考研基础班笔记：高等数学

张宇基础班笔记(高等数学)

张宇基础班笔记高等数学

第一讲高等数学预备知识

一、函数的概念

(1)函数：设是两个变成.D是一个给定的敢集.心对「每一个x£D,按

照一定的法则f,行确定的值v与之对应.则称y为x的函数.记作.f(x).称x

为自变哥,丫为因变贵.D为定义域。

(2)反函数：设函数y=f(x)的定义域为D.值域为R.如果对『每个HR,必存

在唯•的xGD使得y=f(x)成iLt则x=<p(y)为的数y=f(x)的反函数・,殷记为x=

Pl(y).定义域为R,值域为D・

(it：严格单调函数必行反函数：原函数和反函数关Tr=x对称.】

⑶复合函数：设函数y=f(u)的定义域为D,函数u铝(x)在D上行定义，且g(D)uD・

则llly=f(g(x))(x€D)确定的函数,称为由函数u铝(x)和函数Af(u)构成的亚介函

数，它的定义城为D.u称为中间变量,

二、函数的四种特性★★★

(1)行界料：对仟rWI,住在某个正数M・仃If(x)IWM,则称f(x)在I上有界.

(2)单调性：设f(x)的定义域为D.区间IUD.如果对于区间I上任意两点朴必,

当/V必时.恒有则称f(x)在区间I匕单调4加.单调递减情况

相反.

(3)奇偈性:若对干任rWD,f(x)=f(-x)恒成、工则f(x)为偶函数,偶函数关于

y轴对称。占对于任xED.-f(x)=f(-x)恒成立.则f(x)为奇第数，奇函数关广

原点对称。

(4)周期性：时于正数T.对任一x£D.<jx±TeD.Ilf(x>f(x4-T).则称f(x)

为周期函数，T称为f(x)的周期.

三、函数的图像

1.常见图像

基本初等函数:常数函改、后函数,指数函数、对数函数、三角函数、反三角函

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①常数函数

"A.平行于x轴水平线.

②幕函数★★★★

尸”（U忠丈数）.

彳一―卜:

,十

taiill（（€1

③指数函数★★★★

y=ax（a>0.a#l）

»f,6i«r、ir

「J

1

（a）iM

④对数函数★★★★

丫引（・）【注：定义域（・卜8）］

o谆g/a>0a*l『0

uiZ

⑤三角函数★★★★

（1）正弦的数与余弦函数.

正弦函数y=sinx.余弦函数y=cosx.（il：：奇偈性、周期件2n、仃界性】

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（2）正切函数与余切函数

cosx

正切函数y=tanx.余切函数y=cotx.lanx=2—cotxF

（3）正割法数与余割函敷.

正割函数总,余削函数gcx就

⑥反三角曲数

（1）反止弦函数与反余弦函数,

反正弦函数.arcsin反余弦曲数y=arcco$x

y=arcsinx足y=sinx的反函数,y=arcosx是y=cosx（OWxW0）的

反函趴

（2）反1E切函数。反余切函数.

反正切函数y=arctanx,反余切函数y=arccotx.

3

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4.参数法一参数方程

(1)摆线轨迹

(2)星形线

三、常用基础知识

1.数列

(1)等圣数列：苜项为的，公1为d(d*0)的数列a1.3d.%+2d•….

(n-1)d«

通项公式i+(n-l)d.

前n项的和：Sn=+(n-l)dj=j(a,+an).

(2)等比数列：苒项为a1.公比为r(「工0》的数列七,aj•….….

通项公式QnSirWT

前n项的和t=叫(仁1)S”融

2.三角函数竟要公式

⑴倍用公式

7八2<i25111a•ro*la”，、a>iliuI2sinu2vo、aI.

>inM•*inu,3MUa•»<>*:SIn»ha3m*“(

..2umu,eo»tuI

l“”-a----・(i»t・。;-,

I~hiriaJcula

(2)半角公式

*in:q(Ina>・门八《<Ir”、「.”：•：式•

■■■

al\aa./IeCOMa

、m石•7一”•<•<»2fV-T--

aICt»a7fla/l-cwsa

tan——r-—・

JsillaIrc(»a\IC«iha,

a'inaI4co>u'Ia

colv-t---------

.I—ctwo>mu\Ir<»a

(3)和差公式

5

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、1”<*»f#!*111«»•»*力*f«>*0MH]♦nt*l••#-cx»*4Ktetf-.litttMti,，・

..j.__tttliu1tan1cwl©nrtJ•I

”广•嬴小富7LU,7下荒」

(4)积化和冷公式

,n<1

*in«r<»r/F>IIHu#•71Mti(?>J.ro、八in,/V*a"«m(a,1)I.

cc-、J<«»*<</r<I»H(a-.>Hia*it)/cus<ac*<»<a♦/

⑸和差化化枳公式

、一・■

>ina•sin"*J?a'J*mu,„a-*3cosa-7+^1-.

