2026年陕西省高中数学第8章数列综合测试

2026年陕西省高中数学第8章数列综合测试一、单选题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_1=3，a_5=9，则该数列的通项公式a_n等于（）A.6n-3B.2n+1C.3nD.4n-1解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9可得9=3+4d，解得d=3/2，故a_n=3+(n-1)×3/2=3/2n+3/2。选项A正确。2.已知数列{b_n}满足b_1=1，b_n+1=2b_n+1（n∈N），则该数列的前n项和S_n等于（）A.2^n-1B.n•2^nC.n(n+1)D.2^n+n解析：由递推关系b_n+1=2b_n+1，变形为b_n+1+1=2(b_n+1)，可知{b_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，即b_n+1=2^n，故b_n=2^n-1。前n项和S_n=1+3+5+…+(2n-1)=n^2。选项C正确。3.若数列{c_n}的前n项和T_n=3n^2-2n，则该数列的第5项c_5等于（）A.24B.30C.36D.42解析：由数列前n项和与通项关系c_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），可得c_n=6n-5。当n=5时，c_5=6×5-5=25。选项B正确。4.在等比数列{d_n}中，已知d_2•d_4=81，则该数列的公比q等于（）A.3或-3B.2或-2C.9或-9D.1或-1解析：由等比数列性质d_2•d_4=d_3^2=81，解得d_3=±9。若d_3=9，则q=d_3/d_2=9/d_2，又d_2•d_4=81，即d_2^2q^2=81，代入q=9/d_2得d_2^4=81d_2^2，解得d_2=±3，此时q=3或-3。选项A正确。5.已知数列{e_n}的前n项和为n(n+1)(n+2)/6，则该数列的第4项e_4等于（）A.20B.24C.28D.32解析：由数列前n项和与通项关系e_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），可得e_n=n(n+1)(n+2)/6-[（n-1)n(n+1）/6]=（n+2）（n-1）/2。当n=4时，e_4=6×3/2=9。选项D正确。6.若数列{f_n}满足f_1=2，f_n+1=√(f_n+1)+√f_n（n∈N），则该数列的极限为（）A.1B.2C.√2D.4解析：令f_n→a（n→∞），由递推关系可得a=√(a+1)+√a，两边平方整理得a^2=a+1+2√a，移项得(a-1)^2=4√a，两边平方得(a-1)^4=16a，代入a=2验证成立。选项B正确。7.在等差数列{g_n}中，若a_3+a_7=18，则S_9等于（）A.81B.108C.135D.162解析：由等差数列性质a_3+a_7=2a_5=18，可得a_5=9。S_9=9/2(a_1+a_9)=9/2(2a_5)=81。选项A正确。8.已知数列{h_n}的前n项和T_n=n^2+n，则该数列的第6项h_6等于（）A.25B.30C.35D.40解析：由数列前n项和与通项关系h_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），可得h_n=2n。当n=6时，h_6=12。选项B正确。9.在等比数列{p_n}中，若p_2+p_4=27，则p_3•p_5等于（）A.9B.27C.81D.243解析：由等比数列性质p_2+p_4=p_3/p_2+p_3q^2=27，即p_3(1+q^3)/p_2=27。又p_3•p_5=p_2q^4，代入p_2=p_3/q^2得p_3•p_5=p_3(1+q^3)/q^2=27，解得p_3•p_5=27。选项B正确。10.已知数列{q_n}的前n项和为n^2+n+1，则该数列的第3项q_3等于（）A.6B.7C.8D.9解析：由数列前n项和与通项关系q_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），可得q_n=2n。当n=3时，q_3=6。选项A正确。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若等差数列{a_n}中，a_5=10，a_10=25，则该数列的公差d=______。解：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_5=10，a_10=25可得25=10+5d，解得d=3。参考答案：32.已知数列{b_n}满足b_1=2，b_n+1=3b_n+1（n∈N），则该数列的通项公式b_n=______。解：由递推关系b_n+1=3b_n+1，变形为b_n+1+1=3(b_n+1)，可知{b_n+1}是首项为4，公比为3的等比数列，即b_n+1=4×3^(n-1)，故b_n=4×3^(n-1)-1。参考答案：4×3^(n-1)-13.若数列{c_n}的前n项和T_n=2n^2-3n，则该数列的第4项c_4=______。解：由数列前n项和与通项关系c_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），可得c_n=4n-5。当n=4时，c_4=11。参考答案：114.在等比数列{d_n}中，若d_3=8，d_5=32，则该数列的公比q=______。解：由等比数列性质d_3•d_5=d_4^2=256，解得d_4=16。q=d_4/d_3=2。参考答案：25.已知数列{e_n}的前n项和为n(n+1)/2，则该数列的第5项e_5=______。解：由数列前n项和与通项关系e_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），可得e_n=n。当n=5时，e_5=5。参考答案：56.若数列{f_n}满足f_1=1，f_n+1=2f_n+1（n∈N），则该数列的前6项和S_6=______。解：由递推关系f_n+1=2f_n+1，变形为f_n+1+1=2(f_n+1)，可知{f_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，即f_n+1=2^n，故f_n=2^n-1。S_6=1+3+5+…+127=64×63/2=2016。参考答案：20167.在等差数列{g_n}中，若a_1=1，a_6=11，则该数列的通项公式a_n=______。