2026年高中数学函数性质与图像专项训练

2026年高中数学函数性质与图像专项训练一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=ax^3+bx^2+cx+d的图像经过点(1,2)，且其导数f'(x)在x=0处的值为3，则下列关于函数性质的说法中，正确的是（）A.函数在x=1处取得极值B.函数的图像必有一条对称轴C.函数在x=-1处必为增函数D.函数的图像必过原点解析：由f(1)=2可得a+b+c+d=2，f'(x)=3ax^2+2bx+c，f'(0)=c=3。考虑选项A，若x=1处取得极值，则f'(1)=0，即3a+2b+3=0，但此时a、b关系不确定，无法保证极值存在，故A错误；选项B，若函数为奇函数，则图像关于原点对称，但题目未给出奇偶性条件，故B错误；选项C，f'(-1)=3a-2b+3，若a≥0且b≤0，则f'(-1)≥3，函数在x=-1处增，但非必然成立，故C错误；选项D，若d=0，则f(0)=d=0，图像过原点，题目未排除此情况，但结合其他选项可判断D为最优解。正确答案为D。2.已知函数f(x)=|x-1|+|x+2|，则下列关于函数图像的说法中，正确的是（）A.函数图像与y轴相交于点(0,3)B.函数图像关于x=-1.5对称C.函数在区间[-2,1]上单调递减D.函数的最小值为3解析：f(x)分段为：x<-2时f(x)=-2x-1；-2≤x≤1时f(x)=3；x>1时f(x)=2x+1。图像在x=-2处折点，x=1处折点。选项A，f(0)=|0-1|+|0+2|=3，正确；选项B，图像折点对称轴为x=-0.5，错误；选项C，区间[-2,1]上f(x)=3为常数函数，错误；选项D，最小值在x=1处取得为3，正确。由于A、D均正确，需重新审题，发现题目要求唯一正确选项，故选项B为唯一错误选项，正确答案为B。3.函数f(x)=sin(x+π/4)+cos(x-π/4)的图像，下列说法中正确的是（）A.周期为πB.图像关于x=π/4对称C.函数在区间[0,π/2]上单调递减D.函数的振幅为√2解析：f(x)=sin(x+π/4)+cos(x-π/4)=√2sin(x+π/4+π/4)=√2sin(x+π/2)=√2cosx。周期为2π，选项A错误；图像关于x=π/2对称，选项B错误；在[0,π/2]上f(x)=√2cosx单调递减，选项C正确；振幅为√2，选项D正确。由于C、D均正确，需重新审题，发现题目要求唯一正确选项，故选项B为唯一错误选项，正确答案为B。4.函数f(x)=e^x-1与g(x)=ln(x+1)的图像，下列说法中正确的是（）A.两个函数的图像关于原点对称B.两个函数的图像关于y=x对称C.两个函数的图像在(0,1)上相交D.两个函数的图像在(-1,0)上不相交解析：f(x)与g(x)互为反函数，图像关于y=x对称，选项B正确；f(0)=0=g(0)，g(1)=ln2≠e^0-1，故在(0,1)上不相交，选项C错误；f(-1)=e^-1-1≈-0.63≠ln0，g(-1)不存在，故在(-1,0)上相交，选项D错误。正确答案为B。5.函数f(x)=x^3-3x^2+2x的图像，下列说法中正确的是（）A.函数在x=1处取得极大值B.函数的图像必过点(0,0)C.函数在区间(-∞,0)上单调递增D.函数的图像必有一条渐近线解析：f'(x)=3x^2-6x+2=3(x-1)^2-3，f'(1)=0，f''(1)=-6<0，故x=1处为极大值点，选项A正确；f(0)=0，图像过原点，选项B正确；f'(x)>0的区间为(-∞,1-√3)和(1+√3,+∞)，故在(-∞,0)上单调递增，选项C正确；函数为三次函数，无渐近线，选项D错误。由于A、B、C均正确，需重新审题，发现题目要求唯一正确选项，故选项D为唯一错误选项，正确答案为D。6.函数f(x)=2cos^2x-3sinx+1的图像，下列说法中正确的是（）A.函数的最小正周期为πB.函数的图像关于x=π/2对称C.函数在区间[0,π]上单调递减D.函数的振幅为3解析：f(x)=2(1-sin^2x)-3sinx+1=-2sin^2x-3sinx+3=-2(sinx+3/4)^2+21/8。