职高数学数列常见试题及完整答案解析

职高数学数列常见试题及完整答案解析考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知数列`{a_n}`的前n项和为`S_n=3n^2-2n`，则该数列的第四项`a_4`等于（）A.15B.18C.21D.242.如果一个数列`{a_n}`满足`a_1=1`，`a_{n+1}=2a_n+1`（`n∈N*`），那么这个数列是（）A.等差数列B.等比数列C.既是等差数列也是等比数列D.既不是等差数列也不是等比数列3.在等差数列`{a_n}`中，已知`a_5=10`，`a_10=25`，则该数列的公差`d`等于（）A.3B.4C.5D.154.已知等比数列`{b_n}`的首项`b_1=2`，公比`q=-3`，则该数列的前三项之和`b_1+b_2+b_3`等于（）A.-20B.20C.-16D.165.已知等差数列`{a_n}`的前n项和为`S_n`，若`a_5=10`，`a_10=25`，则`S_15`等于（）A.90B.150C.180D.2406.在等比数列`{c_n}`中，若`c_3=12`，`c_6=96`，则该数列的公比`q`等于（）A.2B.-2C.3D.-37.若数列`{a_n}`的通项公式为`a_n=n(n+1)`，则该数列的前n项和`S_n`等于（）A.`n(n+1)(n+2)/3`B.`n(n+2)(2n+1)/6`C.`n^2(n+1)/2`D.`n(n+1)/2`8.已知等差数列`{a_n}`的公差`d=-2`，前n项和为`S_n=30`，则首项`a_1`等于（）A.8B.10C.-8D.-109.已知数列`{a_n}`满足`a_1=1`，`a_{n+1}=a_n+n`（`n∈N*`），则该数列的通项公式`a_n`等于（）A.`n`B.`n(n-1)/2`C.`n(n+1)/2`D.`2n-1`10.已知等比数列`{b_n}`的前n项和为`S_n`，公比`q≠1`，若`S_4=1`，`S_8=17`，则`S_12`等于（）A.27B.39C.55D.63二、多选题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对但不得分，有选错的得0分）11.下列说法中，正确的有（）A.等差数列的通项公式`a_n=a_1+(n-1)d`可以写成`a_n=A+(n-1)B`的形式，其中`A=a_1`，`B=d`。B.如果数列`{a_n}`是等比数列，那么数列`{(a_n)^2}`也是等比数列。C.任意一个数列都可以写成等差数列和等比数列的和的形式。D.如果一个数列的前n项和`S_n=an^2+bn`（`a,b`为常数），那么这个数列一定是等差数列。12.在等差数列`{a_n}`中，若`a_1=-5`，`d=3`，则下列结论中正确的有（）A.`a_10=20`B.`S_15=120`C.`a_n=3n-8`D.`S_n`是关于`n`的二次函数13.关于等比数列`{c_n}`，下列说法中正确的有（）A.若`c_1>0`，`q>1`，则数列`{c_n}`是递增数列。B.若`c_n=1`对任意`n∈N*`都成立，则该数列是常数列。C.等比数列中，任意两项的比等于它们的位置索引之比（如`a_m/a_n=m/n`）。D.若`c_1≠0`，`q=1`，则数列`{c_n}`的前n项和`S_n=na_1`。14.已知数列`{a_n}`的递推公式为`a_{n+1}=a_n+2n`（`n∈N*`），且`a_1=2`，下列结论中正确的有（）A.`a_n=n^2+n`B.该数列是等差数列C.`S_n=n^2+n`D.`a_{n+1}-a_n=2n`15.在等差数列`{a_n}`中，若`S_n=45`，`S_2n=135`，则下列结论中正确的有（）A.`n`可能等于3B.`n`可能等于4C.公差`d`必定为6D.`S_{n+k}-S_n`是一个与`k`成正比的常数三、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。将答案填在题中横线上）16.已知等差数列`{a_n}`的前n项和为`S_n=5n^2-3n`，则该数列的第五项`a_5`等于________。17.已知数列`{b_n}`满足`b_1=2`，`b_{n+1}=b_n/2`（`n∈N*`），则该数列的通项公式`b_n`等于________。18.已知等比数列`{c_n}`的前n项和为`S_n`，若`c_2=6`，`S_4=30`，则该数列的公比`q`等于________。19.在等差数列`{a_n}`中，若`a_1+a_3+a_5=12`，`d=2`，则`a_1`等于________。20.已知数列`{a_n}`的通项公式为`a_n=(-1)^(n+1)*n`，则该数列的前10项和`S_10`等于________。四、解答题（本大题共4小题，共50分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）21.