解：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=1，a_6=11可得11=1+5d，解得d=2，故a_n=1+2(n-1)=2n-1。参考答案：2n-18.已知数列{h_n}的前n项和T_n=n^2+n，则该数列的第7项h_7=______。解：由数列前n项和与通项关系h_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），可得h_n=2n。当n=7时，h_7=14。参考答案：149.在等比数列{p_n}中，若p_1=1，p_4=16，则该数列的前5项和S_5=______。解：由等比数列性质p_4=p_1q^3=16，解得q=2。S_5=1+2+4+8+16=31。参考答案：3110.已知数列{q_n}的前n项和为n^2+n+1，则该数列的第2项q_2=______。解：由数列前n项和与通项关系q_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），可得q_n=2n。当n=2时，q_2=4。参考答案：4三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}的前n项和为n^3，则该数列是等差数列。（）解：由数列前n项和与通项关系a_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），可得a_n=3n^2-3n+1，该数列的二次项系数不为0，故不是等差数列。参考答案：×2.在等比数列{b_n}中，若b_1>0，q>1，则该数列是递增数列。（）解：由等比数列通项公式a_n=b_1q^(n-1)，当q>1时，随着n增大，a_n单调递增。参考答案：√3.若数列{c_n}满足c_n=c_{n-1}+c_{n-2}（n≥3），则该数列是等比数列。（）解：斐波那契数列满足递推关系c_n=c_{n-1}+c_{n-2}，但公比q=(c_n/c_{n-1})≠常数，故不是等比数列。参考答案：×4.在等差数列{d_n}中，若a_1+a_9=20，则S_9=45。（）解：由等差数列性质a_1+a_9=2a_5=20，可得a_5=10。S_9=9/2(a_1+a_9)=45。参考答案：√5.若数列{e_n}的前n项和为n^2+n，则该数列是等差数列。（）解：由数列前n项和与通项关系e_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），可得e_n=2n，该数列的通项公式为一次函数，故是等差数列。参考答案：√6.在等比数列{f_n}中，若f_2•f_8=64，则f_5=±8。（）解：由等比数列性质f_2•f_8=f_5^2=64，解得f_5=±8。参考答案：√7.若数列{g_n}满足g_n+1=g_n+2（n∈N），则该数列是常数列。（）解：由递推关系g_n+1=g_n+2，可得g_n=g_{n-1}+2，即g_n=g_1+2(n-1)，该数列是公差为2的等差数列，不是常数列。参考答案：×8.在等差数列{h_n}中，若a_3+a_7=18，则a_6=9。（）解：由等差数列性质a_3+a_7=2a_5=18，可得a_5=9。a_6=a_5+d，无法确定a_6的值。参考答案：×9.若数列{i_n}的前n项和为2^n-1，则该数列是等比数列。（）解：由数列前n项和与通项关系i_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），可得i_n=2^(n-1)，该数列的通项公式为指数函数，故是等比数列。参考答案：√10.在等比数列{p_n}中，若p_1+p_3=10，p_2+p_4=20，则公比q=2。（）解：由等比数列性质p_3=p_1q^2，p_4=p_1q^3，代入p_1+p_3=10，p_2+p_4=20可得p_1(1+q^2)=10，p_1q(1+q^2)=20，解得q=2。参考答案：√四、简答题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）1.已知数列{a_n}的前n项和为S_n=n^2+n，求该数列的第3项a_3。解：由数列前n项和与通项关系a_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），可得a_n=2n。当n=3时，a_3=6。2.在等比数列{b_n}中，若b_1=2，b_4=32，求该数列的通项公式b_n。解：由等比数列性质b_4=b_1q^3=32，解得q=2。b_n=2×2^(n-1)=2^n。3.若数列{c_n}满足c_n=c_{n-1}+c_{n-2}（n≥3），且c_1=1，c_2=1，求c_6。解：由递推关系可得c_3=2，c_4=3，c_5=5，c_6=8。4.在等差数列{d_n}中，若a_1=5，d=-2，求该数列的前10项和S_10。解：S_10=10/2(a_1+a_{10})=5(5+a_1+d×9)=5(5+5-18)=-20。五、应用题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）1.某工厂计划每年比上一年增加10%的产量，若第一年产量为100万吨，求第5年的产量。解：由等比数列性质，公比q=1+10%=1.1，首项b_1=100。第5年产量b_5=100×1.1^4≈161.05万吨。2.在等差数列{a_n}中，若a_1=2，a_5=14，求该数列的前8项和S_8。解：由等差数列性质a_5=a_1+4d=14，解得d=3。S_8=8/2(a_1+a_8)=4(2+2+7×3)=124。3.若数列{b_n}的前n项和为S_n=n(n+1)/2，求该数列的第4项b_4。解：由数列前n项和与通项关系b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），可得b_n=n。当n=4时，b_4=4。4.在等比数列{c_n}中，若c_2=4，c_4=16，求该数列的前6项和S_6。解：由等比数列性质c_4=c_2q^2=16，解得q=2。S_6=2(1+2+4+8+16)=62。【标准答案及解析】一、单选题1.A2.C3.B4.A5.D6.B7.A8.B9.B10.A解析：2.由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9可得9=3+4d，解得d=3/2，故a_n=3/2n+3/2。选项A正确。3.由递推关系b_n+1=2b_n+1，变形为b_n+1+1=2(b_n+1)，可知{b_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，即b_n+