升。教师追问：“为什么这样作出的OC一定是角平分线？”引导学生回顾作图过程：OM=ON（同圆半径），CM=CN（同圆半径），OC公共边，故△OMC≌△ONC(SSS)，得∠MOC=∠NOC。教师总结：尺规作图的背后是全等判定，几何作图绝不是机械操作，而是定理的鲜活应用。【基础】

（三）例题精析，巩固新知——示范引领，规范表达

例1（教材例题改编）【基础】：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F。求证：DE=DF。

学生口答，教师板演规范推理格式，重点标注“∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF”。强调：使用定理时三个条件缺一不可，且结论直接得线段相等，无需再证全等。

例2（学科内综合）【非常重要】【高频考点】：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若BC=10，BD=6，求点D到AB的距离。

审题：点D到AB的距离即过D作AB的垂线段DE的长度。由角平分线性质，DE=DC。易求DC=BC-BD=4，故DE=4。教师进一步变式：若将条件改为BD:DC=3:2，BC=10，仍可用此法。本题体现性质定理在计算问题中的高效性，凸显转化思想。

例3（判定定理应用）【难点】【热点】：已知：如图，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，且BD=CD。求证：AD平分∠BAC。

师生共同分析：要证AD平分∠BAC，只需证明点D到AB、AC的距离相等，即DF=DE。已知BD=CD，但BD、CD不是距离，需通过全等三角形将BD、CD转化为DF、DE。学生发现△BFD与△CED中，有对顶角∠BDF=∠CDE，直角∠BFD=∠CED=90°，加上BD=CD，可得△BFD≌△CED(AAS)，从而DF=DE。再由判定定理得AD平分∠BAC。教师点评：本题是“两条高+一条边相等”模型，综合运用了全等和角平分线判定，是期中、期末考试的常见题型。

（四）变式训练，拓展提升——多元联系，纵深思维

1.基础巩固题组【基础】

（1）判断：三角形三条角平分线的交点到三顶点的距离相等。（×，应改为到三边的距离相等）

（2）填空：如图，OP平分∠MON，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，PA=2.5cm，则PB=cm，依据是

___。

（3）选择：到三角形三边距离相等的点是（）A.三条中线的交点；B.三条高线的交点；C.三条角平分线的交点；D.三边垂直平分线的交点。【答案：C】

2.综合应用题组【重要】【高频考点】

（1）面积法综合：如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且△ABD面积为20，△ACD面积为15，DE=4，求AB和AC的长。

分析：S△ABD=½×AB×DE=½×AB×4=20→AB=10；S△ACD=½×AC×DF=½×AC×4=15→AC=7.5。本题巧妙融合面积公式与角平分线性质，体现数形结合。

（2）双角平分线问题：如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点I，过点I作EF∥BC，分别交AB、AC于E、F。求证：EF=BE+CF。

本题为经典“平行线+角平分线→等腰三角形”模型。引导学生得出∠EBI=∠IBC=∠EIB，故BE=EI；同理CF=IF，所以EF=EI+IF=BE+CF。该题训练学生从复杂图形中分离基本图形的能力。【非常重要】【热点】

（3）构造判定应用：如图，∠B=∠C=90°，E是BC中点，DE平分∠ADC。求证：AE平分∠DAB。

此为难点题。教师提示：过点E作EF⊥AD于F。由DE平分∠ADC且EC⊥CD，得EF=EC（性质定理）。又E是BC中点，EC=EB，故EF=EB。而EB⊥AB，EF⊥AD，所以由判定定理知点E在∠DAB的平分线上，即AE平分∠DAB。本题综合两次角平分线定理应用，且需添加辅助线，是培养推理能力的优质素材。【难点】

1.拓展探究题组【非常重要】【挑战性】

（1）截长补短法渗透：如图，四边形ABCD中，BC>BA，AD=CD，BD平分∠ABC。求证：∠A+∠C=180°。

教师引导学生：在线段BC上截取BE=BA，连接DE。由BD平分∠ABC，易证△ABD≌△EBD(SAS)，得AD=ED，∠A=∠BED。又AD=CD，则ED=CD，故∠DEC=∠C。由B、E、C共线，得∠BED+∠DEC=180°，所以∠A+∠C=180°。本题是角平分线配合截长补法构造全等的经典范例，为后续学习轴对称做铺垫。

（2）跨学科链接——角平分线与光的反射【热点】：教师展示光学实验图，一束光线从点A射向平面镜l上的点O，经反射后经过点B。物理规律表明：入射角等于反射角，即AO、BO与法线（垂直镜面的直线）夹角相等，且法线恰为∠AOB的平分线。请用数学语言解释：若∠AOC=∠BOC，且OC⊥l，则入射角等于反射角。学生通过互余关系进行简单推导，感受角平分线在物理学中的普适性。

（五）课堂小结，构建体系——梳理反思，提纲挈领

教师邀请一名学生担任“小助教”主持小结，从三个维度展开。知识维度：本节课我们学习了两大定理、一种作图。性质定理实现了“角平分线→距离相等”的转化，判定定理实现了“距离相等→角平分线”的转化，二者互逆；尺规作角平分线的核心依据是SSS全等。方法维度：我们从折纸测量获得猜想，用全等三角形给予严格证明，这是几何研究的基本范式；面对新问题时，我们可以尝试交换命题的条件与结论进行逆向思维。思想维度：转化思想贯穿始终——将距离问题转化为全等三角形问题，将实际问题转化为数学问题；模型思想——角平分线模型常与垂线段、翻折、平行线组合出现。教师同时以思维导图形式在黑板右侧生成知识网络。

（六）布置作业，课后延伸——分层设计，知行合一

必做题（面向全体，巩固双基）：教材第51页习题12.3第1、2、4、5题；《同步练习册》本节基础训练。【基础】

选做题（面向学有余力者，发展思维）：1.已知：如图，在△ABC中，AD是角平分线，∠B=2∠C。求证：AB+BD=AC。（提示：在AC上截取AE=AB，连接DE）2.用尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线。请尝试作图并写出作图依据，思考与角平分线作图有何异同。【挑战性】

实践性作业（小组合作）：测量校园内某三角形花坛三条角平分线交点（内心）到三边的距离，记录数据并分析是否相等，简要撰写数学报告，下节课分享。【热点】【非常重要】

八、板书设计

黑板上整体布局分为三区。左区：角平分线的性质定理与判定定理，采用“文字＋符号＋图形”三栏对照，彩色粉笔标注关键词“距离相等”“点在平分线上”。中区：尺规作图区，绘制角的示意图，标注步骤（1）（2）（3），