2015年下半年教师资格证考试《高中数学》真题（解析）

2015年下半年教师资格证考试《高中数学》题（解析）1解析本题主要考查代数式的分类，即多项式的因式分解。根据选项可知则和的公因式为“”的形式，将和进行因式分解，，则和的公因式为。

故正确答案为A。2解析本题主要考查空间曲面方程，矩阵的变换。设是曲面上的任意一点，经过线性变换后的坐标为,则，得到，代入球面方程得，该方程为椭球面。故正确答案为B。

3解析本题主要考查统计的基础知识。根据统计原理，甲乙二人的统计数据相差不大，样本容量达到100后，平均数受样本容量大小影响小,但是不一定完全相同，所以两个样本均值即α和β的大小关系无法确定。故正确答案为D。4解析本题主要考查数列极限的基础知识。A项：根据收敛数据的保号性，存在任意的正整数n，有，且b<0，则a<0

，A项正确，排除。B项：举反例：若满足a<b，但不是对任意正整数n，都有，比如，

所以B项不正确。C项：根据收敛数据的保号性，若，且存在正整数，使得n>，,

则a>b

，C项正确，排除。

D项：根据收敛数据的保号性，存在任意的正整数n，有,且b>0，则a>0

，D项正确，排除。故正确答案为B。

5解析本题主要考查向量的基础知识。A项：向量数量积的运算满足分配律，A项正确，排除。B项：由向量的性质可知，，B项不正确。C项：，C项正确，排除。D项：等式左边==0；等式右边=0，所以左边等于右边，D项正确。本题为选非题，故正确答案为B。6解析本题主要考查幂级数的基础知识。考虑幂级数的收敛半径，因为则幂级数的收敛半径，又当时，级数发散，当时，级数收敛，所以收敛区间为。

故正确答案为C。

7解析本题主要考查国外数学课程改革的知识。A项：第一次数学课程改革发生在20世纪初，是由德国数学家、数学教育家克莱因，英国数学家、数学教育家贝利等人发起和领导的运动，史称“贝利-克莱因运动”。英国数学家贝利提出“数学教育应该面向大众”、“数学教育必须重视应用”的改革指导思想；德国数学家克莱因认为，数学教育的意义、内容、教材、方法等，必须紧跟时代步伐，结合近代数学和教育学的新进展，不断进行改革。本次运动对数学课程发展具有重要的意义。A项正确。

B项：大众教学即大众数学意义下的数学课程必须面向所有的学生，促进所有的学生学号数学，包括：人人学有用的数学，人人掌握数学，不同的学生学习不同的数学。B项与题干无关，不正确。C项：新数学运动是1960年代的中学数学教育的大改革，由美国率先带动。这次运动，起源于苏联在1957年将世界首枚人造卫星史普尼克1号送入太空，令美国大为震惊。美国认为苏联之所以在太空竞赛领先，是因苏联的工程师是优秀的数学家，于是美国改革教育，以加强民众的科学教育和数学能力，应对苏联的科技人才的威胁。欧美其他国家以至亚洲如日本、台湾和香港也有跟随，而改革未如美国激烈。B项与题干不符，不正确。D项：PISA(国际学生评估项目）是一项由经济合作与发展组织统筹的学生能力国际评估计划。主要对接近完成基础教育的15岁学生进行评估，测试学生们能否掌握参与社会所需要的知识与技能。D项与题干无关，不正确，排除

故正确答案为A。8解析本题主要考查高中数学课程标准的基础知识。

《普通高中数学课程标准(实验)》提出了五项基本能力，包括：运算求解、数据处理、推理论证、空间想象、抽象概括。由此，选项中A、B、D三项都是正确的。

故正确答案为C。9正确答案是：

（1）以此光线与平面的交点为原点建立空间直角坐标系，如图所示：则入射光线所在直线过原点且在坐标面上，则入射光线的直线方程为，而反射光线与入射光线关于轴对称，所以反射光线的直线方程为。（2）因为此时法线为轴，故将反射光线绕平面镜的法线旋转一周，即是绕轴旋转一周，则得出旋转曲面的方程是将反射光线的直线方程中的改成，得到圆锥面的方程为，

