线性代数习题册教师用书

《线性代数》习题册

教师用书

省级精品课程《线性代数》课题组编

第一章补充题

1.D

-1叵

2.A"=AI2A-1=2_2

V31

__T2.

3.用反证法.若A可逆，用A-左乘A?=A,得A=E.与已知矛盾.

4.将已知等式变形为一(E—=E，知(E—A)T=4—E

5.略

6.由B=E+AB,得(E—A)B=E,即(七一4广=8.再由C=A+C4得

C=A(E—A)T=A8,故=B—

7.(1)由已知等式可得(A-2E)(E-B)=-2E,故A-2E可逆且

(2)两个互逆的矩阵一定是可交换的矩阵，故

04-2万)・！(3-E)=,(3-5)・(4—26),化简得43=&4

22

第二章补充题

〃5一1)k

2

2.(1HH---1—^)44…几“

44?

abc\

cbd\

3.A]4+424+AM+A44==0

dhc\

abd\

4.提示:用数学归纳法.

5.（1）|川工0时,4A=|A忸两边取行列式，得|A卜与二网"，

两边除以|A，得4=|Ari.

(2)|A|二O时,

若A=0,则由A*=0,故A*=0.

若AwO,则A=（A，A，・・・，A〃），其中必存在AWO。

因AA=AE=O，

故A'（A，A，・・・，A〃）=O,其中A'A=O,

即A'X=0有非零解，

故A*=0。

6-(〃+c+d)

7.AA*=AY=|A旧,=网2=|川3=|川=()叫阎=]

IA|=3q；=l=>A|=l且。11=不

J

第三章补充题

1.A

2.a4=2at-a2+3a3=(1,3,-10,0)',a5=-G1+a2=(6,-3,12,3),

3.时秩为3;x=-2yw0时秩为2;x=)，w0时秩为1;

X=y=0时秩为0

4计算知必，%，％的秩为2,故典,⑸，用=15-。=。，a=15

再由夕3可由。1，。2，。3线性表示得〃=5

5.略

第四章补充题

1.A

2.C

3.B

4.证：令B=(B]B，…,B),

AB=O,(B为非零矩阵)0Ax=0有非零解。。网=0。

5.(1)增广矩阵K的行列式为范德蒙行列式，当%,%，的，出两两不相笔时

r(A)=4,而«A)«3,故方程组无解。

⑵原方程组化为卜+姐+?*因〃工0,故«A)=2,

[x}-bx2=一匕

即基础解系中只含有1个解向量。故77=。-4=(2,0,-2)'是齐次线性方程

组的基础解系。原方程组的通解：y=k“小

r11-230

01221

00〃+800

、00001+2,

当2时，”办打(4),方程组无解。

当/=—2时，r(A)=r(A),方程组有解。

(1)若〃W—8,r(A)=r(A)=3,通解为

M-L-2,0,1)=(-1,1,0,。)’

(2)若〃=一8,r(A)=r(A)=2,通解为

%(4,-2,1,0),+&(-1,一2,0,1)'+(―1,1,0,0)'

f1100

7.(1)①的系数矩阵A二,故①的基础解系

010-1

(0,0,1,0)',(-1,1,01)'；

一幺+匕+2公=0

(2)将②的通解代入①，有

k、+2k、—k、=0

解得k、=-k2

当--0时，向量匕(0,l,l,0)l&(-l,2,2,iy

二一卷(0,1,1,0)'+&(-1,2,2,1)'

=^2(-1,1,1,1),

满足①(显然也是②的解)，故①②有非零公共解为

网(一1,1,1,1)'(k是不为0的任意常数)

8.设该非齐次线性方程组为AX=〃，其导出组为4X=0(*)

