福建省漳州市2025-2026学年高一下学期期中考试 数学 版含解析

福建漳州市2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷一、单选题1．记△ABC的内角的对边分别为，且，则（

）A． B． C． D．2．复数的实部与虚部之和为（

）A．0 B．1 C．2 D．33．已知，是两个不共线的单位向量，，，若与共线，则（

）A． B．6 C． D．4．用斜二测画法画出的水平放置的正六边形的直观图如图所示，是的中点，且，则（

）A．2 B． C．4 D．5．已知点，，C是线段上最靠近B的一个四等分点，则C的坐标为（

）A． B． C． D．6．已知单位向量满足，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．7．上底面、下底面面积分别为，，高为的棱台容器中装满了水，如图，将棱台容器中的水全部倒入倒立的底面半径与高均为的空圆锥容器中，不考虑水的损耗和容器壁的厚度，则该圆锥容器中的水面高度为（

）A． B． C． D．8．台风中心B位于A地（视为质点）正西方向处，正向北偏东方向移动，速度的大小为，距离台风中心范围内将会受其影响.如果台风风速不变，那么A地遭受台风影响的持续时间为（

）（取）A． B． C． D．二、多选题9．已知复数，则（

）A． B． C． D．10．在边长为2的正方形ABCD中，剪去以C为圆心，1为半径的扇形后得到的图形如图所示，以所在的直线为轴，其余边和弧EF旋转一周形成的面围成一个几何体，则（

）A．该几何体的形状为圆柱中挖去12B．该几何体的形状为圆柱中挖去14C．该几何体的表面积为D．该几何体的体积为11．已知△ABC的内角的对边分别为，且，则下列结论正确的是（

）A．B．△ABC外接圆的半径为C．的最大值为4D．若△ABC的外心为O，则的最大值为4三、填空题12．十棱柱有_________个顶点，_________条棱，_________个面.13．已知复数，在复平面内对应的点关于虚轴对称，且在复平面内对应的点位于第一象限，则在复平面内对应的点不可能位于第_________象限.14．函数的最大值为________．四、解答题15．已知向量，．(1)求与夹角的余弦值；(2)若，求．16．已知△ABC的内角的对边分别为，且的面积为．(1)求A；(2)若A为钝角，且△ABC的周长为，求．17．（1）若是关于x的方程的一个根，求；（2）若对任意，关于x的方程都有纯虚数根，求出该纯虚数根.18．如图，在梯形ABCD中，，分别是边上不与端点重合的点，且.(1)用表示；(2)若与EF交于点P，求；(3)若，求的最小值.19．已知△ABC的内角的对边分别为，且.(1)求B.(2)已知D为AC边上的一点，且.（i）求；（ii）若是线段上（不与B重合）的一个动点，求的最小值.参考答案1．C【详解】在△ABC中，因为，由正弦定理，可得.2．A【详解】因为，所以该复数的实部与虚部之和为．3．A【详解】由向量与向量共线，且向量不共线，得，所以.4．C【详解】如图，O为正六边形的中心，M为边的中点，由斜二测画法规则知，，所以.5．B【详解】由题意，C为线段上靠近B的四等分点，故.已知，，则，因此，即点C的坐标为.6．A【详解】因为，可得，解得，又因为都是单位向量，可得，所以向量在上的投影向量为.7．B【详解】上底面、下底面面积分别为，，高为的棱台容器中装满了水，所以水的体积为，设圆锥容器中的水面高度为，又因为圆锥的底面半径与高均为，所以水的截面半径为，所以，所以，所以.8．B【详解】如图，假设台风中心B到达C点时，.设，易得.由余弦定理，得，得或，所以A地遭受台风影响的持续时间为.9．BC【详解】，A错误.，B正确.，C正确.，D错误.10．AD【详解】对于A，B，正方形ABCD以所在的直线为轴旋转一周，形成一个底面半径为2，高为2的圆柱；由正方形ABCD得，则扇形（圆心角为90°的扇形）绕所在的直线为轴旋转一周，形成一个半球（球的半径为1），因此该几何体的形状为圆柱中挖去12个球，如图所示，故A正确，B错误；对于C，圆柱的底面半径，高，半球的半径，则，，，，得，故C错误；对于D，圆柱的底面半径，高，半球的半径，则，，得，故D正确.11．BCD【详解】对于A：因为，由正弦定理得，又，所以.因为，所以，所以，又，即.又，所以，所以，所以，由，得，所以，故A错误；对于B：设△ABC外接圆的半径为，由，解得，故B正确.对于C：由余弦定理，得，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为4，故C正确；对于D：因为△ABC的外心为O，所以.因为，所以，当且仅当时，等号成立，所以，所以，所以的最大值为4，故D正确.12．203012【详解】十棱柱的上下底面都是边形，所以每个底面有个顶点，因此总顶点数为，上下底面各有条边，再加条侧棱，因此总棱数为，包含2个底面和个侧面，因此总面数为1213．四【详解】设（，），则，则，在复平面内对应的点为.当时，位于第三象限，当时，位于第二象限，当时，位于第一象限，当时，位于坐标轴上.综上，不可能位于第四象限.14．【详解】由，解得，∴的定义域为，且.由柯西不等式得，，当且仅当即时等号成立；，即的最大值为.15．(1)(2)．【详解】（1）由题意得，，，所以与夹角的余弦值为．（2），，因为，所以，得．16．(1)或(2)【详解】（1）因为，由正弦定理得．由△ABC的面积，得．因为，所以或．（2）因为A为钝角，由（1）知．由余弦定理，得又，所以．17．（1）；（2）.【详解】解：（1）由题意知，是关于x的方程的一个根，可得方程的另一个根为，由韦达定理得，解得.（2）设该方程的纯虚数根为，且，可得，整理得，所以，因为该方程对任意都成立，所以，解得，经验证：适合方程，所以该方程的纯虚数根为.18．(1)(2)(3)【详解】（1）在梯形ABCD中，因为且，可得，根据向量的运算法则，可得.（2）由，可得，设，则，因为三点共线，所以，解得，所以.（3）设，则，可得，由可得；则，当时，取得最小值，且最小值为.19．(1)(2)