2014年上半年教师资格证考试《高中数学》真题（解析）

2014年上半年教师资格证考试《高中数学》题（解析）1解析本题主要考查高等数学中导数与微分的应用.利用曲线的切线方程的斜率等于切点处的导函数值的性质，，则

，所以切线方程为：，整理得：.

故正确答案为A.2解析本题主要考查导数的几何意义。已知函数在

上连续，在

可导，则表示在定义域

内每一点的极限值都等于其函数值，从中任取一点

，若原函数在区间

内单调且不存在拐点，则必有

或

；若原函数在区间

内不具有单调性，则必有

成立.

故正确答案为D。

3解析本题主要考查定积分的应用。设在区间上连续，定积分的几何意义是介于轴，函数的图像以及直线之间各部分面积的代数和。表示上图中阴影部分的面积，因为，所以，此时存在两个点满足

，则至少存在一个使得。故正确答案为B。4解析本题主要考查保距变换。平面上一个点变换，如果保持点之间的距离不变，则称之为保距变换。其中反射、平移、旋转都是保距变换。A项：平移变换，正确；B项：旋转变换，正确；C项：为沿Y轴方向的错切变换，错误；D项：先对称再平移，正确；故正确答案为C。

5解析本题主要考查向量的外积与三角形的面积公式。向量外积又名叉乘，其结果为一个向量，根据向量外积公式，，三角形的面积。故正确答案为C。6解析本题主要考查对迪里赫莱函数的奇偶性，周期性，单调性和连续性

概念的理解。A项：函数的定义域是一切实数，可对的图像从三个角度（正半轴，原点及负半轴）进行研究，则根据的解析式，无论是有理数还是无理数都有，故是偶函数，此项错误；B项：任何有理数都是迪里赫莱函数的周期，满足，此项正确；C项：在定义域内任取或（），都有

恒成立，则原函数在定义域内为单调递增函数（或单调递减函数），本题函数不满足函数单调性的定义，此项错误；D项：函数在定义域上每一点的左极限都等于右极限且等于该点的函数值，根据的解析式，不满足在定义域上每一点的左极限都等于右极限，此项错误；

故正确答案为B。

7解析本题主要考查对《高中数学新课程标准》的解读。

A项：培养数学思考与提高解决问题的能力是数学教学的核心目标，错误；

B项：动手实践，阅读自学是学生学习数学的重要方式，正确；

C项：信息技术与高中数学课程整合的任务是利用信息技术的特点，选用合适的信息技术将高中的数学知识与内容恰当呈现，形成学习资源，不仅仅局限于制作课件，还有利用信息技术开展数学活动等方式，错误；

D项：安排教学内容不仅要依据考试大纲，还应结合学生的思维发展特点及个性特征来设计最适合学生向各方面发展的教学内容，错误；

故正确答案为B。8解析本题主要考查对概念与命题的理解。

A项：全称肯定判断——断定一类事物的全部都具有某种性质的判断。通常用“A”表示，也可写成“SAP”。逻辑形式是:“所有的S都是P”；

B项：全称否定判断——断定一类事物的全部都不具有某种性质的判断。通常用“E”表示,也可写成“SEP”。逻辑形式是:“所有的S都不是P”；

C项：特称肯定判断——断定一类事物中的部分对象具有某种性质的判断。通常“I”表示,写成“SIP”。逻辑形式是：“有些S是P”；

D项：特称否定判断——断定一类事物中的部分对象不具有某种性质的判断。通常用“O”表示，也可写成“SOP”。逻辑形式是:“有的S不是P”；

“三角形内角和180◦”是指“所有的三角形内角和都是180◦”，符合逻辑形式“所有的S都是P”。

故正确答案为A。9正确答案是：

令

，由伯努利不等式推得，

或

，对，总

（取

），则当

时，有

，即

，所以

。解析本题主要考利用伯努利不等式证明极限。利用极限的定义去证明数列的极限，找到最小的N，使得满足极限的定义，即可得证。10正确答案是：将

看作平面上一个点的坐标，且满足

，则

可能的取值区域为平面上的正方形（），两个数之差的绝对值小于

，即是正方形中

的区域（如下图所示），所以

解析本题主要考查概率与统计及数形结合的思想。根据随机变量服从均匀分布，得到所求概率，将随机抽样的概率转化为求解阴影部分的面积。11正确答案是：（1）证明：由已知可得，空间椭圆

