线性代数1课件

线性代数参考书目1南理工数学系,线性代数(二版)，高等教育出版社，2010.2顾敦和、张弦和郁易生，线性代数，高等教育出版社，2001.3S.J.Leon,LinearAlgebrawithApplication,MacmillanPubl.Com.,Leodon,1980.4P.R.Halmos,FiniteDimensionalVectorSpaces,SpringerVerlag,1958,1974,1985.5谢国瑞,线性代数(二版),华东理工大学出版社,1996.6叶明训等,线性空间引论,武汉大学出版社,2000.7.陈祖明,矩阵论引论,北京航空航天大学出版社,1998.8刘长安,线性代数,科学出版社,1992.

线性代数是我校工科各专业必修的重要基础理论课，是工科数学教学三门主要课程之一，在一般工科专业的教学中占有极重要的地位，在工程技术、科学研究和各行各业中有广泛的应用.简介

线性代数的内容包括：行列式、矩阵、向量代数、线性方程组、矩阵的特征值与对角化、实二次型、线性空间与线性变换

第一章行列式在工程技术和科学研究中，有很多问题需要用到“行列式”这个数学工具。本章主要讨论如下几个问题：1、行列式的定义；2、行列式的性质；3、行列式的计算；4、Cramer法则．1.1 n阶行列式

1.1.1二阶、三阶行列式

n阶行列式的概念来源于对线性方程组的研究：设二元线性方程组

（1）其中现在讨论线性方程组（1）的求解公式，对（1）作加减消元得:（2）式（2）就是式（1）的解，但（2）不易记忆，因此有必要引进新的符号--“行列式”来表示（2）式．定义:设

是四个数，称代数和为二阶行列式，记作

称为这个二阶行列式的元素，的两个下角标分别表示所在的行和列的序号，常称是行列式的（）元素．对线性方程组（1），记(1)的解（2）可写成由于对线性方程组

为了得出关于三元线性方程组

则方程组的解可以写成的类似解法，我们引入三阶行列式．定义:称为三阶行列式．例如为了研究n元线性方程组我们把二阶和三阶行列式加以推广，引入n阶行列式．

1.1.2全排列的逆序数、对换 为了给出n阶行列式的定义，首先介绍全排列的“逆序数”与全排列的“对换”． 定义:把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列，或n阶排列（简称排列）．n个不同元素的排列共有种

例如:自然数1，2，3的排列共有六种：

123，132，213，231，312，321．为了方便起见，今后把自然数视为n个不同的元素的代表。用表示这n个不同的元素中的一个，且时于是便是的一个排列．对于排列，称排在前且比大的数的个数为的逆序数，把这个排列中各数的逆序数之和称为这个排列的逆序数，

逆序数为奇数的排列称为奇排列;逆序数为偶数的排列称为偶排列；

记作：

例3

例1自然排列例２排列的逆序数为求排列的逆序数例４逆序数为

定义:在一个排列中，将某两个数的位置对调（其他数不动）的变动叫做一个对换．

定理1.1一个排列中的任意两个数对换后，排列改变奇偶性．

定理1.2在全部n阶排列中，奇偶排列各占一半．为n阶行列式，其中是对所有n阶排列取和．此行列式可简记或．记一阶行列式；1.1.3n阶行列式的定义定义n2个元素排成n行n列，称例5三角形行列式（或对角形行列式）等于主对角线上n个元素的乘积．例6负三角形行列式n阶行列式的等价定义：1.2n阶行列式的性质定义:设，称为D的转置行列式．性质1行列式与转置行列式相等，即

性质2互换行列式的两行（列），行列式变号，即推论如果行列式有两行（列）完全相同，则该行列式为零，即性质3把行列式的某一行（列）的所有元素同乘以数c，等于用数c乘以这个行列式，即推论1如果行列式某一行（列）有公因子k时，则该公因子k可以提到行列式的符号外面．性质4如果行列式某行（列）的所有元素都是两数之和，则该行列式为两行列式之和，即推论2如果行列式有两行（列）成比例，则该行列式为零．

利用这些性质可以化简行列式的计算，得行列式计算的三角形法：即化行列式为三角形行列式

性质5把行列式的某一行（列）的各元素同乘以数c加到另一行（列）的对应元素上去，则行列式的值不变，即例７计算行列式解例８已知计算解由性质4=（推论2）=（性质4）=（性质1及推论1）

下面讨论将n阶行列式转化为n-1阶行列式计算的问题，即：1.3行列式展开定理．

定义：在给定的n阶行列式中，把元素所在的i行和j列的元素划去,剩余元素构成的n-1阶行列式称为元素的余子式，记作;

而元素的代数余子式记作，定义

例９在行列式中定理1.3n阶行列式等于它的任意一行（列）的所有元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即定理1.4n阶行列式

，则利用符号函数证明：由及性质6将G按j行展开有例1０

例11计算行列式

解将各列都加到第一列后再提出公因子得例1２已知计算（1）（2）解=–3=–25例13已知计算解例14不计算行列式值，利用性质证明证令由于是的三次多项式，且因此有例15求方程的根.解所求根为x