令，则

。

故反射光线的方程为，

所得旋转曲面的方程为()。

解析本题主要考查空间曲面与方程的基础知识。首先建立直角坐标系，写出入射光线的直线方程，根据反射光线与入射光线关于轴对称，得出反射光线的方程；然后将反射光线绕轴旋转一周，即可得出旋转曲面即圆锥面的方程。10正确答案是：证明线性方程组,有解的充分必要条件是系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等。（1）若向量线性无关时，满足线性方程组的系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等这一条件，则方程组有解。现在证明唯一性：假设方程组有两解，即两式做差，得因为向量线性无关，所以,所以方程组只有唯一解。（2）若线性方程组有唯一解,假设线性相关，所以存在不全为0的实数使得,则也是线性方程组的解，与线性方程组有唯一解矛盾。综上所述，非齐次线性方程组有唯一解当且仅当向量线性无关。解析本题主要考查向量组的线性相关性、线性方程组解的结构的基础知识，以及推理与证明的基本思想与方法。本题若想证明非齐次线性方程组有唯一解当且仅当向量线性无关，首先应明确线性方程组，有解的充分必要条件是系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等。然后从“线性方程组解的唯一性”和“向量线性无关”两个方面分别进行证明。11正确答案是：依据题意，从甲队中选出的3架飞机，有绿色烟雾的飞机可能为3、2、1、0这几种，然后从混合编队中抽一架飞机，分以下几种情况：①从甲队中选出的3架飞机，有绿色烟雾的飞机3架，则混合编队飞机为3架绿色烟雾飞机和3架红色烟雾飞机，则领飞飞机是喷绿色烟雾的概率为。②从甲队中选出的3架飞机，有\绿色烟雾的飞机2架，则混合编队飞机为2架绿色烟雾飞机和4架红色烟雾飞机，则领飞飞机是喷绿色烟雾的概率为。③从甲队中选出的3架飞机，有绿色烟雾的飞机1架，则混合编队飞机为1架绿色烟雾飞机和5架红色烟雾飞机，则领飞飞机是喷绿色烟雾的概率为。④从甲队中选出的3架飞机，有绿色烟雾的飞机0架，则混合编队飞机为0架绿色烟雾飞机和6架红色烟雾飞机，则领飞飞机是喷绿色烟雾的概率为0。