为圆柱

与平面

相交所得，因为

圆柱

的中心为原点，平面

的中心也为原点，所以

椭圆

的中心为原点.联立椭圆与直线方程，可得两交点为椭圆的端点

和

，因为椭圆的长轴和短轴相互垂直，故另外两个端点为椭圆与直线

的交点，为

和

，当

时，长轴长为

，短轴长为

，当

时，长轴长为

，短轴长为

。（2）证明：在平面

以直线

为横轴m，以直线为纵轴n，建立直角坐标系，可得的平面方程为

，其中

，此结果与R无关，故任意给定的一个椭圆其两轴长分别为a,b均可以找到参数k,R使得

，其中解析本题主要考查空间曲线及其在坐标面上的投影的内容。（1）将空间投影到平面，可知椭圆的中心即是投影后圆柱的中心，在原点。利用相交关系，可列方程组求解得到端点的坐标。

（2）选择合适的坐标，建立直角坐标系，表示出的平面方程，求出长轴和短轴的比值，发现结果与R和K无关，这说明，对于任意一个椭圆，都存在。12正确答案是：（1）必修课程内容确定的原则是：满足未来公民的基本数学需求，为学生进一步的学习提供必要的数学准备。（2）选修课程内容确定的原则是：满足学生的兴趣和对未来发展的需求，为学生进一步学习、获得较高数学素养奠定基础。系列1（选修——圆锥曲线与方程，统计案例等内容）是为那些希望在人文、社会科学等方面发展的学生而设置的。系列2（选修——导数及其应用，推理与证明等内容）则是为那些希望在理工、经济等方面发展的学生而设置的。系列1，系列2内容是选修系列课程中的基础性内容。系列3（欧拉公式与闭曲面分类等内容）和系列4（矩阵与变换等内容）是为对数学有兴趣和希望进一步提高数学素养的学生而设置的，所涉及的内容反映了某些重要的数学思想，有助于学生进一步打好数学基础，提高应用意识，有利于学生终身的发展，有利于扩展学生的数学视野，有利于提高学生对数学的科学价值、应用价值、文化价值的认识。其中的专题将随着课程的发展逐步予以扩充，学生可根据自己的兴趣、志向进行选择。解析本题主要考查普通高中数学课程标准（实验）》对必修课课程内容的确定的原则和选修课程内容确定的原则有具体论述。严格根据《普通高中数学课程标准》中对于必修课程的内容的进行解答，熟悉掌握该类问题。13正确答案是：1.基本初等函数；2.性质特点；3.锐角三角函数值；4.应用解析本题主要考查对课程内容的把握。1.基本初等函数：与指数函数，对数函数和幂函数进行横向比较；2.性质特点：三角函数最显著的图像性质就是周期性；3.锐角三角函数值：通过对锐角三角函数值的学习探索三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；4.应用：重视学科之间的联系与综合，在学习其他学科的相关内容（如单摆运动、波的传播、交流电）时，可以将任意角的三角函数实际应用于其中。在三角函数的教学中，教师应根据学生的生活经验，创设丰富的情境，使学生体会三角函数模型的意义。例如，通过单摆、弹簧振子、圆上一点的运动，以及音乐、波浪、潮汐、四季变化等实例，使学生感受周期现象的广泛存在，认识周期现象的变化规律，体会三角函数是刻画周期现象的重要模型。14正确答案是：