=2和x=-4.例16计算行列式的值解

总结n阶行列式的计算

n阶行列式的计算主要有如下几种方法：

1定义法—

利用n阶行列式的定义计算;2三角形法—利用性质1—性质5化为三角形行列式来计算；

3展开法—利用行列式的按行（列）展开性质6对行列式进行降阶计算；

4综合法—利用性质1—性质5先使D的某行（列）有尽可能多的零，再用性质6对行列式进行降阶计算;5加边法;6递推公式法；

7归纳法。例17求方程的根。解所求根为x=2和x=-4。例18计算n阶行列式

例20计算n+1阶行列式解

例21设n阶三对角行列式证明:递推关系式

证明对第n列用性质6展开，得例22计算n阶行列式解由上例有因而有例23证明n阶行列式证明对行列式阶数n用数学归纳法证明n=2时，结论成立。假设结论对n-1阶行列式成立，即则对于n阶行列式按一列展开有例24证明n阶范德蒙德（Vandermonder）行列式证明对行列式阶数n用数学归纳法，n=2时，结论成立。假设结论对n-1阶行列式成立，即则对于n阶行列式有

.由数学归纳法，结论对任意自然数n都成立.1．4拉普拉斯（Laplace）展开定理

定义1.7在n阶行列式D中,任取k行k列,位于这k行k列交叉位置的元素按原行列式D中的相对位置排成的k阶行列式N称为行列式D的一个k阶子式.

定义：在D中,划去k阶子式N所在的k行k列,剩余元素按原行列式D中的相对位置排成的n-k阶行列式M称为k阶子式N的余子式.如果子式N的k行k列在D中的行标与列标分别为

则称为N的代数余子式.例如,在5阶行列式中,取第2,4行和第1,4列,是D的一个二阶子式,是N的余子式;

为N的代数余子式.定理1.3(Laplace定理)设在n阶行列式D中,取某k行,则位于这k行的所有k阶子式与它们各自对应的代数余子式的乘积之和等于行列式D,即解对D的第1,3行用Laplace定理,在第1,3行中不为零的二阶子式分别是

它们各自对应的代数余子式是

所以D=12-6=6例26计算2n阶行列式解对的第n,n+1行应用Laplace定理（按第n,n+1行展开）得利用这个递推关系式有例27计算行列式解例28计算行列式其中分别为阶解对D的前m行应用Laplace定理（按第1,2,…m行展开）得$number{01}《线性代数第1讲》ppt课件目录线性代数的定义与性质矩阵的基本概念向量与向量空间线性方程组与矩阵的秩特征值与特征向量01线性代数的定义与性质0302线性代数是研究线性方程组、向量空间、矩阵等数学对象的学科。01线性代数的定义线性代数是数学的一个重要分支，广泛应用于科学、工程和经济学等领域。它主要关注线性关系和线性变换，通过这些概念来描述和解决实际问题。线性代数的基本性质线性代数是解决实际问题的有力工具，如线性方程组的求解、最小二乘法、主成分分析等。线性代数是学习其他数学分支的基础，如微积分、概率论、复变函数等都需要用到线性代数的知识。线性代数在计算机科学和工程领域也有广泛应用，如计算机图形学、机器学习、信号处理等都涉及到线性代数的概念和方法。线性代数的重要性02矩阵的基本概念矩阵是线性代数中的基本概念，由mxn个数按m行n列排列而成。矩阵是一个由数字组成的矩形阵列，通常表示为二维数组。矩阵的行数和列数分别用m和n表示，矩阵中的每个元素都有一个行标和一个列标。矩阵的定义详细描述总结词总结词矩阵的运算包括加法、减法、数乘、乘法等，每种运算都有其特定的规则。详细描述矩阵的加法是将两个矩阵的对应元素相加，减法、数乘和乘法也有相应的规则。在进行矩阵运算时，必须确保参与运算的矩阵具有相同的维度或满足特定的运算规则。矩阵的运算总结词特殊类型的矩阵包括零矩阵、单位矩阵、对称矩阵、反对称矩阵等，每种矩阵都有其独特的性质和用途。详细描述零矩阵是所有元素都为零的矩阵；单位矩阵是主对角线上的元素都为1，其他元素都为零的方阵；对称矩阵是满足AT=A的矩阵；反对称矩阵是满足AT=-A的矩阵。这些特殊类型的矩阵在解决实际问题中有着广泛的应用。特殊类型的矩阵03向量与向量空间基础定义向量是有大小和方向的量，通常用实数和字母表示。向量具有加法、数乘和向量的模等基本性质。向量的模是衡量其大小的标准，计算公式为$sqrt{a^2+b^2}$。01020304向量的定义与性质03向量空间是线性代数研究的基本对象，是解决实际问题的重要工具。01抽象空间02向量空间是一个由向量构成的集合，满足加法和数乘封闭性、加法和数乘的结合律、加法和数乘的分配律等基本性质。向量空间的概念向量的线性组合与线性变换01变换与组合02向量的线性组合是向量加法和数乘的推广，通过线性组合可以得到向量空间中的任意向量。03线性变换是向量空间中一种特殊的映射，它将一个向量映射到另一个向量，保持向量的线性性质不变。04线性变换在几何、物理和工程等领域有广泛应用，如平移、旋转、伸缩等。04线性方程组与矩阵的秩123线性方程组的解法矩阵分解法将系数矩阵分解为几个简