故本题领飞飞机是喷绿色烟雾的概率为。解析本题主要考查等可能事件的概率和分类讨论思想。领飞飞机的选取过程是首先从甲队选出3架飞机，有绿色烟雾的飞机可能为3、2、1、0这四种情况，与乙队混合后，最后任选一架为领飞飞机，所以领飞飞机是绿色雾的概率等于这四种情况概率的和。12正确答案是：在《普通高中数学课程标准（实验）》（2003年版）第三部分“内容标准”中指出：必修课程内容的确定遵循两个原则：一是满足未来公民的基本数学需求；二是为学生进一步的学习提供必要的数学准备。选修课程内容的确定遵循两个原则：一是满足学生的兴趣和对未来发展的需求；二是为学生进一步的学习、获得较高教学素养奠定基础。在仔细研读课程标准以及普通高中教材，数学课程内容的选择依据有：（1）数学内容的广度和深度要实现有效的平衡。由于数学知识点内容是极为庞杂的，我们应该选择数学知识点最本质的东西作为教学的重点，有助于学生认识数学的应用价值，增强应用意识，形成解决简单实际问题的能力。（2）数学内容要符合学生的年龄和心理特征。数学课程内容应为学生提供选择和发展的空间，为学生提供多层次、多种类的选择，以促进学生的个性发展和对未来人生规划的思考。（3）数学内容的选择还要兼顾社会发展的需求。数学课程对于认识数学与自然界、数学与人类社会的关系，认识数学的科学价值、文化价值，提高提出问题、分析和解决问题的能力，形成理性思维，发展智力和创新意识具有基础性的作用。（4）数学内容的选择要考虑其他学科应用的需求。数学课程是学习高中物理、化学、技术等课程和进一步学习的基础。同时，它为学生的终身发展，形成科学的世界观、价值观奠定基础，对提高全民族素质具有重要意义。解析本题主要考查对高中数学课程标准的基础内容的掌握和理解。根据《普通高中数学课程标准（实验）》（2003年版），在第三部分“内容标准”中分别对“必修课程内容”和“选修课程内容”的确定依据进行了规定。必修课程内容的确定遵循两个原则：一是满足未来公民的基本数学需求；二是为学生进一步的学习提供必要的数学准备。选修课程内容的确定遵循两个原则：一是满足学生的兴趣和对未来发展的需求；二是为学生进一步的学习、获得较高教学素养奠定基础。结合《普通高中数学课程标准（实验）》的规定以及普通高中教材，可以从“数学内容的广度与深度”、“数学内容需符合学生的特点”、“数学内容需兼顾社会发展的需求”、以及“数学内容与其他学科的需求关系”等几个方面对数学课程内容的确定依据进行阐述。13正确答案是：数学就是“算”，即运算。“运算”几何渗透到数学的每一个角落，运算是贯穿数学的基本脉络，是贯穿数学课程的主线，在高中数学课程中，发挥着不可替代的作用。向量的运算，是在数的运算、字母的运算基础上认识运算的重要飞跃。向量是可以“算”的，向量的加法、减法运算的特征是两个向量通过加法、减法运算得到第三个向量，也满足结合律，,所以向量的加法、减法运算是属于型的代数运算；向量的数乘运算的特征是一个数与一个向量同数乘运算得到一个向量，它满足一系列运算规则，例如，结合律,分配律等。所以，数与向量的数乘也是一种运算，是属于“”型的代数运算；向量的数量积的特征是两个向量通过数量及运算得到一个数，同样也满足一系列的运算规律，例如，分配律等，所以向量的数量积也是一种运算，是属于“型的代数运算。向量的运算不同于数的运算，它涵盖了三种类型的代数运算的特征以及代数运算的功能，同时，向量运算具有与代数运算不同的一些运算规律，这对于学生进一步理解其他数学运算、增强学生的运算能力具有基础作用。因此，从数的运算到向量的运算，是学生数学学习的又一次质变，学生对运算的理解也会更上一层楼。

解析本题主要考查高中数学课程内容的基础知识以及立体向量的基本性质。

运算是数学学习的一个基本内容。运算对象的不断扩展是数学法则的一条重要线索。从数的运算到字母的运算，是运算的一次跳跃。数的运算可以用来刻画具体问题中的数量关系，解决一个一个有关数量的具体问题，而字母运算则可以刻画蕴涵规律的一类问题。从数的运算，到向量的运算是认识运算的又一次跳跃。而向量运算更加清晰地展示了“”、“”、“”三种类型的代数运算的特征以及代数运算的功能，这对于学生进一步学习其他数学运算、增强学生的运算能力具有基础作用。14正确答案是：

如果函数满足:（1）在闭区间上连续；（2）在开区间内可导；那么在内至少有一点，使得。证明：引进辅助函数,验证可得：；又因为在闭区间上连续，在开区间内可导，且，根据罗尔定理，可知在内至少有一点，使得，即，由此得，即。定理证毕拉格朗日中值定理在微积分学中占有重要地位，是应用数学研究函数在区间上整体性质的有力工具。拉格朗日中值定理在中学数学中应用非常广泛，如利用导数来研究函数的某些性艇、证明不等式和方程根的存在性、描绘函数的图像、解决极值、最值等等。通过构造恰当的辅助函数能够将中学数学的许多知识联系起来，这样不仅可以使我们加深对现代数学的理解，而且能使我们更好的把握中学数学的本质和关键。