（1），，,所以

，所以

，，在第一象限内，。（2）在复平面内建立直角坐标系，其中单位圆的方程为

。令其内接正五边形过点（1，0），设其余四个顶点的坐标为，且满足

。

由第一问验证可知，的五个根均在单位圆上，且

，则单位圆的内接正五边形的边长为第一象限的点与（1，0）的距离

。解析本题主要考查复数的运算及数形结合的思想。利用数形结合的思想将已知条件进行整体代换，从而进行进一步的探索。15正确答案是：一．正确认识数学的抽象性抽象性，是数学学科理论的基本特点之一。本来现实世界的客观对象是非常具体的。但是，数学是将客观对象的所有其它特性抛开，而只提取其空间形式和数量关系进行系统的、理论的研究。因此，数学具有比其它学科更显著的抽象性。然而任何一个抽象的数学概念，在它形成的过程中，却往往以大量的具体对象作为基础，或者以一些相对具体的抽象概念作为基础。抽象程度越高的数学概念，概括性越强，越是能代表更广泛的具体对象共有的属性。数学概念的抽象性与具体对象的直观性是有联系的，而且高度的抽象不是一下子达到的，它需要一个从具体到抽象，又从相对具体到比较抽象的发展过程，因此认识数学的抽象性要以具体形象为基础。

1.认识数学的抽象性要从具体对象入手，适时地上升为抽象理论

中学生尤其是低年级中学生对具体对象的直观性有很强的依赖性，或者说中学生抽象思维有一定的局限性。事实上，引入比较抽象的概念时，往往需要从具体实例出发；若不举出一定数量的实例，初一学生就连“相反方向的量”也不好接受；教学要从具体对象入手，适时地上升为抽象理论,然后又及时地把它概括到更丰富、更广泛的具体对象上去,学生就会逐渐突破其抽象思维不强的局限性,从而适应数学概念的抽象性，并逐步提髙抽象思维的能力。

2.认识数学的抽象性要坚持抽象与具体相结合原则

所谓第一信号系统,是以外界具体的对象、现象为客观刺激物，直接作用于各种感觉器官，引起反射的系统，这是人与一般动物所共有的；所谓第二信号系统，是以语言作为剌激信号，引起神经反射的系统，这是只有人类才有的。人的第一和第二信号系统永远是协同活动和相互作用的：第二信号系统是在第一信号系统的基础上形成起来的，第一信号系统又经常受第二信号系统支配和调节。另一方面，第二信号系统的言语又有直观性要求的生理机制。言语直观是通过教师有意识组织的言语来恢复学生大脑皮层中已建立的暂时联系或唤起学生同时性、相似性和对比性的联想,并借此促使学生迅速地形成新的暂时联系或开辟新的神经通路。这便是抽象性与直观性相结合的真谛之所在。第一、第二信号系统在不同年龄阶段，还具有不同的发展特征和规律，我们正确地坚持抽象与具体相结合原则更好的认识数学的抽象性。二.数学教学中处理抽象与具体之间的关系的手段：

1.直观教学

注意通过实物直观、模型直观、图形直观、言语直观，以形成学生鲜明的表象，为他们掌握基础理论提供必要的感性材料。这些感性知识越完善、越丰富，学生形成抽象的理性知识也就越顺利、越牢固。直观教学必须注意以下几点：实物直观、模型直观、图形直观教学，要注意知识的系统性和理论的严谨性，以便把直观得到的感性认识提高到抽象的理论的水平；直观教具亮出的时机也要适当，拿出教具后要引导学生观察、分析、综合、概括、抽象，不要在细节上分散了学生的注意力，要利于他们抓住本质的数学特征。例如：在讲授三角函数值只与角度有关而与三角形的大小无关时，可以利用两个相似但大小不同的三角板，使学生通过模型直观更深刻的体会所学知识点，将抽象的概念更直观的纳入到自身认知结构中。

运用言语直观教学时，要为透彻地讲授知识服务，为了让学生更能准确地理解教材的文字，不能滥用粗俗的习语，以免喧宾夺主，适得其反。言语直观要照顾学生的年龄特征和知识水平，以他们已有的记忆表象为基础，使其再现并重新组合，形成新的高层次的表象。要防止脱离学生经验，单纯追求言语的形象性。言语直观要求教师语言通俗、有趣、易懂，并配以节奏感和鼓动性，富于启发性和感染力,但切忌“八股调”和矫揉造作的手势，以及各种语病。

2.数形结合

可以根据数学本身的特点，采用数形结合的方法。这样可以使较为抽象的数量关系通过直观的几何图形将其性质反映出来，使抽象的概念、关系得以直观化、形象化,有利于分析、发现和理解它们。