周期为2π，选项A错误；图像对称轴为x=π/2，选项B正确；在[0,π]上sinx从0增到1再减到0，f(x)先减后增，非单调，选项C错误；振幅为√21/4，选项D错误。正确答案为B。7.函数f(x)=|x^3-2x|的图像，下列说法中正确的是（）A.函数的图像必过点(0,0)B.函数的图像必有一条对称轴C.函数在区间(-1,1)上单调递减D.函数的图像必有一条渐近线解析：f(x)分段为：x<-√2时f(x)=-x^3+2x；-√2≤x≤0时f(x)=x^3-2x；0<x≤√2时f(x)=x^3-2x；x>√2时f(x)=x^3-2x。f(0)=0，图像过原点，选项A正确；f(x)非奇非偶，无对称轴，选项B错误；在(-1,1)上f(x)=-x^3+2x单调递减，选项C正确；函数无渐近线，选项D错误。由于A、C均正确，需重新审题，发现题目要求唯一正确选项，故选项D为唯一错误选项，正确答案为D。8.函数f(x)=tan(x-π/4)的图像，下列说法中正确的是（）A.函数的图像必过点(π/4,1)B.函数的图像必有一条渐近线C.函数在区间(π/4,π/2)上单调递增D.函数的图像关于x=π/4对称解析：f(π/4)=tan0=0≠1，选项A错误；函数渐近线为x=π/4+kπ，k∈Z，选项B正确；在(π/4,π/2)上x-π/4∈(0,π/4)，tan(x-π/4)单调递增，选项C正确；图像关于x=π/4+kπ/2对称，选项D错误。由于B、C均正确，需重新审题，发现题目要求唯一正确选项，故选项D为唯一错误选项，正确答案为D。9.函数f(x)=xlnx的图像，下列说法中正确的是（）A.函数的图像必过点(1,0)B.函数的图像必有一条水平渐近线C.函数在区间(1,+∞)上单调递增D.函数的图像必有一条垂直渐近线解析：f(1)=1ln1=0，图像过原点，选项A错误；f(x)在x→+∞时lnx→+∞，无水平渐近线；在x→0+时lnx→-∞，f(x)→0，无垂直渐近线；f'(x)=lnx+1，lnx+1>0的区间为x>e^-1，故在(1,+∞)上单调递增，选项C正确。正确答案为C。10.函数f(x)=sin^2x+cos^2x的图像，下列说法中正确的是（）A.函数的图像必过点(π/4,1)B.函数的图像必有一条对称轴C.函数在区间(0,π/2)上单调递减D.函数的图像必有一条渐近线解析：f(x)=sin^2x+cos^2x=1为常数函数，图像为水平线y=1，选项A错误；图像关于任意x轴对称，选项B错误；常数函数无单调性，选项C错误；无渐近线，选项D错误。正确答案为D。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=x^3-3x^2+2x的图像，其对称中心为__________。参考答案：(1,0)解析：f(x)为三次函数，对称中心为极值点，f'(x)=3x^2-6x+2=0，x=1，f(1)=0，对称中心为(1,0)。2.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值为__________。参考答案：3解析：f(x)分段为：x<-2时f(x)=-2x-1；-2≤x≤1时f(x)=3；x>1时f(x)=2x+1，最小值在x=1处取得为3。3.函数f(x)=sin(x+π/4)+cos(x-π/4)的振幅为__________。参考答案：√2解析：f(x)=√2sin(x+π/2)=√2cosx，振幅为√2。4.函数f(x)=e^x-1与g(x)=ln(x+1)的图像交点个数为__________。参考答案：1解析：f(x)=g(x)⇒e^x-1=ln(x+1)，令h(x)=e^x-1-ln(x+1)，h(0)=0，h'(x)=e^x-1/(x+1)>0，函数单调递增，故交点唯一。5.函数f(x)=x^3-3x^2+2x的图像，其极大值为__________。参考答案：0解析：f'(x)=3x^2-6x+2=0，x=1，f''(1)=-6<0，极大值f(1)=0。6.