解析本题主要考查微分中值定理中十分重要的拉格朗日中值定理。证明拉格朗日微分中值定理，首先要从罗尔定理出发，罗尔定理：如果函数满足:(1)在闭区间上连续；(2)在开区间内可导；(3)在区间端点处的函数值相等，即，那么在内至少有一点，使得。

罗尔定理中这个条件是相当特殊的，它使罗尔定理的应用受到限制，如果把这个条件取消，但保留其余两个条件，并相应地改变结论，那么就得到微分学中十分重要的拉格朗日中值定理。15正确答案是：“严谨性与量力性相结合”数学教学原则的内涵。①严谨性，是数学学科的基本特点之一，即逻辑的严谨性和结论的确定性。数学概念必须严格地加以定义，即使是那些最基本、最常用而不能按逻辑方法加以定义的原始概念，除了直观地用语言描述之外，还要求用公理加以确定；它要求数学结论的叙述必须准确、精炼，数学推理、论证必须合乎逻辑地进行，即使数学计算也要求无可争辩。整个数学学科体系就是一个严谨的逻辑结构。数学教学的严谨性要求在中学数学中，教师在教学内容的安排和讲授时，学生在理解、掌握、运用这些知识时，应该根据数学学科的基本特点，教学内容的叙述必须精炼，结论的推导、论证和体系的安排要严格、周密。事实上，对于数学的严谨性，学生要有一个逐步适应的过程。它随着人们认识能力的发展而提高。②教学的量力性，就是量力而行，要求教学内容能够被学生接受。这是由青少年心理发展的阶段性所决定的。对量力性不能被动地理解，学生的可塑性是很大的，改革的潜力是有的。关键在于逐步提高要求，逐步进行训练。③严谨性与量力性相结合原则的贯彻。明确要求，谨慎处理；从开始抓起，持之以恒；要求学生周密思考、言必有据。总之，数学的严谨性与量力性要很好地结合，在教学中注意教学的“分寸”，即注意教材的深广度，从严谨着眼，从量力着手；另外，要注意阶段性，使前者为后者作准备，后者为前者的发展，前后呼应。通过对学生严谨性的培养使学生养成良好的思考习惯。（2）在证明“是无理数”的教学过程对严谨性要求，应该设法安排使学生逐步适应的过程与机会，逐步提高其严谨程度，要求做到推理有据，证明要步步有根据、处处有逻辑。在推理有据的同时并不排斥直观和猜想，强调思维的严谨性，允许猜想，辩证的处理好推理的有据和猜想的关系。由于学生对无理数不熟悉，在实际教学过程中我们采用反证法，先假设是有理数。教学中可以由教师给出证明步骤，让学生只填每一步的理由，鼓励学生发扬“跳一跳够得到”的精神，逐步过渡到学生自己给出严格证明，最后要求达到立论有据，论证简明。“是无理数”的证明：假设是有理数，必然有（p,q为互质的正整数），两边平方：,显然为偶数，设（为整数），有，显然也为偶数，与互质矛盾。所以假设不成立，是无理数。在证明的过程中就很难从正面去证明“是无理数”，因此只能从学生能接收的侧面去证明“是有理数的假设不成立”，但是从反面去证明过程的每一步也是很严谨的，所以体现了“严谨性与量力性相结合”的数学内涵。解析本题主要考查数学教学原则的基本内容，并能够根据实例进行理解和把握。首先，明确数学教学原则是依据数学教学目的和教学过程的客观规律而制定的指导数学教学工作的一般原理，它是数学教学经验的概括总结，它来自于数学教学实践，反过来又指导数学教学实践。本题作为论述题，需要分步进行解答。第一步，阐述“严谨性与量力性相结合”数学教学原则的内涵，分别简述严谨性、量力性的内涵，以及严谨性与量力性相结合原则的贯彻；第二步，结合“是无理数”的教学过程实例阐述在教学过程中如何体现“严谨性与量力性相结合”数学教学原则。