2026年陕西省高中数学第6章数列综合测试

2026年陕西省高中数学第6章数列综合测试一、单选题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_1=3，a_5=9，则该数列的通项公式a_n等于（）A.6n-3B.2n+1C.3nD.4n-1解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9可得9=3+4d，解得d=3/2，故a_n=3+(n-1)×3/2=3/2n+3/2。选项A正确。2.已知数列{b_n}满足b_1=1，b_n=b_{n-1}+2n（n≥2），则b_6的值为（）A.21B.22C.23D.24解析：根据递推关系b_n=b_{n-1}+2n，可得b_2=b_1+4=5，b_3=b_2+6=11，b_4=b_3+8=19，b_5=b_4+10=29，b_6=b_5+12=41。选项均不正确，需重新计算。实际递推关系为b_n=b_{n-1}+2n，b_6=b_1+(2+4+6+8+10+12)=1+42=43。选项均不正确，需修正题目。3.若数列{c_n}的前n项和S_n=2n^2-3n+5，则c_4的值为（）A.11B.13C.15D.17解析：由数列前n项和与通项关系c_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），且c_1=S_1=4，c_2=S_2-S_1=2×4-3×2+5-4=5，c_3=S_3-S_2=2×9-3×3+5-5=11，c_4=S_4-S_3=2×16-3×4+5-11=17。选项D正确。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=6，d_4=54，则该数列的公比q等于（）A.3B.2C.-3D.-2解析：由等比数列通项公式d_n=d_1q^{n-1}，代入d_2=d_1q=6，d_4=d_1q^3=54，联立可得q=3。选项A正确。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n(n+1)/2，则e_n等于（）A.nB.n+1C.2nD.n^2解析：由数列前n项和与通项关系e_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），且e_1=T_1=1，e_2=T_2-T_1=6-1=5，e_3=T_3-T_2=12-6=6，e_4=T_4-T_3=20-12=8。观察发现e_n=n+1。选项B正确。6.若数列{f_n}满足f_1=2，f_n+1=2f_n+1（n≥1），则f_5的值为（）A.31B.33C.35D.37解析：根据递推关系f_n+1=2f_n+1，可得f_2=2×2+1=5，f_3=2×5+1=11，f_4=2×11+1=23，f_5=2×23+1=47。选项均不正确，需重新计算。实际递推关系为f_n+1=2f_n+1，f_5=f_1×2^4+1×(2^4-1)/1=2×16+15=47。选项均不正确，需修正题目。7.已知数列{g_n}的前n项和G_n=3^n-1，则c_3等于（）A.24B.27C.30D.33解析：由数列前n项和与通项关系g_n=G_n-G_{n-1}（n≥2），且g_1=G_1=2，g_2=G_2-G_1=8-2=6，g_3=G_3-G_2=24-8=16。观察发现g_n=3^n-3^{n-1}=2×3^{n-1}，g_3=2×3^2=18。选项均不正确，需重新计算。实际递推关系为g_n=G_n-G_{n-1}，g_3=24-8=16。选项均不正确，需修正题目。8.在等差数列{h_n}中，若a_1+a_2+a_3=12，a_4+a_5+a_6=18，则a_7+a_8+a_9等于（）A.24B.27C.30D.33解析：由等差数列性质a_1+a_2+a_3=3a_2=12，a_4+a_5+a_6=3a_5=18，可得d=a_5-a_2=6/3=2，a_7+a_8+a_9=3a_8=3(a_5+3d)=3×(6+6)=36。选项均不正确，需重新计算。实际a_7+a_8+a_9=3a_7=3(a_5+2d)=3×(6+4)=30。选项C正确。9.已知数列{i_n}满足i_1=1，i_n=i_{n-1}+n（n≥2），则i_5等于（）A.15B.20C.25D.30解析：根据递推关系i_n=i_{n-1}+n，可得i_2=1+2=3，i_3=3+3=6，i_4=6+4=10，i_5=10+5=15。选项A正确。10.若数列{j_n}的前n项和H_n=n^2+n，则j_4等于（）A.16B.20C.24D.28解析：由数列前n项和与通项关系j_n=H_n-H_{n-1}（n≥2），且j_1=H_1=2，j_2=H_2-H_1=6-2=4，j_3=H_3-H_2=12-6=6，j_4=H_4-H_3=20-12=8。观察发现j_n=2n。j_4=2×4=8。选项均不正确，需重新计算。实际j_4=H_4-H_3=20-12=8。选项均不正确，需修正题目。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.等差数列{a_n}中，若a_3+a_7=18，则a_5+a_9=______。解：由等差数列性质a_3+a_7=2a_5=18，a_5=9，a_5+a_9=9+2d=9+2×(a_7-a_5)=9+2×(9-9)=9。参考答案：92.等比数列{b_n}中，若b_2=6，b_4=54，则b_3+b_5=______。解：由等比数列性质b_2b_4=b_3^2=6×54=324，b_3=18，b_3+b_5=b_3+b_3q^2=18+18×(54/6)=18+18×9=180。参考答案：1803.数列{c_n}的前n项和S_n=2n^2-3n+5，则c_4=______。解：c_4=S_4-S_3=(2×16-3×4+5)-(2×9-3×3+5)=20-11=9。参考答案：94.数列{d_n}满足d_1=1，d_n+1=2d_n+1（n≥1），则d_5=______。解：d_2=2×1+1=3，d_3=2×3+1=7，d_4=2×7+1=15，d_5=2×15+1=31。参考答案：315.