L一.

・，

<o>u♦vusi,a_>u.Jvus“—3co>at<»>,c/3c>m.a,3aB.

tf44

3.指数运算

afiaaa

-a・7=a。"%=aE5)。=a(ab)=ab(软=.

其中a.b是正实数,a,。是任意实数、

4.因式分解

(a+bA=a'+3a2h+3ah2+h3(a—h)3=a1—3a2b+3ah2—h3

nn

a-b=(a-6)(。时1+an-2b+...+abn-i+bn

5.常用不等式★★★★

<1>设a.b为实数.则①|a±b|W|a|+|b|;@||aL|b||W|a-b|.

(2)VabS等4J，：产(a,b>0)

(3>sinx<x<tanx(0<x<-)

2

(4)er>x+1

(5)x-1>/nx(x>0)

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第二讲数列极限

一、引言

极限是一个无限趋近的过程.

(1)数列极限★★★

设｛与)为一数列，若存在常数小对尸任意的£>0(不论它多么小),总存

住正整数N.f史得：>in>N时.|小飞|<£恒成£则称Ifta是数列(x/的极RJ,

或/T称数列收敛于H・id7Jlimx=a»lcx-a(n-►oo).

ci8nn

如果不存在这样的常数a.就说数列h』是发散的.

【注：？；：数列收敛,则任何「列也收敛】

(2)收敛数列的性顺★★★

①唯一性：给出故列x3,x=a(f/ff).则a是唯•的.

.TOOn

②有界性：若数列极附存在,则数列有界.

③保号性，设数列1册］〃在极限u.Ila>0(»Ka<0).则〃在I卜得数

当n>N时，有心>0(或a11Voi

推论如果数列［斯)从某项起有%20.11Mm/，,则Q0・

-T8

(3)极限运算规则*★★★

Vi.Jimx=a.limy=b.0!!!limx±ya±blimxy=ab

n—8nFi-8nn-^oonnn-9nn

i；bKO,%KO.则lim

时8九b

(4)夹逼准则★★★★

^:y^x^z„(n^l.2.3.­).lim为二a.lim2二a.则limx=a.

nnn—8riT8nriT8n

(5)单调有界准则：单谢行界数列必行极限。

1

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第三讲函数极限与连续性

一、函数极限

1、邻域★★★

①一维6邻域：设X。是数轴上一个点.5是某一小数.则称开区间(勺一6,

几T6)为力与的6笑域.记作1(%.6)・去心6邻域1(几・5)=lx0<

lxx0V6,左5邻域Kx0,(S)-：x|0<xox<<5),右6邻域l,(x0,

<5)=(x0<xxo<(5；

②二维5邻域[了解即可】

2、函数极限的定义****

设函数f(x)在点用的文•去心如域内行定义,若。件常数A,而广任意给定

的Q0,总存在正数6,使用为0V|x-n|V6时,对应的函数值f(x)都满足不等

式|f(x)-A<e.则A为函数f(x)当x-x。时的极取.

(?)：：左极限limf(x)=A6极限limf(x)-A]

X-*Xo*X-*Xo*

3、函数极限的性《!★★★★

(1)唯一性

(2)局部有界性：nlimf(x)=A,则存在正有界M和0使得当OV|x・Xo|V6

x-*x©

时.行f(x)IWM.