（本小题满分12分）已知等差数列`{a_n}`的前n项和为`S_n`，且`a_3=5`，`S_6=30`。（1）求该数列的通项公式`a_n`；（2）求该数列的前10项和`S_10`。22.（本小题满分12分）已知数列`{b_n}`的前n项和为`S_n`，满足`S_n=2b_n-3`（`n∈N*`）。（1）求证：数列`{b_n}`是等比数列，并求出其公比`q`；（2）若`b_1=1`，求`b_4`的值。23.（本小题满分13分）已知数列`{a_n}`满足`a_1=1`，`a_{n+1}=a_n+n+1`（`n∈N*`）。（1）求证：数列`{a_n}`是等差数列，并求出其通项公式；（2）若数列`{a_n}`的前n项和为`S_n`，求`S_n`的表达式。24.（本小题满分13分）已知等比数列`{c_n}`的首项`c_1=3`，公比`q`为正数，且`c_4`的值等于`c_1`与`c_7`的等比中项。（1）求公比`q`的值；（2）求该数列的前n项和`S_n`的表达式；（3）若`S_n>300`，求最小的正整数`n`。试卷答案一、选择题1.A2.A3.C4.A5.B6.C7.A8.D9.C10.D二、多选题11.ABD12.ABC13.ABD14.ACD15.ABD三、填空题16.4717.2/(1/2)^(n-1)=2*2^(n-1)=2^n18.219.-220.-5四、解答题21.解：（1）设数列的首项为`a_1`，公差为`d`。由`a_3=a_1+2d=5`，得`a_1+2d=5`。（①）由`S_6=6/2*(2a_1+5d)=3*(2a_1+5d)=30`，得`2a_1+5d=10`。（②）解方程组（①）（②）：由②-①得`3d=5`，即`d=5/3`。将`d=5/3`代入①得`a_1+2*(5/3)=5`，即`a_1+10/3=5`。解得`a_1=15/3-10/3=5/3`。所以通项公式为`a_n=a_1+(n-1)d=5/3+(n-1)*(5/3)=5/3+5n/3-5/3=5n/3`。答：该数列的通项公式`a_n=5n/3`。（2）利用上面求得的`a_1=5/3`和`d=5/3`求解。`S_10=10/2*(2a_1+9d)=5*(2*5/3+9*5/3)=5*(10/3+45/3)=5*(55/3)=275/3`。答：该数列的前10项和`S_10=275/3`。22.解：（1）由`S_n=2b_n-3`，得`b_n=(S_n+3)/2`。（①）当`n=1`时，`b_1=(S_1+3)/2`。因为`S_1=2b_1-3`，代入得`b_1=(2b_1-3+3)/2=b_1`，此式对任意`b_1`成立，说明公式①对`n=1`成立。当`n≥2`时，`b_n=(S_n+3)/2`，`b_{n-1}=(S_{n-1}+3)/2`。两式相减，得`b_n-b_{n-1}=[(S_n+3)/2]-[(S_{n-1}+3)/2]=(S_n-S_{n-1})/2`。由于`S_n-S_{n-1}=b_n`，代入上式得`b_n-b_{n-1}=b_n/2`。整理得`b_n/2-b_{n-1}=0`，即`b_n/2=b_{n-1}`。所以`b_n=2*b_{n-1}`（`n≥2`）。这表明数列`{b_n}`从第二项起，每一项与其前一项的比值为常数2，故数列`{b_n}`是等比数列，公比`q=2`。（2）由（1）知`b_n=2*b_{n-1}`（`n≥2`），且`b_1=(S_1+3)/2`。由`S_1=2b_1-3`，得`b_1=(2b_1-3+3)/2=b_1`，此式对任意`b_1`成立。若`b_1=0`，则`S_1=2*0-3=-3`，这与`S_n`作为前n项和应非负矛盾。所以`b_1≠0`。由`b_1=(S_1+3)/2`，得`S_1=2b_1-3`。令`n=1`代入`b_n=2*b_{n-1}`得`b_1=2*b_0`。由于`b_1≠0`，必有`b_0=0`，这与定义矛盾。重新审视`S_n=2b_n-3`。令`n=1`，`S_1=2b_1-3`。又`b_1=S_1/2+3/2`。若`b_1=1`，则`S_1=2*1-3=-1`，矛盾。若`b_1=-1`，则`S_1=2*(-1)-3=-5`，矛盾。若`b_1=2`，则`S_1=2*2-3=1`。此时`b_1=1`，`b_2=2*b_1=2`，`b_3=2*b_2=4`，`b_4=2*b_3=8`。满足`b_1=2`时，`S_1=1`，`S_2=2*2-3=1`，`S_3=2*4-3=5`，`S_4=2*8-3=13`。看来只有`b_1=1`才能保证`S_n`非负且满足递推关系。此时`S_1=2*1-3=-1`，矛盾。重新思考`b_n=(S_n+3)/2`。假设`b_1=1`，则`S_1=2*1-3=-1`。`b_2=(S_2+3)/2`，`S_2=b_1+b_2=1+b_2`。代入得`b_2=(1+b_2+3)/2=(b_2+4)/2`。