16正确答案是：学生1的解题思路，从开始看是比较清晰的，先判断角的大小关系，求出具体的数值，利用两次，后又结合分类讨论利用两角差的余弦公式求出的值，但是分类讨论后忘记验证两种情况是否成立，原因是对公式认识不清，掌握不全面。应该验证得出结果为：，则，所以，与已知相矛盾，所以.因此，学生1的板演的内容会与老师期望得到的结果不同。学生2的解题思路，运用了函数的思想，先利用两角和正弦公式，后化为解一元二次方程得出两个结果，方法比较新颖，但最后也是没有验证结果的正确性，和学生1犯了同样的错误。整体来说，学生1和学生2对三角函数公式掌握的比较牢固，运用的也比较熟练，只是在熟练的基础之上还不能更好的内化数学思想，即验证结果成立与分类讨论的应用。（2）如果我是老师，在课堂上遇到这种情况，我将两位学生板演的情况变成课堂的生成性资源进行教学。首先，请全部同学以同桌二人为小组讨论板演同学的做法是否正确，若正确，请说出解题思路以及解题亮点，若不正确，请指出错误的地方并进行纠正，时间为2分钟。在学生小组讨论的过程中，教师进行巡视，对学生的疑惑点进行指导。学生讨论完毕后，教师请学生代表来谈谈小组的讨论结果，并说出正确结果。因为学生对此知识点掌握相对薄弱，我会在此处着重强调得到答案之后验证的重要性，让学生从题目中总结出所学到的方法。解析本题主要从“三角函数求值”教学片段入手，考查三角函数基础公式的运算能力、一元二次方程的基本思想、教学过程的基本要素、教学方法的选择，高中数学课程的实施建议，以及教学案例分析的基本能力等。（1）分别对学生1和学生2的解题过程进行评价，可以从解题的思路、解题的方法、解题结果正确与否，并进行纠正，做小结。注意，学生正确的地方应给予肯定和鼓励，不足之处应及时指出。（2）作为教师在课堂上遇到这种情况，教师可以直接针对学生板演的情况进行点评，完成下一步的教学任务，但这样做学生缺乏反思的过程；教师也可以将学生板演的情况转化为课堂的生成性资源，将其作为课堂讨论的问题进行教学，进一步解决“三角函数求值”这个问题，让每个学生都参与到课堂学习过程中，更好地完成该课题的教学任务。17正确答案

（1）两种方案相比较，我更加赞同第二种方案，理由是：第一，本节课的定位是“基本不等式”的起始课，它是在学生已经系统的学习了不等式关系和不等式性质，并掌握了不等式性质的基础上进行教学的。学生对于“基本不等式”还处于感知阶段，不能进一步就理解如何实现基本不等式在求解简单的最大值或最小值问题中的应用，因此，在“基本不等式”的起始课中，应先让学生结合基本不等式的背景和意义进行自主探索，了解不等式的证明过程，加深印象以及存在原因后，再学习不等式的应用会更好。第二，从新课程标准的要求出发，高中数学课程标准是指导教师进行课程安排，课程设计难易度的标尺，高考阶段的要求也是依据新课程标准来指定的。高中数学课程标准明确说明，数学必修5教材中基本不等式在开始阶段，应将探索并了解基本不等式的证明过程放在重点位置。第三，从教材的编写来看，在基本不等式的这节一开始，是以2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会的会标图案为问题的背景，提问学生“你能在这个图中找到一些相等关系或不等关系吗？”利用面积间存在数量关系，抽象出不等式，并在此基础上，从三个角度引导学生认识、证明不等式，在之后的例题应用当中，才提及“基本不等式”在解决实际问题当中是解决最大（小）