函数f(x)=2cos^2x-3sinx+1的图像，其对称轴方程为__________。参考答案：x=π/2+kπ，k∈Z解析：f(x)=-2sin^2x-3sinx+3=-2(sin(x+3/4)^2)+21/8，对称轴为x+3/4=kπ/2，x=π/4+kπ/2，即x=π/2+kπ。7.函数f(x)=|x^3-2x|的图像，其过原点__________（填“是”或“否”）。参考答案：是解析：f(0)=|0^3-2×0|=0，图像过原点。8.函数f(x)=tan(x-π/4)的图像，其渐近线方程为__________。参考答案：x=π/4+kπ，k∈Z解析：f(x)=tan(x-π/4)，渐近线为x-π/4=kπ+π/2，x=π/4+kπ。9.函数f(x)=xlnx的图像，其过原点__________（填“是”或“否”）。参考答案：是解析：f(0)=0ln0=0，图像过原点。10.函数f(x)=sin^2x+cos^2x的图像，其渐近线方程为__________。参考答案：无解析：f(x)=sin^2x+cos^2x=1为常数函数，无渐近线。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=x^3-3x^2+2x的图像，其过原点。参考答案：正确解析：f(0)=0，图像过原点。2.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的图像，其对称轴为x=-1/2。参考答案：错误解析：f(x)分段为：x<-2时f(x)=-2x-1；-2≤x≤1时f(x)=3；x>1时f(x)=2x+1，对称轴为x=-1/2。3.函数f(x)=sin(x+π/4)+cos(x-π/4)的图像，其关于y轴对称。参考答案：错误解析：f(x)=√2cosx，图像关于y轴对称。4.函数f(x)=e^x-1与g(x)=ln(x+1)的图像，其关于原点对称。参考答案：错误解析：f(x)与g(x)互为反函数，图像关于y=x对称。5.函数f(x)=x^3-3x^2+2x的图像，其过点(1,0)。参考答案：错误解析：f(1)=0-3+2=-1≠0，图像不过点(1,0)。6.函数f(x)=2cos^2x-3sinx+1的图像，其关于x=π/4对称。参考答案：正确解析：f(x)=-2sin^2x-3sinx+3，对称轴为x=π/4+kπ/2。7.函数f(x)=|x^3-2x|的图像，其必有一条水平渐近线。参考答案：错误解析：f(x)在x→+∞时无水平渐近线。8.函数f(x)=tan(x-π/4)的图像，其过点(π/4,1)。参考答案：错误解析：f(π/4)=tan0=0≠1，图像不过点(π/4,1)。9.函数f(x)=xlnx的图像，其关于原点对称。参考答案：正确解析：f(x)为奇函数，图像关于原点对称。10.函数f(x)=sin^2x+cos^2x的图像，其必有一条垂直渐近线。参考答案：错误解析：f(x)=1为常数函数，无垂直渐近线。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.函数f(x)=x^3-3x^2+2x的图像，其极值点有哪些？参考答案：x=1为极大值点，无极小值点。解析：f'(x)=3x^2-6x+2=0，x=1，f''(1)=-6<0，极大值点为x=1。2.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的图像，其单调递增区间有哪些？参考答案：(-∞,-2)和(1,+∞)。解析：f(x)分段为：x<-2时f(x)=-2x-1，单调递增；-2≤x≤1时f(x)=3，单调不变；x>1时f(x)=2x+1，单调递增。3.函数f(x)=sin(x+π/4)+cos(x-π/4)的图像，其对称轴方程有哪些？参考答案：x=π/4+kπ/2，k∈Z。解析：f(x)=√2cosx，对称轴为x=kπ/2。4.函数f(x)=e^x-1与g(x)=ln(x+1)的图像，其交点坐标是什么？参考答案：(0,0)。解析：f(x)=g(x)⇒e^x-1=ln(x+1)，令h(x)=e^x-1-ln(x+1)，h(0)=0，h'(x)>0，函数单调递增，故交点唯一为(0,0)。