(il：：连续必仃界：疗界函数和.R、枳也是。界函数：导数有界.原函数行

界•】

(3)局部保号性，niimf(x)=4.flA>0.则在局常数S>0,使得当O<x

XolV6时.有f(x)>0・

4、极限运算规则(同数列)

5、夹逼准则(同数列)

6、洛必达法则★★★★★

①T型，x-H・f(x)和g(x)均趋;专.1L二存导数4B的去心铭域上作在，

2

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1im3存在或无力大，则Hm?=|im午

x-ag<x)x-aMx)x-a8'(x)

②:型：x-%f(x)和g(x)均趋于无穷大•且:才导致在8的去心邻域上存在,

8

在或无穷大，则limM=lim军

x-a«*(x)x-a«(x)x--ag，(x)

【注：不是:型或巴K则不能使用洛必达法则】

OQ0

7、泰勒公式★★★★★

(1)三型.分「X的k次呈,则应把分母展开到x的k次舞

O

(2)4-8型，将A.B分别展开到它们的系数不相等的x的最低次幕为I匕

8、无穷小比阶★★★★★

(1)无穷小定义：limf(x)=0

X-*Xo

无穷大定义：limf(x)=8

如果f(x)为无穷大,则六为无穷小,反之.如果f(x)为无穷小,nf(x)工o,则

去为无力大.

Kx)

(2)无穷小的比阶

l/limf(x)=0.limg(x)=0.Ilg(x)工0

①7；1im阴=0,则称f(x)足比g(x)高阶的无穷小.

②？；lim黑=8,则称f(x)是比虱x)低阶的无穷小。

③nim含="0.则称f(x)是g(x)同阶无穷小

④若lim誓=1.则称f(x)及g(x)等价无穷小,氾为f(x)~g(x)・

3

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⑤若hmJ^^=cWO,k>0,则称f(x)是g(x)的k阶无穷小.

(3)无穷小运算规则★★★

有限个无穷小的和或乘积是无穷小：有界函数。无穷小的乘枳是无力小.

(4)常用的等价无穷小★★★★★

II•laiiI»,nrr*iii«»・artl.m，<・in<It>，•-I，・

“IiIntt•I-1,i•II*r>Iut,

9、七种未定式计算★★★★

先化筒(①捉出极限不为o的因式;②券价无穷小代换;③tri等变形)

到断为中1(->—.0•oo.00—00.co0.0°.1。

08

选择相应的方法(包括运算规则,夹逼准则、洛必达法则、泰勒公式、打

结原则等).

二、函数的连续与间断★★★★★

1、连续点：limf(x)=f(x)

Jr7。0

2、间断点

(1)可去间断点：limf(x)=A*f(x)

XT。0

(2)跳跃间断点，limf(x)与Hmf(x)均存在.但不相等.

x-*x0^”Jr©

[1,2统称第一类间断点】

⑶无穷间断点：limf(x)=8

(4)振荡间断点,limf(x)震荡不存在.

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第四讲一元函数微分学的概念与计算

一、概念

k切线斜率★★★★

Hm虫匕也2=^”不•定存在)，即割线斜率的极限.为切线的斜率.

x-*x0*r<)

2、导数的概念★★★★

函数增被Ay与门变员增垠Ax的比值在Ax-0时的极限。花.则称函数

y=f(x)在点％处可导,并称这个极限为导数.

M..心。+Ax)-f(x())

r(x)=hm—=hm------；-------

Ax-OAxAx-OAx

【注，左导数「(％)=lim右导数「.(％)=lim0匕平31】

-vArTT"7)Ax"°八")心-<)♦M

39微分的概念★★★★

函数增MAy=f(Xo+Ax)-f(Xo),若存在与Ax无关的常18(A,使得Ay=

4Ax+o(Ax),则f(x)在点/处可微.4Ax为f(x)在点%处生分•dy|<SXo=Adx0

【升：可微的刈厮：0)V；WinAyf(x0+Ax)-f(x0)线件增=

ra°)At③做极限limH把.若极限等『0,则在与处可微】

Ax-*OAr

二、导数与微分的计算

1、四则运算***♦★

和、空的导数(u+v)=iT+U(u-v)=u'-v'

枳的导数(uv)'=u'v+uv'

商的导数(U/V)=QMW)/M

2、分段函数的导数★★★

间断点导致通过计T?f(%)。「.(%)来判断.公两不相等.则

F

f(Xo)=jf\(xo)=r.(Xo)

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3、复合函数的导数★★★★★

亚合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系为

y'=u**x'•

4、反函数的导致★★★★

&y=f(x)可导.ILf(x)xO,则。仔反函数x=(p(y).3”)=六

5、随函数求导法★★★★★

F(x,y)=O两边对x求导.解出y'

6、对数求导法★★★★★

对于多项相乘、相除、开方、浆方的式八一般先取对数可求导.

取对数得1ny=lnf(x),两边对自变量x求导.

7、事指函数求导法****

对Ju(x)出)(u(x)大广0”小恒为1)先指数化•再求导.

