2019年下半年教师资格证考试《高中数学》真题（解析）

2019年下半年教师资格证考试《高中数学》题（解析）1解析由题意可知，在处可导，可知在处连续，根据连续的定义可知，，，所以，又在处可导，则在处左导数与右导数相等，因此，，所以。A项正确。故正确答案为A。2解析由题意可知函数的导函数为，又因为函数的一阶导函数在处连续，所以，所以，则，即。A项正确。故正确答案为A。

3解析由题意可知平面的法向量为，平面的法向量为，根据两平面间的夹角公式可得，所以两平面的夹角为。B项正确。故正确答案为B。4解析根据题意可知，所以，根据向量叉乘运算的性质可知。C项正确。故正确答案为C。

5解析根据题意

,可知方阵不是满秩，则方阵的个行向量中的最大线性无关向量组个数是个，由最大线性无关向量组可知：设有向量组，如果在中能选出个向量，满足：（1）向量组线性无关；（2）向量组中任意个向量（如果有的话）都线性相关；则称向量组是向量组的一个最大线性无关向量组。D项正确。A项：任意一个行向量可由最大线性无关向量组线性表示。与题干不符，排除。B、C两项：描述为任意r个行向量，不满足要求。与题干不符，排除。故正确答案为D。6解析由题意可知，令点关于直线的反射变换为，则相应的变换公式是，则对应的二阶矩阵为。C项正确。故正确答案为C。

7解析向量知识具有丰富的数学内涵和物理背景，由物理中力的知识引出向量，体现向量与其他学科的联系，因此选项①正确。向量可以与复数、立体几何等问题联立联系，也是描述直线、曲线、平面、曲面以及高维空间数学问题的基本工具，是进一步学习和研究其他数学领域问题的基础，在解决实际问题中发挥重要作用，是沟通几何与代数的桥梁。因此③和④正确。向量的学习包含学生理解平面向量的几何意义和代数意义，掌握平面向量的概念、运算、向量基本定理以及向量的应用，用向量语言、方法表述和解决现实生活、数学和物理中的问题，因此②正确。D项正确。故正确答案为D。8解析数学归纳法是一种证明命题的方法，因此推理方式是演绎推理。B项正确。故正确答案为B。9正确答案是：

（1）由已知条件可知，设椭圆上的点在矩阵对应的变换作用下得到，则，即，解此关于的二元一次方程组得，代入椭圆方程得：（2）在该变换条件下：不变的性质有：都是轴对称图形和中心对称图形，依旧是封闭的曲线图形。变化的性质有：图形形态发生变化，中心点发生变化，原图与坐标轴相交，变换后不相交，变换后的图形上的点距离中心点的距离都相等。10正确答案：（1）令，即，解得。。（2）要求体积即为以3为底面半径，高为的圆柱体积与由曲线，围成的图形绕轴旋转一周所构成的旋转体体积的差，即。11正确答案是：由题意可知，随机不放回的连续取球5次。设“最多取到3个白球”事件为，“取到4个白球”事件为，，“取到5个白球”事件为，。所以“最多取到3个白球”事件的概率为。12正确答案是：在数学教学中合理地渗透数学文化，对于培养学生的数学思想，养成数学思维方式，及了解历史中的数学精神具有非常重要的作用。“导数及其应用”这节课学习的过程中向学生渗透的数学思想有数学结合思想和极限思想。通过这节课的学习能够引导学生去对教材知识进行观察，对相关例子进行归纳，学生的观察能力和总结归纳能力都会得到培养，相信在处理类似的相关题目中也是可以利用这些思维方式帮助自己解决问题。另外通过告诉学生导数的由来、发展和在实际生活、工作中的作用，同学们感知古老的故事中蕴含的数学精神，会使得课堂更加生动有趣。