5.函数f(x)=x^3-3x^2+2x的图像，其对称中心是什么？参考答案：(1,0)。解析：f(x)为三次函数，对称中心为极值点，f'(x)=0，x=1，f(1)=0，对称中心为(1,0)。6.函数f(x)=2cos^2x-3sinx+1的图像，其周期是多少？参考答案：2π。解析：f(x)=-2sin^2x-3sinx+3，周期为2π。7.函数f(x)=|x^3-2x|的图像，其过原点吗？参考答案：是。解析：f(0)=|0^3-2×0|=0，图像过原点。8.函数f(x)=tan(x-π/4)的图像，其渐近线方程是什么？参考答案：x=π/4+kπ，k∈Z。解析：f(x)=tan(x-π/4)，渐近线为x-π/4=kπ+π/2，x=π/4+kπ。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.函数f(x)=x^3-3x^2+2x的图像，其过点(2,0)吗？参考答案：不过。解析：f(2)=8-12+4=0，图像过点(2,0)。2.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的图像，其对称轴方程是什么？参考答案：x=-1/2。解析：f(x)分段为：x<-2时f(x)=-2x-1；-2≤x≤1时f(x)=3；x>1时f(x)=2x+1，对称轴为x=-1/2。3.函数f(x)=sin(x+π/4)+cos(x-π/4)的图像，其过点(π/2,√2)吗？参考答案：不过。解析：f(π/2)=sin(π/2+π/4)+cos(π/2-π/4)=√2/2+√2/2=√2≠√2，图像不过点(π/2,√2)。4.函数f(x)=e^x-1与g(x)=ln(x+1)的图像，其交点是否唯一？参考答案：唯一。解析：f(x)=g(x)⇒e^x-1=ln(x+1)，令h(x)=e^x-1-ln(x+1)，h(0)=0，h'(x)>0，函数单调递增，故交点唯一。5.函数f(x)=x^3-3x^2+2x的图像，其极大值是否大于极小值？参考答案：否。解析：极大值f(1)=0，极小值不存在，故无法比较。6.函数f(x)=2cos^2x-3sinx+1的图像，其过点(π/4,1)吗？参考答案：不过。解析：f(π/4)=-2sin^2(π/4)-3sin(π/4)+3=-2(√2/2)^2-3(√2/2)+3=-√2/2≠1，图像不过点(π/4,1)。7.函数f(x)=|x^3-2x|的图像，其对称轴是否为x=0？参考答案：否。解析：f(x)分段为：x<-√2时f(x)=-x^3+2x；-√2≤x≤0时f(x)=x^3-2x；0<x≤√2时f(x)=x^3-2x；x>√2时f(x)=x^3-2x，对称轴为x=√2/2。8.函数f(x)=tan(x-π/4)的图像，其过点(π/4,0)吗？参考答案：不过。解析：f(π/4)=tan0=0≠1，图像不过点(π/4,0)。【标准答案及解析】一、单项选择题1.D2.B3.B4.B5.D6.B7.D8.B9.C10.D解析：2.由f(1)=2可得a+b+c+d=2，f'(x)=3ax^2+2bx+c，f'(0)=c=3。考虑选项A，若x=1处取得极值，则f'(1)=0，即3a+2b+3=0，但此时a、b关系不确定，无法保证极值存在，故A错误；选项B，若函数为奇函数，则图像关于原点对称，但题目未给出奇偶性条件，故B错误；选项C，f'(-1)=3a-2b+3，若a≥0且b≤0，则f'(-1)≥3，函数在x=-1处增，但非必然成立，故C错误；选项D，若d=0，则f(0)=d=0，图像过原点，题目未排除此情况，但结合其他选项可判断D为最优解。正确答案为D。3.由f(0)=|0-1|+|0+2|=3，图像过点(0,3)，选项A正确；f(x)分段为：x<-2时f(x)=-2x-1；-2≤x≤1时f(x)=3；x>1时f(x)=2x+1。图像在x=-2处折点，x=1处折点。选项B，图像折点对称轴为x=-0.5，错误；选项C，区间[-2,1]上f(x)=3为常数函数，错误；选项D，最小值在x=1处取得为3，正确。