8、高阶求导★★★★

归纳法、高阶求导公式、泰勒公式展开在求导。

9、变限积分求导★★★

F(X)=m(t)df则F(x)=f(u(x))u\x)-f(v(x))v#(x)

10、基本求导公式**★★★

c*=0(c为常数)(x。产为常数IIa#0(ax)*=axlna

xz

(e)'=e(/o^axy=1/(xlna),a>0ILa#1(lnx)*=1/x

(sinxyscosx(cosx)*=-sinx(tanx)*=secx2(secx)'=secxtanx

(cotx)*=一cscx2(cscx)--csxcotx(arcsinx)*=1/J(l-/)

(arccosx)*=1/>/(!-x2)(arctanx)-1/(1*x2)(arccotx)--1/(1+x2)

2

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第五讲一元函数微分学的几何应用

一、极值与最值的概念★★★★

极大值，在与点域内的任点处.f(x)<f(x0).%是极大值点.f(x。)为极大值,

极小值：在X。邻域内的任一点处•f(x)Nf(Xo).X。是极小值点.f(n)为极小值。

最值：在定义域内•f(x)4f(n)trt成立.则历是最大值点,f(Xo)为最大值・

求最值方法：

求闭区间函数最值①求出驻点。不可导点的函数值②求出定义域端点函数值

③比较大小

求开区间函数以值①求出驻点。不可导点的函数值②求出定义域端点单借I极限

③比较大小

二、单调性与极值的判别

1、单调性的判别★★★★

若y=f(x)在区间上有「00>0,则严格通调增加；相应地.若y=f(x)在区间上

疔f'(x)V0则严格他调M少.

#

2、一阶可导点是极值点的必要条件：f(x0)=0

3、判别极值的第一充分条件★★★★★

在与处，左导故<0.行导数>0,在几处取极小位.在几处.左导数>0.6导

数V0,住几处取极大值.若左右导数不变号，则几处不是极值点.

4、判别极值的第二充分条件★★★/★

「(%)=()，若广(右)<0,在与处取极大值.若在与处取极小值.

5、判别极值的第三充分条件★★★

(n)

*1n为偶数,fgajvo,a均处取极大值：当n为偶数,/(x0)>0.在%

处取极小值.

3

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三、凹凸性与拐点

1、凹凸性★★★★★

满足上左图的图形是网的.行图是凸的.

若在定义上,严（幻>0,则图形是凹的.若f〃（幻V0,图形是凸的.

2、拐点★★★★★

拐点：连续曲线的凹瓠叮凸弧的分界点•

二阶可导点是拐点的必要条件：「'（％）〃/£,11（%「'（与））为拐点,则

产（*0尸0・

判别拐点的第一充分条件：函数在几处连续,：阶中存/,左行/域内广（幻变

号.

判别拐点的第二充分条件：函数在％处:阶可导•Ilf"%）。,「〃（凡）工0

判别拐点的第三充分条件：函数在X。处n阶可导./师）（/）=0,（H2,…，

n!）.（n>3）,当n为奇数时为拐点.

四、渐近线★★★★★

k铅垂渐近线

2、水平渐近线

3、斜渐近线

求Ji几¥二%,Jimf（x）-OjX=/?1•则y。逐出是曲线的一条斜渐近线,

同理求X-—8

4

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第六讲中值定理

一、函数中值定理

设f(x)在瓜b］上连续,则

1、有界与最值定理★★★★

mWf(x)WM.m与M分别是f(x)在瓜b］上的最大值和最小值.

2、介值定理****

。在(史丹

3、平均值定理★★★

“i，VX］VX2<3V*nVb时,在jq.X*内至少0在一点£,使

【注：可用介值定理证明】

4、零点定理★★★★

>f(a)•f(b)<0,则存在£W(a,b),使得改<=0・

二、导数中值定理

1、费马定理★★★★

?：f(x)作％处可导.IL住七处取极值,则r(x°)=O

【注3要常提费马定理的证明】

2、罗尔定理★★★★★

若f(x)满足①在［a.b］上旌续,②在(a.b)可导,③f(a)=f(b),则存在£®(a,b),

使得「(£)=()•

［1］推广的罗尔定理

⑴若f(x)在(a.b)内可导,limf(x)limf(x)A.则存在加,b),使得「(£)=()

x-a*x—b-

⑵若f(x)在(a.b)内可导.limf(x)=limf(x)±oo,则存在(a,b),使得

x-a^x—b^

「(£)二0

1

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(3)若f(x)在(a,+8)内可导.limf(x)=limf(x)=A.则存在£W(a,+8),使

x-^l*X-8

r(£)=o

(4)Tif(x)fl(8,+8)内可导.limf(x)=limf(x)=A.则存在£W(8.*8),

使得F(£)=0

［2］罗尔定理的使用

(1)利用乘枳求导公式逆向构造辅助函数

①见到f(x)r(x),构造F(x尸尸(x)

