高中数学 加练 专题7　第60练　空间几何体的表面积与体积

专题7立体几何与空间向量第60练空间几何体的表面积与体积(分值：52分)一、单项选择题(每小题5分，共30分)1.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等且它们的高均为2，则圆锥的体积为()A.22π B.32π C.62π D.92π答案A解析设圆柱和圆锥的底面半径均为R，侧面积分别为S1，S2，则圆锥的母线长l=2+R所以S1=22πR，S2=12×2πR×=πR2+R又因为S1=S2，即22πR=πR2+R解得R2=6，所以圆锥的体积V=πR23×2=22.如图，正六棱柱的底面边长为2，最长的一条对角线BE1=25，则它的表面积为()A.4(33+4)B.12(3+2)C.12(23+1)D.3(3+8)答案B解析因为正六棱柱的底面边长为2，最长的一条对角线长为25，则高BB1=(25)2-(2×2)2=2，它的表面积为S底+S侧=2×6×12×2×2×sinπ3+6×3.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，BC的中点，则四棱锥B-A1EFC1的体积为()A.23 B.1C.43 D.答案B解析方法一V四棱锥B-A1EFC1=V三棱台EBF-A1B1C1-方法二V四棱锥B-A1EFC1=V三棱锥B-A1EF+V三棱锥B-A1FC1=V4.如图，青铜器的上半部分可以近似看作圆柱体，下半部分可以近似看作两个圆台的组合体，假设上、下底面圆是封闭的，已知AB=9cm，CD=3cm，则该青铜器的表面积为()A.(363+81)π2cm2 B.(18C.(243+81)π2cm2 D.(18答案A解析因为S圆柱侧=2π×32×23=63π(cm2)S组合体圆台侧=π×32+92×(33=(36+123)π(cm2)，所以该青铜器的表面积S=π322+π322+(36+123)π+63π=(3635.如图，茶杯的形状是一个上宽下窄的正四棱台，上底面边长为下底面边长的2倍，容积为28mL，厚度忽略不计.当倒入14mL茶水时，茶水的高度与茶杯的高度之比为()A.312C.392-12答案D解析如图所示，延长正四棱台的各条侧棱交于点P，设正四棱台的下底面边长为acm，高为hcm，则上底面边长为2acm，四棱锥P-EFGH的高为hcm，四棱锥P-ABCD的高为2hcm，可得V四棱锥P-EFGH=18V四棱锥P-ABCD所以V四棱锥P-EFGH=17V正四棱台EFGH-ABCD=4(cm3)设茶水的高为h'cm，可得h'+h2h3即h'h+1=23916=392，所以6.如图，一个底面半径为2a的圆锥，其内部有一个底面半径为a的内接圆柱，且此内接圆柱的体积为3πa3，则该圆锥的体积为()A.233πa3 B.83C.43πa3 D.83πa3答案B解析作出该几何体的轴截面如图所示，AB为圆锥的高，设内接圆柱的高为h，而BC=2a，BD=a，因为内接圆柱的体积为3πa3，即πa2h=3πa3，则h=3a，由于AB∥ED，故△CAB∽△CED，则hAB=DCBC，即3aAB=2a-所以圆锥体积为13π×(2a)2×23a=833πa二、多项选择题(每小题6分，共12分)7.陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也叫做陀罗，闽南语称作“干乐”，北方叫做“冰尜(gá)”或“打老牛”.传统古陀螺大致是木制或铁制的倒圆锥形.现有一圆锥形陀螺(如图所示)，其底面半径为3，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则()A.圆锥的母线长为9B.圆锥的表面积为36πC.圆锥的侧面展开图(扇形)的圆心角为60°D.圆锥的体积为122π答案AB解析对于A，设圆锥的母线长为l，以S为圆心，SA为半径的圆的面积为πl2，圆锥的侧面积为πrl=3πl，当圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则πl2=9πl，所以圆锥的母线长l=9，故A正确；对于B，圆锥的表面积为3π×9+π×32=36π，故B正确；对于C，圆锥的底面圆周长为2π×3=6π，设圆锥侧面展开图(扇形)的圆心角为αrad，则6π=9α，解得α=2π3，即α=120°，故C对于D，圆锥的高h=l2-r2=92-32=62，所以圆锥的体积为V=13πr2h=13π×328.中国有悠久的建筑文化历史，鲁班锁就是其中一种，鲁班锁的形状种类很多，其结构起源于中国古代建筑的榫卯结构，利用了其拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合，十分巧妙，一般都是易拆难装，现有如图(1)的鲁班锁，其各个面是由正三角形与正八边形构成的，图(2)是该鲁班锁的直观图，则下列结论正确的是()A.该鲁班锁的各个面中为正三角形的面有8个B.该鲁班锁的各个面中为正八边形的面有8个C.若该鲁班锁每条棱的长均为1，则该鲁班锁表面中为正八边形的面的面积之和为12(1+2)D.若该鲁班锁每条棱的长均为1，则该鲁班锁体积为77答案AC解析从图(1)的鲁班锁和图(2)的直观图中可知，各个面中为正三角形的面共有8个，表面为正八边形的面有6个，故A正确，B错误；如图为鲁班锁的正八边形的面，易得∠AHG=∠HGF=(8-2)×180°分别过点H，G作HM⊥AF，GN⊥AF，垂足分别为M，N，AB=AH=GH=GF=1，AM=HM=GN=FN=22×1=2则AF=22+1+22=2则每个正八边形的面积为AF2-4×12×22×22=(2+1)2所以该鲁班锁表面的所有正八边形的面的面积之和为(2+22)×6=12(1+2)，故C正确；鲁班锁的体积可以看成正方体的体积减去八个三棱锥的体积，正方体的体积为(1+2)3，一个小三棱锥的体积为13×12×22则鲁班锁的体积为(1+2)3-8×224=7+1423，故三、填空题(每小题5分，共10分)9.已知圆台O1O2的高为3，中截面(过高的中点且垂直于轴的截面)的半径为3，若中截面将该圆台的侧面分成了面积比为1∶2的两部分，则该圆台的母线长为.答案5解析设圆台的上、下底面圆的半径分别为r，R，因为中截面的半径为3，所以根据梯形中位线性质可知，r+R=6.又中截面将该圆台的侧面分成了面积比为1∶2的两部分，所以根据圆台侧面积公式可知，π(r+3)π(3+R)=r+39-r=又圆台的高为3，所以圆台的母线长为32+(R-10.生活中有很多常见的工具具有独特的几何体结构特征，例如用来收运垃圾的畚箕，其结构为如图所示的五面体ADE-BCF，其中四边形ABFE与四边形DCFE都为等腰梯形，四边形ABCD为平行四边形，若AD⊥平面ABFE，且EF=2AB，记三棱锥D-ABF的体积为V1，五面体ADE-BCF的体积为V2，则V1V2答案1解析因为四边形ABCD为平行四边形，所以S△ABD=S△BCD，所以V三棱锥F-BCD=V三棱锥