解得`2*b_2=b_2+4`，即`b_2=4`。`b_3=(S_3+3)/2`，`S_3=S_2+b_3=(1+4)+b_3=5+b_3`。代入得`b_3=(5+b_3+3)/2=(b_3+8)/2`。解得`2*b_3=b_3+8`，即`b_3=8`。看来`b_n=2^n`是解。验证：`b_1=2^1=2`。`S_1=2*2-3=1`。满足`b_1=(S_1+3)/2=(1+3)/2=2`。`b_2=2^2=4`。`S_2=2*4-3=5`。满足`b_2=(S_2+3)/2=(5+3)/2=4`。`b_3=2^3=8`。`S_3=2*8-3=13`。满足`b_3=(S_3+3)/2=(13+3)/2=8`。假设`b_k=2^k`对`k`成立，即`S_k=2*b_k-3=2*2^k-3=2^(k+1)-3`。`b_{k+1}=(S_{k+1}+3)/2`。`S_{k+1}=S_k+b_{k+1}=2^(k+1)-3+b_{k+1}`。代入得`b_{k+1}=(2^(k+1)-3+b_{k+1}+3)/2=(2^(k+1)+b_{k+1})/2`。解得`2*b_{k+1}=2^(k+1)+b_{k+1}`，即`b_{k+1}=2^(k+1)`。由数学归纳法知`b_n=2^n`对所有`n∈N*`成立。所以`b_4=2^4=16`。答：数列`{b_n}`是等比数列，公比`q=2`。`b_4=16`。23.解：（1）证明：由`a_{n+1}=a_n+n+1`，得`a_{n+1}-a_n=n+1`。计算第二项与前一项的差：`a_2-a_1=1+1=2`。计算第三项与第二项的差：`a_3-a_2=2+1=3`。...计算第n项与第n-1项的差：`a_n-a_{n-1}=(n-1)+1=n`。上述`n`个式子相加，得：`(a_2-a_1)+(a_3-a_2)+...+(a_n-a_{n-1})=2+3+...+n`。左边是一个望远镜求和，结果为`a_n-a_1`。右边是一个等差数列求和，`S=n/2*(2+n)=n(n+1)/2`。所以`a_n-a_1=n(n+1)/2`。已知`a_1=1`，代入得`a_n-1=n(n+1)/2`。解得`a_n=n(n+1)/2+1=n^2/2+n/2+1=n^2/2+n*1/2+1*1/2=(n^2+2n+1)/2=(n+1)^2/2`。即`a_n=(n+1)^2/2`。这表明相邻两项之差为`n`，是一个关于`n`的一次函数（`a_{n+1}-a_n=n+1`），因此数列`{a_n}`是等差数列。其通项公式为`a_n=(n+1)^2/2`。首项`a_1=1^2/2=1`。公差`d=a_2-a_1=(2^2/2)-1=2-1=1`。（2）利用上面求得的`a_n=(n+1)^2/2`求解`S_n`。`S_n=a_1+a_2+...+a_n=sum_{k=1}^{n}a_k=sum_{k=1}^{n}[(k+1)^2/2]`。`S_n=1/2*sum_{k=1}^{n}(k^2+2k+1)`。`S_n=1/2*[sum_{k=1}^{n}k^2+2*sum_{k=1}^{n}k+sum_{k=1}^{n}1]`。使用求和公式：`sum_{k=1}^{n}k^2=n(n+1)(2n+1)/6`，`sum_{k=1}^{n}k=n(n+1)/2`，`sum_{k=1}^{n}1=n`。`S_n=1/2*[n(n+1)(2n+1)/6+2*n(n+1)/2+n]`。`S_n=1/2*[n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)+n]`。`S_n=1/2*[n(n+1)*(2n+1)/6+n(n+1)*3/3+n]`。`S_n=1/2*[n(n+1)*(2n+1+6)/6+n]`。`S_n=1/2*[n(n+1)*(2n+7)/6+n]`。`S_n=1/2*[n(n+1)(2n+7)/6+6n/6]`。`S_n=1/2*[n(n+1)(2n+7)+6n]/6`。`S_n=[n(n+1)(2n+7)+6n]/12`。`S_n=[2n^3+7n^2+2n^2+7n+6n]/12`。`S_n=[2n^3+9n^2+13n]/12`。答：数列`{a_n}`的前n项和`S_n=(2n^3+9n^2+13n)/12`。24.解：（1）设数列的首项为`c_1=3`，公比为`q`（`q>0`）。由`c_4=3q^3`，`c_7=3q^6`。`c_4`是`c_1`与`c_7`的等比中项，即`(c_4)^2=c_1*c_7`。代入得`(3q^3)^2=3*3q^6`。`9q^6=9q^6`。此等式对所有`q>0`都成立。这表明题目条件`c_4`是`c_1`与`c_7`的等比中项与`q>0`的约束不矛盾，但没有唯一确定`q`的值。通常这种情况下题目可能存在表述问题或需要补充条件。如果理解为求满足条件的`q`，则所有`q>0`都满足。若必须给出一个具体值，可能题目有误。