②见到『(x)户f(x)/(X),构造F(x)=f(x)f(x)

(3)见到«x)+f(x)<p'(x).构造F(x)=f(x)e6”)

(2)求解•.阶导数为0.要多次住用罗尔定理，关犍足要找到函数值相等的•:个

不同点.

3、拉格朗日中值定理★★★★*

若f(x)满足①花瓜b］上连续,②在(a,b)可导.则存在£S(u,b),使褥

f(b)-f(a)=f(£)(b-a).

4、柯西中值定理★★★★

若f(x),g(x)满足①在瓜b］上连续.②在(a.b)可导,③g'(x)H().则存在

f(b)-((a)_b(r)

£W(a,b),使用

g(b)-g(a)g*U)

5、泰勒公

(1)带拉格朗日余项的n阶泰勒公式

设f(x)在点％的某个%域内n+1阶导数存在,则时该邻域内的任意点x,有

/(r)-/(rf(r)(r,…….1/•(,“『,)41'\(j-rV

«!(n•1»J

£介于XLj》o之间.

(2)带佩亚诺余项的n阶泰勒公式

设f(x”E点与处n阶可导•则与的•个铭域内,在该铭域内任意点x行

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(3)麦克劳林公式

-1x0=0时的泰勒公式

几个重要函数的麦克劳林展开式【记住】

6、积分中值定理★★★★★

Xf(x)在[H,b]上连续,。在£e[H,b],使得，：f(x)dx=f(£)(b・a)

【注，证明使用介值定理】

3

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第七讲零点问题与微分不等式

一、零点问JS

方程/(K)=o的根就是函数/(©的零点，从几何上讲,方程的根是两条曲线的

交点。

1、零点定理(主要用于证明根的存在性)★★★★

若/")在,6］上连续，则/(x)=0在(〃.6)内至少行个根，

(11推广的零点定理

7/(x)在(。向内连续•lim/(x)=a,limf(x)fi・lla・6<0.则/(x)=0在

*-M*ia

(a〃)内至少有一个根.这用“Aa./7可以是有限数,也可以是无力大・

2、单调性(主要用于证明根的唯一性)★★★★

若/")住内单调.则/(x)=0花(“/)内至彩行一个根,这胆可以见行

眼数,也可以是无穷大.

3、罗尔原话(罗尔定理的推论)★★★★★

?［厂)3二0至多仃A个根,则/3=0至多仃八〃个根.

4、实系数奇次方程至少有一个实根★★★★

二、微分不等式

1、用函数性态(包括单调性、凹凸性和最值等)证明不等式★会★★

一般地,便用如下依据，

<1)若有/")NOM<X,则有4/(幻g/S)•

(2)若有ONO.acf.则行/'(。)4.

①当/'(0>0时,八jr)>On/(x)单调增加:

②当f(h)<0时./'U)<0=>/(.r)单调派少.

张宇基础班笫记(高等数学)

(3)设八外在/内连续•II.行唯•的极值点则

当&为极大值点时，,

VXG/

当专为极小值点时,/(.q)4/(x),

(4)?7(j/*(x)>0,u<x<A,/(a)=/(/>)=0.则行/(x)v0・

2、用常数变量化证明不等式★★★★★

如果欲证的不等式中都是常数.则可以将其中­个或者几个常数变量化,再利

用上面所述的导致工具去证明.

3、用中值定理证明不等式★★★★★

主要用拉格朗U中值定理或4•泰勒公式.

2

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第八讲一元函数积分学的概念与计算

一、概念

1、不定积分★★★★

（1）原函数与不定积分

设函数/（制定义在某区间）匕若。住可导函数/•"）.对于该区间上任意一点都有「'（"=/（外

成立.则称/•"）是/（X）在区间/上的•个原函数.称为仔区间/上的不

定积分.

【注】谈到函数/（外的原函数与不定枳分，必须指明/（外所定义的区间•

（2）原函数（不定枳分）存在定理

①连续函数/（x）必仃除函数尸（幻.