“勾股定理”这节课包含的数学思想有数形结合思想、转化思想和从特殊到一般的数学思想。先利用特殊的直角三角形等腰直角三角形，发现以腰为边的正方形与以斜边为边的正方形的面积之间的关系，借助数形结合的思想得出等腰直角三角形的三边之间的数量关系，续而研究普通直角三角形，通过运用赵爽弦图对勾股定理进行证明，由求边的关系转化到求面积关系渗透转化的思想方法，在用面积证明勾股定理的过程中，通过移、补、凑、合而面积不变，向学生展示割补原理并渗透数形结合思想；同时能够培养学生的民族自豪感。“勾股定理”的学习过程中教师会不断引导学生去对教材知识进行观察，对得出的结论进行归纳，学生的观察能力和总结归纳能力都会得到培养。另外通过分享学生收集的资料引出数学史中毕达哥拉斯在朋友家做客发现地板中三角形的三边关系导入，让学生感受数学文化了解勾股定理的历史。13正确答案是：数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养。数学建模过程主要包括：在实际情境中从数学的视角提出问题，建立模型，求解模型，检验结果、完善模型，最终解决实际问题。例如：建立模型：在假设的基础上，利用适当的数学工具来刻画各变量常量之间的数学关系，建立相应的数学结构（尽量用简单的数学工具）。求解模型：利用获取的数据资料，对模型的所有参数做出计算（或近似计算）。检验结果：对所要建立模型的思路进行阐述，对所得的结果进行数学上的分析。完善模型：将模型分析结果与实际情形进行比较，以此来验证模型的准确性、合理性和适用性。如果模型与实际较吻合，则要对计算结果给出其实际含义，并进行解释。如果模型与实际吻合较差，则应该修改假设，再次重复建模过程。14正确答案是：

证明利用构造法的思想，将的零点范围逐步缩小。先将二等分为，，如果，则得证。如果，则和中必然有一个与异号，记这个小区间，它满足且区间的长度。又将二等分，考虑中点的函数值，要么为零，要么不为零。如果中点的函数值为零，则得证。如果中点的函数值不为零，那么必然可以选出一个小区间，使得在这个区间的端点值异号，记这个小区间为，它满足⊃⊃，且。采用这样的方法一直进行下去，或者到有限步时，某个区间的中点的函数值为零，这样结论成立。或者所有区间的中点的函数值不为零，那么我们就会得到一个无穷的区间序列{}它满足：①⊃⊃…；②；③。由此得到了满足区间套引理的条件：，且，于是可得，由于，由连续函数的局部保方性：，所以，又由于为连续函数且，若（反之同理），于是所以，结论得证。15正确答案是：数学思维指学生在对数学产生感性认识的基础上，能够科学运用分析、比较等方法深刻掌握相关数学知识的一种认知能力。它的内容比较丰富，一般包括熟练运用数学方法的能力、科学运用逻辑规则的能力、有效运用数学思维模式的能力。数学思维能力的培养对于高中数学教学的实效性具有非常重要的意义。所以在实际教学过程中，数学教师应积极准备条件，为学生的数学思维能力的培养创造良好的环境。因此，在教学过程中，需要注意培养学生的数学思维，可以从以下几方面着手：（1）培养学生学习兴趣。教师要精心设计，使每节课形象、生动，并有意创造动人情境，设置诱人悬念，激发学生思维的火花和求知的欲望，还要经常指导学生运用已学的数学知识和方法解释自己所熟悉的实际问题。（2）教学过程中进行变式教学。比如在概念教学中，使学生用等值语言叙述概念；数学公式教学中，要求学生掌握公式的各种变形等，都有利于培养思维的灵活性。数学教学中，一方面要使学生掌握数学概念、原理的本质，另一方面也要提高学生的运算速度。因此，教学中，应增强数学教学的变化性，为学生提供思维的广泛联想空间，使学生在面临问题时能够从多种角度进行考虑，并迅速地建立起自己的思路，真正做到“举一反三”。（3）培养创造性思维品质。首先应当使学生融会贯通地学习知识，养成独立思考的习惯。在独立思考的基础上，还要启发学生积极思考，引导学生积极思考和自我鉴别，使学生多思善问。（4）教会学生思维的方法。在教学过程中要提高学生观察分析、由表及里、由此及彼的认识能力。数学概念、定理是推理论证和运算的基础。在例题课中要把解题思路的发现过程作为重要的教学环节；在数学练习中，要认真审题，细致观察，对解题起关键作用的隐含条件要有挖掘的能力，并在解题过程中尽量要学会用数学语言、数学符号进行表达。此外，逆向应用公式和逆向思考的训练，提高逆向思维能力；通过解题错、漏的剖析，提高辨识思维能力；通过一题多解的训练，提高发散思维能力等。16正确答案是：（1）出现如下的错误：学生在判断直线与圆位置关系的问题中，对直线斜率问题考察不周详，解题过程中没有考虑直线斜率不存在的情况。学生在解题的过程中出现以上错误的，有以下几个原因：学生直接设出未知直线的斜率，是对斜率概念不清，没有分类讨论，当然也有可能是由于粗心造成。正确解法：方法一：利用分类讨论的思想和圆心到直线的距离等于半径进行求解，①设所求直线斜率不存在，又因为该直线过点，则该直线方程为：；②当直线斜率存在时，设直线的斜率为，则其方程为，即，因为直线与圆：相切，所以圆心到直线的距离为，解得，所以，所求直线的方程为。方法二：利用分类讨论的思想和求解，①设所求直线斜率不存在，又该直线过点，则该直线方程为：；故设切点坐标为，所以，解得，故M坐标为，代入圆的方程成立，故直线方程为②设直线与圆的切点是点，坐标为，则、、三点构成一个以为直角的直角三角形。其中，斜边的长度为，由勾股定理得，即①；又因为点M在圆上，有②，①②联立，得出。（2）由于学生是对利用斜率求直线方程问题考虑不周全产生错误，针对该题，我会向学生提出：这位同学做的对吗？利用斜率求直线方程首先应该怎么思考？所有直线都有斜率吗？等引导性问题启发学生思考，当题目得以解决之后继续提出以后遇到利用斜率求直线方程问题首先应该考虑什么，强调分类讨论的重要性，通过这样的问题帮助学生避免出现上述错误。作图辅导解题，这样就不会遗漏情况。17正确答案

