2026年高一数学第七章数列题库试卷

2026年高一数学第七章数列题库试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=2，且对于任意正整数n，都有S_n=3a_n-4，则数列{a_n}的通项公式为A.a_n=3^nB.a_n=2•3^(n-1)C.a_n=3•2^(n-1)D.a_n=2•3^(n-2)答案C解析由S_n=3a_n-4，令n=1得S_1=3a_1-4，即2=3a_1-4，解得a_1=2。当n≥2时，a_n=S_n-S_(n-1)=(3a_n-4)-(3a_(n-1)-4)，整理得a_n=3a_(n-1)，即数列{a_n}从第二项起是首项为2，公比为3的等比数列。因此a_n=2•3^(n-2)，故选C。2.在等差数列{a_n}中，若a_3+a_9=20，且a_6=7，则该数列的公差d等于A.1B.2C.3D.4答案B解析设等差数列{a_n}的首项为a_1，公差为d。由a_3+a_9=20得a_1+2d+a_1+8d=20，即2a_1+10d=20。又由a_6=7得a_1+5d=7。联立两式解得a_1=2，d=1。故选B。3.已知数列{b_n}满足b_1=1，b_n+1=2b_n+1，则数列{b_n}的第5项b_5等于A.15B.16C.17D.18答案C解析由b_n+1=2b_n+1得b_n+1+1=2(b_n+1)，即数列{b_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列。因此b_n+1=2^n，即b_n=2^n-1。所以b_5=2^5-1=31-1=17，故选C。4.若数列{c_n}的前n项和S_n满足S_n=2n^2+3n，则数列{c_n}的第4项c_4等于A.15B.16C.17D.18答案A解析由S_n=2n^2+3n得c_n=S_n-S_(n-1)=2n^2+3n-[2(n-1)^2+3(n-1)]=4n+1。当n=4时，c_4=4×4+1=17，故选A。5.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n=S_n•S_(n-1)（n≥2），若a_1=1，则S_4等于A.15B.16C.17D.18答案D解析由a_n=S_n•S_(n-1)（n≥2）得S_n-S_(n-1)=S_n•S_(n-1)，即S_n/S_(n-1)=1+1/S_(n-1)。令n=2得S_2/S_1=2，由a_1=S_1=1得S_2=2。令n=3得S_3/S_2=3/2，即S_3=3。令n=4得S_4/S_3=5/3，即S_4=5。故S_4=18，故选D。6.在等比数列{a_n}中，若a_2•a_8=64，且公比q≠1，则该数列的前6项和S_6等于A.63B.64C.127D.128答案B解析由a_2•a_8=a_1q•a_1q^7=a_1^2q^8=64得a_1^2q^8=64。又由S_6=a_1(1-q^6)/(1-q)得S_6=(a_1q^3)^2(1-q^3)/(1-q)。令a_1q^3=2得S_6=2^2(1-q^3)/(1-q)=4(1-q^3)/(1-q)=4(1+q+q^2)=4+4q+4q^2=64，故选B。7.已知数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=na_n+1（n≥1），则数列{a_n}的第3项a_3等于A.3B.4C.5D.6答案C解析由a_n+1=na_n+1得a_n+1+1=(n+1)a_n+1，即a_n+1+1=(n+1)(a_n+1)。令b_n=a_n+1得b_n+1=(n+1)b_n，即b_n/b_(n-1)=n/(n-1)。累乘得b_n=b_1•2•3•...•n=1×2×3×...×n=n!。因此a_n=n!-1。当n=3时，a_3=3!-1=6-1=5，故选C。8.若数列{c_n}的前n项和S_n满足S_n=2^n-1，则数列{c_n}是A.等差数列B.等比数列C.摆动数列D.非等差非等比数列答案D解析由S_n=2^n-1得c_n=S_n-S_(n-1)=2^n-1-(2^(n-1)-1)=2^n-2^(n-1)=2^(n-1)。当n=1时，c_1=S_1=1。当n≥2时，c_n=2^(n-1)，与c_1不相等，故数列{c_n}不是等差数列。又因为c_n/c_(n-1)=2，当n=2时，c_2/c_1=2，但当n≥3时，c_n/c_(n-1)=2，故数列{c_n}不是等比数列。因此数列{c_n}是非等差非等比数列，故选D。9.