由于A、D均正确，需重新审题，发现题目要求唯一正确选项，故选项B为唯一错误选项，正确答案为B。4.f(x)=sin(x+π/4)+cos(x-π/4)=√2sin(x+π/2)=√2cosx。周期为2π，选项A错误；图像关于x=π/2对称，选项B错误；在[0,π/2]上f(x)=√2cosx单调递减，选项C正确；振幅为√2，选项D正确。由于C、D均正确，需重新审题，发现题目要求唯一正确选项，故选项B为唯一错误选项，正确答案为B。5.f(x)与g(x)互为反函数，图像关于y=x对称，选项B正确；f(0)=0=g(0)，g(1)=ln2≠e^0-1，故在(0,1)上不相交，选项C错误；f(-1)=e^-1-1≈-0.63≠ln0，g(-1)不存在，故在(-1,0)上相交，选项D错误。正确答案为B。6.f'(x)=3x^2-6x+2=3(x-1)^2-3，f'(1)=0，f''(1)=-6<0，故x=1处为极大值点，f(1)=0，极大值为0。选项A正确；f(0)=0，图像过原点，选项B正确；f'(x)>0的区间为(-∞,1-√3)和(1+√3,+∞)，故在(-∞,0)上单调递增，选项C正确；函数为三次函数，无渐近线，选项D错误。由于A、B、C均正确，需重新审题，发现题目要求唯一正确选项，故选项D为唯一错误选项，正确答案为D。7.f(x)=2(1-sin^2x)-3sinx+1=-2sin^2x-3sinx+3=-2(sin(x+3/4)^2)+21/8。周期为2π，选项A错误；图像对称轴为x=π/2，选项B正确；在[0,π]上sinx从0增到1再减到0，f(x)先减后增，非单调，选项C错误；振幅为√21/4，选项D错误。正确答案为B。8.f(x)分段为：x<-√2时f(x)=-x^3+2x；-√2≤x≤0时f(x)=x^3-2x；0<x≤√2时f(x)=x^3-2x；x>√2时f(x)=x^3-2x。f(0)=0，图像过原点，选项A正确；f(x)非奇非偶，无对称轴，选项B错误；在(-1,1)上f(x)=-x^3+2x单调递减，选项C正确；函数无渐近线，选项D错误。由于A、C均正确，需重新审题，发现题目要求唯一正确选项，故选项D为唯一错误选项，正确答案为D。9.f(x)=tan(x-π/4)，渐近线为x-π/4=kπ+π/2，x=π/4+kπ。选项B正确；图像关于x=π/2+kπ/2对称，选项D错误。正确答案为B。10.f(x)=xlnx，f(1)=1ln1=0，图像过原点，选项A错误；f(x)在x→+∞时lnx→+∞，无水平渐近线；在x→0+时lnx→-∞，f(x)→0，无垂直渐近线；f'(x)=lnx+1，lnx+1>0的区间为x>e^-1，故在(1,+∞)上单调递增，选项C正确。正确答案为C。11.f(x)=sin^2x+cos^2x=1为常数函数，图像为水平线y=1，选项A错误；图像关于任意x轴对称，选项B错误；常数函数无单调性，选项C错误；无渐近线，选项D错误。正确答案为D。二、填空题1.对称中心为极值点，f'(x)=3x^2-6x+2=0，x=1，f(1)=0，对称中心为(1,0)。2.f(x)分段为：x<-2时f(x)=-2x-1；-2≤x≤1时f(x)=3；x>1时f(x)=2x+1，最小值在x=1处取得为3。3.f(x)=√2cosx，振幅为√2。4.f(x)=e^x-1与g(x)=ln(x+1)的图像交点个数为1。5.f'(x)=3x^2-6x+2=0，x=1，f''(1)=-6<0，极大值f(1)=0。6.f(x)=-2sin^2x-3sinx+3=-2(sin(x+3/4)^2)+21/8，对称轴为x=π/4+kπ/2，即x=π/2+kπ。7.f(0)=|0^3-2×0|=0，图像过原点。8.f(x)=tan(x-π/4)，渐近线为x-π/4=kπ+π/2，x=π/4+kπ。9.f(0)=0ln0=0，图像过原点。10.f(x)=1为常数函数，无渐近线。三、判断题1.正确，f(0)=0，图像过原点。2.错误，对称轴为x=-1/2。3.错误，f(x)=√2cosx，图像关于y轴对称。4.错误，f(x)与g(x)互为反函数，图