数列{e_n}的前n项和T_n=n(n+1)/2，则e_6=______。解：e_6=T_6-T_5=21-15=6。参考答案：66.等差数列{f_n}中，若a_1=2，d=3，则S_10=______。解：S_10=10×2+(10×9/2)×3=20+135=155。参考答案：1557.等比数列{g_n}中，若a_1=3，q=2，则g_5=______。解：g_5=3×2^4=48。参考答案：488.数列{h_n}满足h_n=n(n+1)/2，则h_4=______。解：h_4=4×5/2=10。参考答案：109.数列{i_n}中，若i_1=1，i_n=i_{n-1}+n（n≥2），则i_7=______。解：i_7=1+2+3+4+5+6+7=28。参考答案：2810.数列{j_n}的前n项和H_n=n^2+n，则j_8=______。解：j_8=H_8-H_7=64+8-(49+7)=16。参考答案：16三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}的前n项和S_n=3n^2-2n，则该数列是等差数列。（）解：由S_n=3n^2-2n，a_n=S_n-S_{n-1}=6n-5（n≥2），a_1=S_1=1，a_1≠a_2，故不是等差数列。参考答案：×2.等比数列{b_n}中，若b_1>0，q>1，则数列{b_n}是递增数列。（）解：由等比数列通项公式b_n=b_1q^{n-1}，因b_1>0，q>1，故b_n随n增大而增大，是递增数列。参考答案：√3.数列{c_n}的前n项和T_n=n^3，则c_n是等差数列。（）解：由T_n=n^3，c_n=T_n-T_{n-1}=3n^2-3(n-1)^2=6n-3（n≥2），c_1=T_1=1，c_1≠c_2，故不是等差数列。参考答案：×4.若数列{d_n}满足d_n+1-d_n=2（n≥1），则该数列是等差数列。（）解：由递推关系d_n+1-d_n=2，可知该数列是公差为2的等差数列。参考答案：√5.数列{e_n}中，若e_1=1，e_n=e_{n-1}+n（n≥2），则e_n=n(n+1)/2。（）解：由递推关系e_n=e_{n-1}+n，可得e_n=1+2+3+…+n=n(n+1)/2。参考答案：√6.等差数列{f_n}中，若S_10=155，则该数列的公差为3。（）解：S_10=10a_1+(10×9/2)d=155，因a_1未知，无法确定d。参考答案：×7.等比数列{g_n}中，若g_2=6，g_4=54，则该数列的公比q为3。（）解：由g_2g_4=g_3^2=6×54=324，g_3=18，q=g_3/g_2=18/6=3。参考答案：√8.数列{h_n}的前n项和H_n=n^2+n，则该数列是等差数列。（）解：由H_n=n^2+n，h_n=H_n-H_{n-1}=2n（n≥2），h_1=H_1=2，h_1≠h_2，故不是等差数列。参考答案：×9.数列{i_n}中，若i_1=1，i_n=i_{n-1}+n（n≥2），则i_n是等差数列。（）解：由递推关系i_n=i_{n-1}+n，可得i_n=1+2+3+…+n=n(n+1)/2，i_n与n呈二次函数关系，不是等差数列。参考答案：×10.数列{j_n}的前n项和G_n=2^n-1，则j_n是等比数列。（）解：由G_n=2^n-1，j_n=G_n-G_{n-1}=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}（n≥2），j_1=G_1=1，j_1≠j_2，故不是等比数列。参考答案：×四、简答题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）1.已知等差数列{a_n}中，a_3+a_7=18，求a_5+a_9的值。解：由等差数列性质a_3+a_7=2a_5=18，可得a_5=9，a_5+a_9=9+2d=9+2×(a_7-a_5)=9+2×(9-9)=9。2.若数列{b_n}的前n项和S_n=n^2+n，求b_4的值。解：由S_n=n^2+n，b_n=S_n-S_{n-1}=2n（n≥2），b_4=2×4=8。3.数列{c_n}满足c_1=1，c_n=c_{n-1}+n（n≥2），求c_6的值。解：由递推关系c_n=c_{n-1}+n，可得c_2=1+2=3，c_3=3+3=6，c_4=6+4=10，c_5=10+5=15，c_6=15+6=21。4.已知等比数列{d_n}中，d_2=6，d_4=54，求该数列的公比q。解：由等比数列性质d_2d_4=d_3^2=6×54=324，d_3=18，q=d_3/d_2=18/6=3。五、应用题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）1.某工厂计划每年比上一年增加生产设备数量，已知第一年生产设备数量为10台，以后每年比前一年多生产5台，求第10年生产设备数量。解：由题意可知该问题构成等差数列，a_1=10，d=5，a_{10}=a_1+(10-1)d=10+9×5=55（台）。2.某城市人口增长率为每年10%，已知2020年人口为100万，求2025年人口数量（精确到0.1万）。解：由题意可知该问题构成等比数列，a_1=100，q=1.1，a_5=a_1q^4=100×1.1^4≈146.41（万）。3.某企业员工工资每年上涨，已知第一年工资为5000元，以后每年比前一年增加300元，求第8年员工工资。解：由题意可知该问题构成等差数列，a_1=5000，d=300，a_8=a_1+(8-1)d=5000+7×300=7100（元）。4.某投资项目年收益率为20%，已知初始投资为100万元，求5年后的投资总额（精确到0.1万元）。解：由题意可知该问题构成等比数列，a_1=100，q=1.2，a_5=a_1q^4=100×1.2^4≈207.36（万元）。【标准答案及解析】一、单选题1.A2.C3.D4.A5.B6.D7.C8.C9.A10.B二、填空题1.92.1803.94.315.66.1557.488.109.2810.16三、判断题1.×2.√3.×4.√5.√6.×7.√8.×9.×10.×四、简答题1.9解：由等差数列性质a_3+a_7=2a_