已知数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n=an^2+bn，且a_4=18，a_5=30，则数列{a_n}的公差d等于A.2B.3C.4D.5答案B解析由S_n=an^2+bn得a_n=S_n-S_(n-1)=an^2+bn-[a(n-1)^2+b(n-1)]=2an-a+b。又由a_n=a_1+(n-1)d得2an-a+b=a_1+(n-1)d。令n=4得2×4a-a+b=a_1+3d=18，令n=5得2×5a-a+b=a_1+4d=30。联立两式解得a=3，b=6。因此a_n=6n，即数列{a_n}是等差数列，公差d=6-6=3，故选B。10.已知数列{b_n}满足b_1=2，b_n+1=3b_n-2，则数列{b_n}的前4项和S_4等于A.20B.22C.24D.26答案C解析由b_n+1=3b_n-2得b_n+1-1=3(b_n-1)，即数列{b_n-1}是首项为1，公比为3的等比数列。因此b_n-1=3^(n-1)，即b_n=3^(n-1)+1。当n=1时，b_1=2；当n=2时，b_2=3^1+1=4；当n=3时，b_3=3^2+1=10；当n=4时，b_4=3^3+1=28。因此S_4=2+4+10+28=44，故选C。二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。将答案填在题中横线上）1.已知数列{a_n}的前n项和S_n=2n^2-3n+5，则数列{a_n}的第3项a_3等于________。答案8解析由S_n=2n^2-3n+5得a_n=S_n-S_(n-1)=2n^2-3n+5-[2(n-1)^2-3(n-1)+5]=4n-5。当n=3时，a_3=4×3-5=7，故填7。2.在等比数列{b_n}中，若b_1=3，b_5=81，则该数列的公比q等于________。答案3解析由b_5=b_1q^4得81=3q^4，即q^4=27，解得q=3，故填3。3.已知数列{c_n}满足c_n=c_(n-1)+n（n≥2），且c_1=1，则数列{c_n}的前5项和S_5等于________。答案35解析由c_n=c_(n-1)+n得c_n=1+2+3+...+n=1+2+3+...+5=15，故填15。4.若数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n=3^n-1，则数列{a_n}的第4项a_4等于________。答案48解析由S_n=3^n-1得a_n=S_n-S_(n-1)=3^n-1-(3^(n-1)-1)=2×3^(n-1)。当n=4时，a_4=2×3^3=54，故填54。5.已知数列{b_n}满足b_1=1，b_n+1=2b_n+1（n≥1），则数列{b_n}的第6项b_6等于________。答案63解析由b_n+1=2b_n+1得b_n=2^n-1。当n=6时，b_6=2^6-1=63，故填63。三、解答题（本大题共5小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1.已知数列{a_n}的前n项和S_n=4n^2-3n，求该数列的通项公式a_n。解由S_n=4n^2-3n得a_n=S_n-S_(n-1)=4n^2-3n-[4(n-1)^2-3(n-1)]=8n-7。当n=1时，a_1=S_1=1，与a_n=8n-7不符。因此a_n=8n-7（n≥2）。故数列{a_n}的通项公式为a_n=8n-7（n≥2）。2.在等差数列{b_n}中，若a_3+a_7=18，且a_5=5，求该数列的前10项和S_10。解设等差数列{b_n}的首项为b_1，公差为d。由a_3+a_7=18得b_1+2d+b_1+6d=18，即2b_1+8d=18。又由a_5=5得b_1+4d=5。联立两式解得b_1=1，d=2。因此S_10=10×1+(10×9)×2=190，故S_10=190。3.已知数列{c_n}满足c_n=c_(n-1)+2n（n≥2），且c_1=3，求该数列的前5项和S_5。解由c_n=c_(n-1)+2n得c_n=3+2×2+2×3+...+2×n=3+2(2+3+...+n)=3+2(2+3+4+5)=3+2×15=33，故S_5=33。4.在等比数列{a_n}中，若a_2•a_8=64，且公比q≠1，求该数列的前6项和S_6。解由a_2•a_8=a_1q•a_1q^7=a_1^2q^8=64得a_1^2q^8=64。又由S_6=a_1(1-q^6)/(1-q)得S_6=(a_1q^3)^2(1-q^3)/(1-q)。令a_1q^3=2得S_6=2^2(1-q^3)/(1-q)=4(1-q^3)/(1