②含仃第一类间断点和无穷间断点的函数/（外住包含该间断点的区间内必没仃快函数/«）•

2、定枳分★★★★

（1）定积分的概念

若函数/（外在区间[认以上有界.在（。力）上任取〃-I个分点“j=L23…定义/=</和

x„=A.Ilax0<x,<x2<<­­•<.rM4<J,=A.记Ar.n「&=l,2,3，….〃•并任取一点

[w[\i，占卜idZ-max,?；：'i4->0时，极取以八,OHIlV分点工及点。的取

A・l

法无关，则称函数在区间k句上可枳，即

[/（x）<Zr=阿£/（媒加士•

[it]定积分的精确定义（重点）：f7（.r）cZr

（2）定积分存在定理

①定积分存在的充分条件

1

张宇基础班箔记（高等数学）

心/（X）在［/可上连续，则［/（.口永存在。

芥/（x）在可上单调,则J：/（xXZr•

?；/（外在k可上有界.1L只有有限个间断点，则［7（x5存在.

②定积分存在的必要条件

可枳函数必仃界.即若定枳分存在,则/（X）在［/可上必仃井。

（3）定积分的性质（以下假设所写积分均存在）

性项1（求区间长度）假设。</>•则「公二〃3二人其中/.为区叫亿可的长%

性质2（积分的线性性质）设4/.为常数,则J化/（幻土4#（川必：/（xk/t±A,jx（*心•

性质3（积分的可加（拆）性）无论〃,/>",的大小如何.总仃//（x></r=£/（.r>/r4-kJf（rR/r

性质4（积分的保号性）区间［c/月上/（x）&x（.r）・则行^（x）dx

特殊地，有口/（Jr）/"J：|/（X）|CZT•

性质5（估值定理）设,H〃，分别是/（X）。［,可上的以大值和以小值./为区间［/々的长度.

则行mLGp7（.v）cZr4ML•

性质6（中值定理）设/3在用区叫。肉1连续,则问4/>］1：至少〃住一点八使用

J/（x）«/r=/（^XA-tf）•

3、变限积分★★★★★

（1）变限积分的性质

①函数/（X）在&以上可枳.则函数内外=［；〃，M在［”>］上连续・

②函数/⑴在上连续.则函数-（幻=［八四在卜.何上可导•

（2）变限积分求导公式

设/"）=匚:〃/»/，其中/（I）在k以上连续,可导函数S（r）和R（X）的值域阳q可匕则在

函数科（外和物（X）的公共定义域匕有

/"）=£［/：7（人力卜/［0©）M（X）-/m（x）w（x）•

2

张宇基础班笔记(高等数学)

4、反常积分★★★★

(1)无穷区间上反常积分的概念与敛散性

①J/(*":的定义为］f(x)dx^limJ*/(xkZr•

?；：上述极限存在.则称反常枳分J/(xkZr收敛.否则称为发散•

②「/(工所的定义为「/(xkZ〕pm1/(工期1・

?；T:述极限存在,则称反常枳分j/(xMx收敛.否则称为发散。

@［f(x)dx的定义为「7(.壮女=「如［"f(x)dx.

，沾边两个反常枳分部收敛,则称反后枳分J：/(Xk/K收敛，否则称为发散•

【注】在反常枳分中，般把“8”和使得函数极限为无力的点(暇点)统称为奇点.

(2)无界函数的反常枳分的概念与敛散性

①心〃址/(X)的呻•暇点，则无界函故/(外的反常枳分f/UMt定义为

J*/(xR/r-limJ'f(x\dx.

7；：上述极限存在，则称反常枳分f/(xk/x收敛.行则称为发散.

②芥，，足/(用的唯,般点，则无界函数/(外的反常枳分J/trMr定义为

j/(xk/flimj,/(*..

FM•.述极限存在.则称反常枳分［/(幻Jr收敛.否则称为发散.

③心ew①向是/(1)的啡•暇点，则无界函数/(幻的反常枳分1/(外公定义为

JS/(x)cZr=£/(xkZr/(xkZr•

若上述右边两个反常枳分"收敛,则称反常枳分f/(x3收敛.否则称为发散•

二、计算

1、不定积分的积分法★★★★

(1)基本积分公式

3

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Jxx

J-=2>/x+C

②=l中I+C

③卜t/r=e'+r：Jo'<Zr=+(\a>0IkrI

0)Jsinxdx=cosxfC;Jcosxdx=sinxiC

|tanxdx=In|cosx|+C\Jcot.ttZr=In|»inr|t(

[-"=fsecxdx=InIsecx♦tanxlfC

Jcosx,

f-fescxdx=InIcscxcotx\¥(

JsinxJ

Jsecxdx=tanx+(*;jcsc:xdx-cot.r+(

Jsectlanxdx=secx+(*;jesc.rco(xdx-escx+(

I

dx工arctanx+('

1+JT?