方程(*)的解空间的维数为1维，故可取向量€=27—(%+/)，则

AJ=A(27—(%+773))=°，即4=(3,4,5,6)'力0是方程(*)的基础解系。

故原方程组的通解为7=4+小。

9.设所求齐次线性方程组为AX=O。

因刍是4维的，故方程有4个未知量，即矩阵A的列数等于4。

又因基础解系含有2个向量，故«4)=4-2=2,因此方程的个数可以

是任意m(m>2)个。

这样，我们只需构造一个满足题设要求而行数最少的矩阵A,也即A是2

行4列矩阵,且(4)=2。

么是方程的基础解系

oA©4)=0,日(4)=2

oAB=0,且r(4)=2,这里3=©,刍)

<=>B'A'=O,且厂(4)=2

o4的两个列向量是方程B'X=0的解向量，旦线性无关。

。A'的两个列向量是方程B'X=0的一个基础解系，(因r(B)=2)

方程8'X=0的一个基础解系为7=。,一2』,0)',%=(2,-3,04)’，

U-210x,-2X=0

故取A',即对应方程组为2

、2-3012再一3/+x4=0

第五章补充题

1.1,2,3,4

2.由已知可得，0(A)=A3-5A2+7A的特征值是

32

^(l)=l-5xl4-7xl=3>夕(2)=2,火3)=3

故143-51+7*=18。

3.A的特征值为4=1，4=2,4=4,

所对应的特征向量为。=（1,—1,—1）'&=（01，—1）33=（2,1,1）'，

"102]3-3-3

令尸=-111,则K=0--

22

、一।-11JXII

J66,

,100、r100、

由pi4P=020有A=P020PL

<0°4,<004,

故

q0oY”2+22,M+2-2+22w+l-2+22W+,、

A,f,=P020P-l=--2+22W+,2+32"+22”2一3・2'〃+22'〃

6

-2+22W+,2-3・26+2.2+3・2〃'+2””

、o04J/

4.证明：相似矩阵有相同的特征多项式,故A,B有相同的特征值，且实对称矩

阵一定可以通过正交变换对角化，即存在。=dhg（4,4,…，儿），使得

A=P'DP,B=。一力。淇中P,。为正交矩阵。

即5=QTOQ=QlPAPlQ=(PTQ)TA(P-'e)

而正交矩阵的乘积、逆矩阵仍为正交矩阵，故Q7Q为正交矩阵。

令丁=pTQ,则有丁"7=7'47=3。

5.(1)设J所对应的特征值是4,则有(4—2E猪=0,即

解之得力=-1,。=-32=0

(2)设七―4|=(4+1)3,即特征值4=一1(三重)

