八年级数学上册第二章三角形小结与复习学案新版湘教版

同学们，第二章“三角形”的学习旅程即将告一段落。三角形是我们平面几何世界中最基本、最重要的图形之一，它的性质和应用贯穿了我们后续整个几何学习。这份学案旨在帮助大家系统梳理本章所学知识，查漏补缺，巩固提升，希望能为你们的复习提供有力的支持。一、知识梳理与回顾（一）三角形的基本概念1.三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。2.三角形的构成元素：*边：组成三角形的三条线段。三角形有三条边。*顶点：相邻两边的公共端点。三角形有三个顶点。*内角：三角形相邻两边组成的角，简称三角形的角。三角形有三个内角。3.三角形的表示方法：用符号“△”表示，顶点用大写字母表示，例如顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”。（二）三角形的基本性质1.三角形的三边关系：*性质：三角形任意两边之和大于第三边。*推论：三角形任意两边之差小于第三边。*作用：判断三条线段能否组成三角形。2.三角形的内角和定理：*定理：三角形三个内角的和等于180°。*推论：直角三角形的两个锐角互余。3.三角形的外角：*定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。*性质：*三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。*三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。4.三角形的稳定性：三角形具有稳定性，即三角形的形状和大小一旦确定，就不会轻易改变。（三）三角形的分类1.按角分类：*锐角三角形：三个角都是锐角的三角形。*直角三角形：有一个角是直角（90°）的三角形。夹直角的两边叫做直角边，直角所对的边叫做斜边。*钝角三角形：有一个角是钝角（大于90°小于180°）的三角形。*（锐角三角形和钝角三角形统称为斜三角形）2.按边分类：*不等边三角形（或普通三角形）：三条边都不相等的三角形。*等腰三角形：有两条边相等的三角形。相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。*等边三角形（或正三角形）：三条边都相等的三角形。等边三角形是特殊的等腰三角形。（四）三角形的重要线段1.三角形的中线：*定义：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。*性质：三角形的三条中线相交于一点，这个点叫做三角形的重心。重心到顶点的距离是它到对边中点距离的两倍。2.三角形的角平分线：*定义：三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。*性质：三角形的三条角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心。内心到三角形三边的距离相等。3.三角形的高线（简称高）：*定义：从三角形一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线。*性质：三角形的三条高线所在的直线相交于一点，这个点叫做三角形的垂心。*注意：锐角三角形的三条高都在三角形内部；直角三角形的两条直角边互为高线，第三条高在三角形内部；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部。（五）全等三角形1.全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。2.全等三角形的性质：*全等三角形的对应边相等。*全等三角形的对应角相等。*（引申：全等三角形的对应中线、对应角平分线、对应高相等；全等三角形的周长相等，面积相等。）3.全等三角形的判定方法：*SSS（边边边）：三边分别相等的两个三角形全等。*SAS（边角边）：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。*ASA（角边角）：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等。*AAS（角角边）：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等。*HL（斜边、直角边）：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。（仅适用于直角三角形）*注意：“SSA”和“AAA”不能判定两个三角形全等。（六）尺规作图（与三角形相关）1.作一条线段等于已知线段。2.作一个角等于已知角。3.已知三边作三角形（SSS）。4.已知两边及其夹角作三角形（SAS）。5.已知两角及其夹边作三角形（ASA）。二、重点、难点突破1.三角形三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，已知两边求第三边的取值范围。*方法：较小两边之和大于最大边，则能组成三角形。2.三角形内角和定理及外角性质的应用：求角度，证明角的相等或不等关系。*技巧：注意辅助线的添加，如作平行线构造同位角、内错角等。3.全等三角形的判定与性质的综合应用：*关键：准确找到对应边、对应角。可以通过观察图形的翻折、旋转、平移等变换方式来识别对应关系。*思路：*已知边相等或角相等，考虑用哪种判定方法。*要证边相等或角相等，先考虑证它们所在的三角形全等。*注意公共边、公共角、对顶角等隐含条件。4.辅助线的添加：在解决几何问题时，添加恰当的辅助线往往能使问题迎刃而解。例如，倍长中线、作高、截长补短等。三、典例精析例1：已知一个三角形的两边长分别为4和7，求第三边长的取值范围。分析：根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。设第三边长为x。解：7-4<x<7+4，即3<x<11。所以，第三边长的取值范围是大于3且小于11。例2：如图，在△ABC中，∠A=60°，∠B=70°，CD是∠ACB的平分线，求∠ADC的度数。分析：首先利用三角形内角和定理求出∠ACB的度数，再由角平分线的定义求出∠ACD的度数，最后在△ADC中利用内角和定理求出∠ADC。解：在△ABC中，∠A+∠B+∠ACB=180°∵∠A=60°，∠B=70°∴∠ACB=180°-60°-70°=50°∵CD是∠ACB的平分线∴∠ACD=∠ACB/2=50°/2=25°在△ADC中，∠A+∠ACD+∠ADC=180°∴∠ADC=180°-∠A-∠ACD=180°-60°-25°=95°例3：已知：如图，AB=AD，AC=AE，∠BAE=∠DAC。求证：△ABC≌△ADE。分析：要证△ABC≌△ADE，已知AB=AD，AC=AE，即有两组边对应相等。若能证明它们的夹角相等，即可用SAS判定全等。观察到∠BAE=∠DAC，通过等式性质可证得∠BAC=∠DAE。证明：∵∠BAE=∠DAC∴∠BAE+∠EAC=∠DAC+∠EAC（等式的性质）即∠BAC=∠DAE在△ABC和△ADE中AB=AD（已知）∠BAC=∠DAE（已证）AC=AE（已知）∴△ABC≌△ADE（SAS）四、巩固练习（一）选择题（请将正确答案的序号填在括号里）1.下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A.1,2,3B.2,3,4C.2,2,5D.3,4,82.一个三角形的三个内角中，至少有（）A.一个锐角B.两个锐角C.一个直角D.一个钝角3.如图，在△ABC中，∠B=65°，∠C=45°，AD是∠BAC的平分线，则∠BAD的度数为（）A.35°B.40°C.45°D.50°（此处应有图，假设为一个普通三角形，AD为角平分线）4.下列条件中，不能判定两个三角形全等的是（）A.三边对应相等B.两边和一角对应相等C.两角和夹边对应相等D.两角和其中一角的对边对应相等（二）填空题5.在△ABC中，∠A:∠B:∠C=1:2:3，则△ABC是三角形（按角分类）。6.已知△ABC≌△DEF，若∠A=50°，∠B=60°，则∠F=°。7.三角形的重心是三角形三条的交点。（三）解答题8.已知等腰三角形的一边长为5，另一边长为8，求它的周长。9.如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF。求证：∠A=∠D。（此处应有图，假设B、E、C、F顺次在同一直线上，AB、DE为三角形的左边，AC、DF为三角