⑤

!.Ix

--rdx=-arctan-+((u>0)

a----------------aa

-1dxarcsinx+('

7T7

eJf

=dxarcsin—+('(</>0)

a

j「dx=ln(x+Jx2ta2)+1(常M=I)

⑦，

G+C(|r|>p|)

⑧丁力山二KT割"J方〃=^,n罔•「）

⑨Jylu:-x2dx=^-arcsin—+-x2({a>卜|之0)

2i，—

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SI-cos2K

网sin2xdx=g-\i。+C(sin?r=

1+cos2x

jcos2.ttZr=£+1：二£+((cos'x=)

2

Jtanxdx-tan.r-x+(*(tan;.r=secx-l)

Jcot:xdx=-colx-x+('(col?x=csc?x-l)

（2）凌微分法

①R本思想：Jf[g(x)]g*(xMr=J/[g(x)]J[g(x)]=Jf(u)c/w

当被枳函数比仅4杂时.依山-部分放到d后而去,若能决成J/（〃k加的形式，则浅微分成

J/j.IttQJ:[c/v[Inv•1i/v[in\</(lnvi-

JxJxJ6

②熟练拿掘麻木枳分公式及常用的港微分公式。

（3）换元法

①暴本思想：\f{x）dx?J/k（〃）Wk（〃）j=J/M"）k[〃w〃♦

当被枳函数不容易积分（比如含仃根式,含亦反一:角函数）时.可以通过换元的方法从d后

而家出来一部分放到的而来.就成为j/k（〃）k'（〃皿/的彬式・苏/k（〃）]x'（〃）容易积分，则换元

成功「

【注】Ag（〃）须是单调可导函数•n不要忘记计咏完后用反函数叫屋⑶回代.

②换无法的思维:结构

a.一:用函数代换——当被积南数含fif如下根式时•可作三角代换,这里。＞0・

Ja2-x2^x-asini,|f|<

Ju2i.r?-».t=atan/,|f|<

i?x>0,W10</<-

yjx2-a2->.r=asec/.2

若K<0,则—</<^

2

b.恒等变形后作：角函数代换T被枳函数含仃根式斤后^时.可化为以下-：种形

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式-/(幻•再作不角函数代换.

c.根式代换一当被枳函也含有根式百瓦、叵巨，41T等时.•般令根式9=，(因

，(*+</

为不实上.很难通过根号内换元的办法凑成平方，所以根号无法去掉)。对既含有向了,也含

。N(ix+h的函数.•般取利〃的以小公倍数/.令Uor+A-/O

d.倒代换一节被枳函数分母的窄次比分子高两次及两次以上时,作倒代换.令》=1•

/

e.复杂函畋的直接代换----被枳函数中含有a\e\ln-inx,arctanjr等时•可考虑应接

令U杂函数工广，・(flf4IttHl(f)Ill.'iIn.r.arcsinx,arctanx。/：(.r)或乘除时(其中/：(x)为

jr的〃次多项式。优先号虑分部枳分法。

(4)分部积分法

①基不思想：J〃小,二〃.门"〃,这个方法七要适用:求J〃小比较闲琲，而「山比皎容易的

情形.

②方法

<1>被枳函数为/：(*W/(x)$inu.tJ：(x)cosar等形式时,•殷来说选取“，：(>)：

<2>被枳曲数为尸sin机/8S。等形式时,〃可以选其中两个因子中的任意•个：

<3)被枳函数为/^(.r)lnx./^(x)arcsinarctanx号形式时.一般分别选取

u=!n.rj/二arcsin.r,i/=arctanx

③推广公式

J”的“以二加”"+i/V"力-…+(-1评•%一(-1广于严“,总

(5)行理函数的积分

①定义：形如(坐)心(〃<〃，)的枳分称为仃理函数的枳分,其中分别是x的〃

」0.3

次多项式和m次多项式。

②方法：先将2(外因式分解.再把与电■拆成若干最简行理分式之和.