对于线性方程组(ZE-A)X=(),4E—4的秩为2,故此方程的解空间

的维数为1,即对于矩阵A找不到3个线性无关的特征向量，故A不相似

于对角矩阵。

故3是矩阵A的特征值，a=1是A属于3的

又A%=0二0%,Aa2-0-0a2,故%,%是A属于特征值0的两个

线性无关的特征向量，

因此矩阵A的特征值为3,0,0o

4=3的特征向量为-1,1,1)',其中％不为0,

2=0的特征向量为k、(-1,2-1),+A:2(0-1,1),,其中配网不全为0o

a

7.(1)设有Aat=44，=^>2，A%=

535

则Ba】=(A-4A+E)ax=(Z-4%：+1)6=-2%，

故四是矩阵B的属于特征值-2的特征向量。

同理，Ba?=a2,3a3=%°

故矩阵B的特征值为必=-2,也=1,4=1。

因矩阵A为对称矩阵，故矩阵B也为对称矩阵。

设夕二(%,/,工3)'是矩阵B的属于特征值%=1,〃3=1的特征向量，则

有必-々+退=0，

故属于特征值“2=1,4=1的线性无关的特征向量是

A=(ttO);A=(-LOJ),

综上所述，矩阵B的属于特征值M=-2的特征向量是其中

k、为不为0的任意常数。矩阵B的属于特征值4=1，4=1的特征向量

是攵2(1,1,0)'+&(-1，°，1)'，其中《，&是不全为0的任意常数。

(2)由Bax=-2a,,B/J2=/72,即3=自有仇名,尸2,夕3)=(-24,夕?，凤)，

飞3-3、

故3=(-24血血)(4血血尸二303o

「330,

第六章补充题

1.0

2.—\/2<f<5/2

3.A

4.设几是A的任一特征值，对应的特征向量为JwO,则有

(H—3A?+5A_3E)J=(万一3无+52-3)^=0

可得23-322+5A-3=(2-1)(22-22+3)=0

在实数范围内，4只有1个取值4=1,

故丸为A的n重根，且4>0,

所以A正定。

5.变换前后二次型的矩阵分别为

r200、f\00、

A=03a,B=020

Na3)、005,

因A与B相似,

可得同=忸|,（此处也可用特征多项式相同来进行计算）

E|J18-2<72=10,可得a=20

—200

|2E-A|=02-3-2

0-2A-3

特征值为4=1,4=2,4=5。

计算可得，

*（。TI)、”。00）'，。=（。11）'，

规范化可得，

1

71=0双

%=(10°)’，

=1°专

\

01I。

1

故所用正交变换矩阵为丁二0f

1

正0口

《线性代数》模拟考试试卷参考答案（一）

一、填空题（每空3分，共30分）

--3.24.kA

1.322.

25

5.a=1或一26.107.-88.3

%a}q、

44

9.x-y1().a2a2a2

9%%

二、单项选择题(每小题3分，共15分)

11.D12.A13.C14.B15.A

三、计算题及证明题(含4个小题，共25分)

’12-14、

16.005-3r(A)=2

«000>

17.证：2A—B—

A-B+A-AB=E

因42=4,故(A-B)+(A2-43)=E

(A-B)(E+A)=£

故A-8可逆。

1a2a3•••an

18.。〃=”％23"

[J=l)***•・•...........•・・

1a2a3•••an+b

14+b

〃0ba,%

=(/?+£%)0

0b0

000b

=0+E%)》

i=\

19.证：设占或+&%+&『=0,即

(k、+/+&3)。1+(%]+3+3&)。2+(%i+2鼠+3左3)6^3=0

攵I+&+勺=0左I=0

由,%，%是极大无关组，得，尤+e+2k3=0=><攵之=0

匕+2k2+3k3=0(=0

故4,62,夕3线性无关。

又因该向量组的秩为3,即1、瓦,23是该向量组的极大无关组。

四、解答题（10分）

,1-4-3、

20.A"=1-5-3

「164,

223、(263、

X=CAB=-121B=-101

ojI1

1-113

五、解答题（10分）

12311231

13613024-22

21.X

3-1-匕1530-4—k「660

-5-1012-6-129

Jk27<0k?_1；

71231、

012-11

00一匕+224

<0003攵2+5,

当仁工2时,r(A)=r(A)=4,方程组有惟一解。

当匕=2时，有

若上工1,则XA)=3v«A)=4,方程组无解。

若&=1，则r5)=〃(彳)=3,方程组有无穷多解。

123000-8、

k=212-1I01203

当।}时,—)

鼠=1001200012

0J10

0000000；

%)=-8

其同解方程组为,々+2七=3

Z=2

其导出的基础解系是:

7l=(o,-2,i,oy

令％3=0,得原方程组的特解%=(-8,3,0,2)',

(-8、(0、

3,-2

故原方程组的通解为x=%+k'+k

01

'乙2)*\0v>

其中人为任意常数。

六、解答题(10分)

2

22.f=2xj+2x；+2%3-2x^2-2x2x3-2x,x3

"2-i-r

A=-12-1

「1-12)

A的特征多项式|AE-A\=2(2-3)2

A的特征值4=0,=4=3

i°4=0,(AE-A)X=0

。=(1,1,1)'

9

标准化:7=傍+目

2°%=4=3(g-A)X=0

2二(T,1,0)',4=(7,0，O'

[z11

一

_'L下

V3V16900:

一

_IL正

令7=（7,772，/）=则TAT=030

'灰

V32

_ILO<00

[

V3V6

即正交变换X=门将二次型化为标准型f=3£+3贡

《线性代数》模拟考试试卷参考答案（二）

一、填空题（每空3分，共30分）

,300、

22/1-1A+E

1.---------2.4.030

3

0-1,

<75

5.06.r=n7.98.----,-----,—4,—6

i33

<45、

二、单项选择题（每小题3分，共15分）

11.B12.B13.C14.D15.C

三、计算题及证明题（含4个小题，共25分）

「3।1、-13、

1-1301-2

16.A=f，r(A)=

0?-4000

3-14,<000,

17.把。〃按第〃行展开，得

)=(一1严4..+(一1产%7X

••••

X-1

x-1

尤-1x-1

0xx-1

••••

+…+(—1)a2•.1­.+(一1)"+"。+卬♦・

x0x-1

0-1X

=(-ir(•(―1尸+(-1产-(-iy-2%,x+…+(―1)I・(-1)生产

+(—1)2〃(X+6Z])X〃।

n

=an+x+…+4x"T+x

18.因A'=|44一|(1)

又由A2=|A|E=A=\A\A-1(2)

故由(1)(2)可得A"=A

19.设勺，&,&,使匕尸］+七万2+%3夕3=°，整理得

(k、+k、)%+(kk[+J+2k3)a2+(k2+k%=0①

H+的=o

由题意知

Vkky+原+2k3=0,

左2+供=0

101

即时①只有零解。

由克莱姆法则知当k2W0,Zwl

01k

故当时，回，尸2,夕3线性无关。

四、解答题（10分）

2-1-P‘5-2-2\

20.(A-2E)-12-2-1,B=4-3-2

「223

-IL/

五、解答题（10分）

21.(1)增广矩阵

1111a1111a、

321-3002263b

A=->

01226b00000b-3a

0433-12)00002—2a,

当且仅当人一3。=0,2—2。=0时,r(A)=r(A)=2,方程组有解,

即。=1,b=3o

(2)当。=1,〃=3时,

11111110-1-15-2、

012263012263

AT

000000000000

000000000000；

其同解方程组为卜一七一匕-5七二-2①

x2+2X3+2X4+6X5=3

其导出组的基砒解系：

7=(1,-2,1,0,0)r

%=(1,-2,o,1,oy

其中为任意常数。

六、解答题（10分）

’422、

22.A=242

<224,

A的特征多项式IAE-A\=U-2)2(2-8)

A的特征值4=4=24=8

1°4=4=2(4£—A)X=()

。二(一1,i,o)'——i,o,ly

标准正交化：M(11/

.十万万°J

%=

204=8(4E—A)X=0,

&=(1，1，1)

标准化：%=/，N5

—_aL

(1H

V2

2

故令丁二(7,%,%)=-j=_L

V3

076_L

V3

’200、

则TAT=020

<008,

即正交变换X=可将二次型化为标准型f=2M2+2），；+8货。

《线性代数》模拟考试试卷参考答案（三）

一、填空题（每空3分，共30分）

00100一

0000

2.3.।4.负

。3300000

00000

5.6.247.4

4

1

9.否1().

3

2

二、单项选择题（每小题3分，共15分）

11.A12.A13.B14.B15.D

三、计算题及证明题（含4个小题，共24分）

-1111]「1111

（―1）4+"

16.1248120137

1a/〃（T）"+弓0a_{a2_la3_

若斫1，第三行为0,秩为2o

若aWI,第三行提取公因子（4-1）后，得

111i1rii1

0137(-1)^+5017

014+1/+。+100。一十。一6

1111

0137

00a-2(。-2)(。+3)

若昕2,第三行为0,秩为2。

若〃W2,秩为3。

综上所述，当。二1或斫2时，秩为2当〃W1且时，秩为3。

另：也可先进行(-1河+乙消法变换，这样导致先讨论。是否等于2,然后才

讨论。是否等于1,最终答案一样。

17.证明：A3+A2-A-E=()O

4+川=A+E,即A2(A+£)=A+E①

|A+©H0.「.4+E可逆，①式两边同时右乘(A+E)L

得八二七，且川=4,故A可逆。

又(A-E)(A+E)=0，故4—E=0，即4=石，

故"=E°

cix—1.0

ax2a0

18.D向按第•行展开〃2+(—1)"2(—1)