（1）教学重点：知道导数的概念及其数学表达形式，理解导数的几何意义（2）教学过程及设计意图（一）问题导入教师活动：教师利用大屏幕展示课本中相关问题，例如奥运会上百米赛跑运动员跑步速度问题、高台跳水运动员速度问题，运动员相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系等。引导学生认真观察，提出如下问题：通过给出的信息你能求出百米赛跑运动员的平均速度吗？你能列式表示高台跳水运动员某段时间的平均速度吗？

学生活动：就教师的提问展开独立思考或讨论引出课题《导数的概念及其意义》。设计意图：这样的过程可以利用实际生活中的情境激发学生兴趣，启发思考。（二）讲授新授环节一：初步感知，以旧引新。教师活动：在学生表示出某段时间的平均速度后，教师继续向学生提出某段时间的平均速度和某时间点的速度有什么联系？在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系，t=2时的瞬时速度为多少？利用平均速度的表达式你能得出瞬时速度的表达式吗？当趋于0时，怎么表示？教师组织学生根据目标问题四人一组进行讨论，教师进行巡视指导，交流讨论结束后，找学生代表回答讨论结果，教师评价。学生活动：根据问题探究认识到：当时间间隔非常小时，平均速度与瞬时速度极为接近，若表示极小的时间间隔，则，并取值利用计算器运算感受数值的变化，体会当∆t趋近于0时，平均速度趋于一个确定的数值，师生共同总结结论：可以利用极限的思想来表示出瞬时速度：。环节二：自主探究，得出结论。教师活动：在学生理解了瞬时速度的表达形式后，教师再次抛出问题：函数也满足y随着x的变化而变化，若已知函数，你能表示出x=x0处的瞬时变化率吗？给予一定的时间，组织学生思考并自主阅读课本相关内容再回答，教师针对学生的回答结果作相应评价或让学生自评或互评。学生活动：通过自主探究，学生得出：，教师呈现导数的概念及表示形式。环节三：总结归纳，体会导数几何意义。教师活动：在学生对导数的概念了解的基础上，利用大屏幕向学生展示一个函数的图象，并向学生提出，导数表示的是函数在某点处的瞬时变化率，如果已知函数的图象如图所示，当N点沿着曲线趋近于点时割线MN的变化趋势是什么？你能得到什么结论?学生活动：通过图象的观察可以发现割线MN的斜率为，当N无限的趋近于M时，k无限的接近于过点M切线的斜率，因此函数在处的导数就是该点处切线的斜率。【设计意图】：通过设置问题，层层提问，利用学生熟悉的体育话题引出平均速度和瞬时速度进而得出平均变化率和瞬时变化率的概念