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③方法

，•0JX)的.次电因式(“+〃)产卡•项一--

ax+h

b.a(x)的hR因式M+4产生人•项.分别为4；+—^r+…+-士1

tfx+A(ax^b)

c.&(.r)的：次单闪式产生一项一4^-•

px'+qx，r

d.0.(x)的上收:次因式(“+"+/•＞产生4项,

♦风.4*♦8?.…4，♦4

px:+gx+/(px2+qx+r):(px:+p+r)'

2、定枳分的计算★★★★

定枳分的计里,主要依健r•牛顿一九布尼兹公式。

n/(x)6［a,b］上连续,则J/(xk，r=A(.r)|=/(A)-/(a)•

(1)定积分的换元积分法

设/(x)在［4/>］匕连续,函数x二小，)涵足j制a)==②r-d，)在［/〃］(或［。,句)

匕仃连续的导数，II其值域为4,=［4可,则仃

Jfix}dx・

(2)定积分的分部积分法

Ju(x)v{x}dx=〃(.o|：,

这胆要求〃'(x)j'(x)在［。㈤上连续,

【注】正要结论：

(1)设/(幻为连续的偶函数.则「/(外心=2(/(外心・《

(2)设/(幻为连续的奇函数,用匚/(幻心・0.

(3)设/(幻是以7为周期的连续函数,则为任意的实数。，都有J：'/(幻公=(一即在

长度为•个周期的区间上的定枳分,与该区间的起点位置无关.

(4)设/(*)为连续函数，则J/(x)a=［/(a+/>・xkZr(区间再现公式).

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n〃-3

••--.I.〃为大于1的奇数

(5)J;sin"xdx=J；cos"xdx=〃-23

〃-3

”为止偶数

22

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第九讲一元函数积分学的几何应用

一、计算公式

1、用定积分表达和计算平面图形的面积★★★★

(1)曲线卜=M(x)*jV=y,(.r)及x==vA)所国成的平面图形的面枳

<S=j|>|(x)-r,(x)|</r.

(2)曲线「((h)与r=及两射线6二a."二0(0v夕-a42万)所困成的曲边M形

的面枳

'=⑹-项叩

2、用定积分表达和计算旋转体体积★★★★

<1)曲线-二>")与及.轴国成的曲边梯形绕Jr轴旋转一周所得到的

旋转体的体枳

F=J*^y2(x)cZv•

(2)fill线y=M(X)20Vj=y,(x)20及x=a.x=b(a<人)所困成的平面图形绕.r轴旋

转•周所得到的旋转体的体枳

>=U[p；(x)・y；(xM・

(3)曲线j，=y(x)。>依¥=6(04"〃)及.r轴印成的曲边悌彬绕轴旋转一周所知

到的旋转体的体枳

匕=2^j*x|y(x)|cZr•

(4)曲线F=Fi(x)5r=J\(x)及*=U,*=〃04。4/>)所用成的图形绕p轴旋转•周所

成的旋转体的体枳

V-2尸1：1瓦(外一为(外的。

1

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3、用定积分表达和计算函数的平均值★★★★

设xw卜同.函数y(x)在上的平均值为=，一广.

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第十讲积分等式与积分不等式

一、枳分等式★★★★

1、用中值定理

2、用夹逼准则

3、用积分法

二、积分不等式★★★★

1、用函数的单调性

通常的做法：首先将某枳分黑（通帝取上限）变状化,然后移项构造辅助函数.由辅助函数的

单调性来证明不等式.此方法专用丁•所给条件为“/（外在上连续”的情形.

2、用拉格朗日中值定理

此方法专用广所给条件为“/（H-阶可导"IL某•揣点仙较简单（儿至为0）的麴”•

3.用泰勒公式

此方法名川广所给条件为“/U）二阶可导““某•端点值较简单至为0）的题II.

4.用积分法

1

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第十一讲多元函数微分学

一、基本概念

1.平面点集的基本概念

（1）平而上任意两点M区小）与"（.小心）之间的距离定义为

■M.%）=J（jr:+（―，♦

其中记号KM.MJ&示点叮」区的距肉.它满足三个耍素：

①非负性HM.MJNO；

②对称性

③•:角不等式“（M.”js/XM.M）+双%."J

（2）设M,为平而上的•个点，6>o,则平面上以点”。为㈱心,以3为半校的例的内部叫件点

“。的b邻域，记什（她图u-I）.也即

〃（，北石）