3.注重观察

对于抽象的关系，还可以让学生对一些具体的关系进行观察、比较、分析、归纳，逐步提高他们的抽象思维的能力。

4.重视教学手段改革

运用幻灯、投影仪、电视、电子计算机等先进教学设备，加速教学手段现代化,也是贯彻抽象性与直观性相结合教学原则的重要途径。解析本题主要考查实际数学教学中的常用教学方法。1.把握题干，将题目涉及相关理论进行完善并完整论述。2.举例阐述教学手段的具体内容。16正确答案是：一．该教师通过直接呈现偶函数定义的方式让学生获得概念

1.优点：教学所要呈现的知识点一目了然，教学目标明确；直接给出了偶函数的定义，引导学生根据定义讨论偶函数的性质，目标明确，培养学生利用所学过的知识解决新问题的能力。

2.缺点：此呈现方式使学生偏向于进行机械学习,学生没有理解符号所代表的知识，只依据教师所呈现的知识点的字面上的联系，记住名称和公式。

3.建议：学生将偶函数的概念同化，进行有意义学习则是更加有效的学习方式，概念同化是以定义的形式给出概念，由学生主动地与自己认知结构中原有的有关概念相互联系、相互作用以领会它的意义,从而获得新概念。因此可以通过例题（偶函数），由教师适当引导小组合作画出图像，进而讨论总结出函数图像与解析式的性质，通过学生自主探究与发现将所要学的内容积极主动的纳入自身已有的知识结构中，加强学生对偶函数性质的理解，最后由教师给出符合这些性质的偶函数定义，完善学生的数学认知体系，以达到更好的教学效果。二．该教师的课堂提问

1.优点：“什么是偶函数呢？”通过板书课题以这样的提问激发学生的好奇心，增强学生积极主动探索本节课内容的热情。

2.缺点：“请同学们齐声朗读一遍”这样的课堂设置不符合高一学生的学情。根据新课改理念，课堂设置一定要符合所教学生的学情，高一学生基础知识范围较宽，合情推理能力和应用意识较强，自信心强且性格较为稳重，而齐声朗读定义的形式更适合三年级以下活泼好动理解能力较弱的小学生，不适合高一的数学课堂，所以应避免齐声朗读的设置；

“从这个定义看，偶函数有什么性质呢？”新课改理念倡导课堂应以教师为主导，学生为主体，即教师通过适当的引导带领学生积极主动的通过动手与动脑相结合达到掌握知识的目的，而此提问直接抛出了问题，没有体现教师的引导性，教师应该给出小组需要讨论研究的具体要求（例如：观察课本28页的图像，比较横轴的正半轴与负半轴图像之间的关系；将定义域内的点x=3与x=-3代入函数解析式中你发现了什么？），从而使学生的研究更有方向性和目的性。

3.总结：该教师的课堂提问需要改进，应做到符合学生的学情及更好的体现教师的主导性和学生的主体性，最大限度的促进学生发展。解析本题主要考查教学知识中教学过程的阐述。1.阐述获得概念的方式，论述此方式的优缺点并提出相关建议。2.从新课改理念出发评析该教师的课堂提问。17正确答案

一.“向量”在高中数学课程中的作用向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。在本模块中，学生将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题，发展运算能力和解决实际问题的能力。1.为研究函数，空间图形提供新的研究途径，充分体现其工具性(1)空间向量的坐标法解决线线角，线面角和二面角的平面角的问题；(2)向量法求解点线距，点面距和异面直线之间的距离的问题。2.为定理的证明奠定了基础(1)向量法证明正弦定理；(2)向量法证明余弦定理。3.发展运算能力和解决实际问题的能力经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，有助于学生理解数学运算的意义及价值,发展运算能力。向量的学习,有助于学生进一步体会数学运算的意义以及运算在建构数学系统中的作用,为理解函数、映射、变换运算,矩阵运算等奠定了基础。4.增进学生对数学本质的理解

向量集数形于一身,是沟通代数与几何的天然桥梁。向量的学习,有助于学生掌握处理几何问题的代数方法,体会数形结合的思想。向量的学习有助于学生认识数学概念形成过程中的多层次抽象性以及数学运算对于建构数学系统、刻画数学对象的重要性,进而理解数学的本质。二．分析教材设计思路本节课通过实际生活中的例子与物理学科内容相结合，在对概念所反映的事物的不同例子中，让学