..0

axaxn-2e八

=aD“+xD“=(a+x)D”

2nl

=(a+x)D,i==(a+x)~D2

=a(a+x)"

19.设m数Ki",i=123,4,

使&(«+%)+&(%+/)+&(%+&)+保(4-a])=0X

即有((一《)《+(犬+&)%+(a+&)&+(&+/)%=0

由已知必,%4,《线性无关，则有

K,-K4=0

…=0

(+《=()

K+K4=0

解线性方程组①，其系数行列式。工0,.•.①才零解，即%=(=(=(=()使※

式成立从而q+%，%-%,%+4,。4也线性无关。

四、解答题(10分)

=(-3)平1次|

五、解答题(10分)

21.(1)当a=1时,r(A)=2wr(A)=3..,.无解。

(2)当4¥1时.(A)=r(A)=4.AX=B有唯一的解;

(3)当斫1,且匕二一1时，r(A)=r(4)=2<n=4,AX=B有无穷多解。

%1-X-X=-\*

此时，与原方程组同解方程组为34

/+2七+2X4=1

令&=玉=0,得AX=B特解为=(-l,l,0,0)r,下求通解:

«)=2,〃=4,故基础解系中解向个数为2。

*的导出组为：.玉=与+几*T

x2=2X32,V4

令(孙兀)=。，0)或(0J)，由*WAX=0的基础解系：

r

77l=(l,-2,l,O),772=(t-2,O,l)

故原方程组AX=B的通解为：〃=47+&%+7o=

中加心为任意常数。

六、解答题(11分)

4I

22.二次型矩阵4=141

114

A—4-1-1

(I)求特征值，由|巫—4=0得:-12-4-1=0

-1-1几一4

(2—3)2(2—6)=0o特征值4=—=3自=6。

求特征向量。

2=3对应的特征向量，解方程组

-1-1-1111

(3E—A)X=0n系数矩阵是-1-1-1

-1-1-1

-1

特征方程化为％=-々-/，特征向量或基础解系是%=I，%=o

01

2=6对应的特征值，解方程组

10-1

(6E—A)X=0=系数矩阵是=>o1-1

"/,特征向量或基础解系是％

特征方程化为

-11

正交单位化：对a1=19^201进行正交单位化。

011

-1■f

(。2，P\)

B\=%=1，夕2=%=，四=%二1

(4⑷

01

11一

F『_fL

1

」

5

正^

/I2

V26vl3

。

V673

一

3

令尸=[%，/2，/3]，P是正交矩阵,PrAP=P^AP=3

6

所以令X二PY,代入

-3

f=XTAX=YTPTAPY=YT3Y=3y：+3y；+6y；。

6

《线性代数》模拟考试试卷参考答案（四）

一、填空题（每小题3分，共21分）

F100

1.1602.—2303.4w1

-1

4.+・一+4储5.16.k>\7、_0

0

二、单项选择题（每小题3分，共15分）

8.D9.C10.B11.C12.D

三、解答题（每小题8分，共16分）

13.解显然A可逆，用A"右乘方程两边，得=+

即(—E)B=6E,B=(A-1-E)-1.

300~200-

A-'=040A'-E=030

007006

2

（「叫；

300

B=6(A-,-E)-,=020

001

14.解.a=O,h=-2（|AE-A|=|AE-B\）

四、解答题（每小题8分，共16分）

15.解：伙AAAA

1114-31114-3

2135-5殳-2/j、0-11-31

r

1-13-2-1々-3/j0-22-62

3156-70-22-62

1I14-3

01-31

Eo0000

00000

AAAA夕

i021-2

3-1

00000

00000

可见〃（片,尸2，河，尸4，&）=2，由〃,A线性无关，以，尸2也线性无关，

可见：％,凡是*42,四，乃4,四的一组极大线性无关组。

1〃10…00

-11-flj%…00

0-I\—Cly…00

16>解：D=••■•••

n••*•••••

000…1-ar_24T

000…-11-an-\

1000

01〃200

0-11—00

_____•(***

*•*•

000an-2“

000-11-Q〃1

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