2026年河南省高二数学第五章导数计算题库试卷

2026年河南省高二数学第五章导数计算题库试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知函数f(x)=x^3-ax^2+bx+1在x=1处取得极值，且其导函数f'(x)在x=2时等于0，则实数a和b的值分别为（）A.a=6，b=3B.a=3，b=6C.a=-3，b=-6D.a=-6，b=-3参考答案：A解析：由f(x)=x^3-ax^2+bx+1，得f'(x)=3x^2-2ax+b。因为f(x)在x=1处取得极值，所以f'(1)=0，即3-2a+b=0①。又因为f'(2)=0，所以12-4a+b=0②。联立①②解得a=6，b=-3。故选A。2.函数g(x)=x^3-3x^2+2x在区间[-1,4]上的最大值和最小值分别为（）A.4，-2B.4，-1C.3，-2D.3，-1参考答案：A解析：g'(x)=3x^2-6x+2=3(x-1)^2-1。令g'(x)=0得x=1±√(1/3)。因为-1<1-√(1/3)<1<1+√(1/3)<4，所以g(x)在x=1处取得极小值，g(1)=-1。又g(-1)=0，g(4)=4。故g(x)在[-1,4]上的最大值为4，最小值为-2。3.若函数h(x)=x^3+px^2+qx+r在x=-1和x=2时都有拐点，则p和q的取值必须满足（）A.p=3，q=-3B.p=-3，q=3C.p+q=0D.p-q=0参考答案：C解析：h''(x)=6x+2p。因为x=-1和x=2都是拐点，所以h''(-1)=0且h''(2)=0，即-6+2p=0且12+2p=0。解得p=0。此时h''(x)=6x，显然x=-1和x=2都是拐点。所以p=0，即p+q=0。4.函数F(x)=e^x-ax^2在x=0处取得极值，则实数a的取值范围是（）A.a>0B.a<0C.a=0D.a∈R参考答案：A解析：F'(x)=e^x-2ax。因为F(x)在x=0处取得极值，所以F'(0)=1=0，即a>0。当a>0时，F'(x)在x=0左侧为负，右侧为正，所以x=0是极小值点。故a>0。5.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x，则方程f(x)=k有（）个实根A.1B.2C.3D.4参考答案：C解析：f'(x)=3x^2-6x+2=3(x-1)^2-1。令f'(x)=0得x=1±√(1/3)。因为f(1-√(1/3))=2√(1/3)，f(1+√(1/3))=-2√(1/3)，f(-1)=-4，f(4)=6，所以f(x)在x=1-√(1/3)处取得极大值2√(1/3)，在x=1+√(1/3)处取得极小值-2√(1/3)。当k∈(-2√(1/3)，2√(1/3))时，方程f(x)=k有3个实根；当k=±2√(1/3)或k∈(-∞，-4)∪(6，+∞)时，方程f(x)=k有2个实根；当k∈(-4，-2√(1/3))∪(2√(1/3)，6)时，方程f(x)=k有1个实根。6.函数g(x)=x^3-3x^2+2x+1在区间[-2,3]上的单调递增区间为（）A.[-2，-1]B.[1，3]C.[-1，1]D.[-2，-1]∪[1，3]参考答案：D解析：g'(x)=3x^2-6x+2=3(x-1)^2-1。令g'(x)=0得x=1±√(1/3)。因为-2<1-√(1/3)<1<1+√(1/3)<3，所以g(x)在x=1-√(1/3)和x=1+√(1/3)处取得极值。当x∈(-∞，1-√(1/3))时，g'(x)>0；当x∈(1-√(1/3)，1+√(1/3))时，g'(x)<0；当x∈(1+√(1/3)，+∞)时，g'(x)>0。又x=1-√(1/3)∈[-2，-1]，x=1+√(1/3)∈[1，3]，所以g(x)在[-2，-1]和[1，3]上单调递增。7.若函数f(x)=x^3+ax^2+bx+1在x=1处取得极值，且f'(x)在x=2时等于5，则a和b的值分别为（）A.a=-3，b=2B.a=3，b=-2C.a=-2，b=3D.a=2，b=-3参考答案：A解析：f'(x)=3x^2+2ax+b。因为f(x)在x=1处取得极值，所以f'(1)=0，即3+2a+b=0①。又f'(2)=5，所以12+4a+b=5②。联立①②解得a=-3，b=2。故选A。8.函数h(x)=x^3-3x^2+2x在区间[-1，3]上的最大值和最小值分别为（）A.2，-2B.2，-1C.3，-2D.3，-1参考答案：B解析：h'(x)=3x^2-6x+2=3(x-1)^2-1。令h'(x)=0得x=1±√(1/3)。因为-1<1-√(1/3)<1<1+√(1/3)<3，所以h(x)在x=1处取得极小值，h(1)=-1。又h(-1)=0，h(3)=0。故h(x)在[-1，3]上的最大值为2，最小值为-1。9.函数g(x)=x^3-3x^2+2x在x=1处取得极值，则实数a的取值必须满足（）A.a=1B.a=-1C.a=0D.a∈R参考答案：C解析：g'(x)=3x^2-6x+2=3(x-1)^2-1。令g'(x)=0得x=1±√(1/3)。因为g(x)在x=1处取得极值，所以a=0。故选C。10.函数F(x)=x^3-ax^2+bx在x=1和x=2时都取得极值，则a和b的取值必须满足（）A.a=3，b=2B.a=3，b=-2C.a=-3，b=2D.a=-3，b=-2参考答案：B解析：F'(x)=3x^2-2ax+b。因为F(x)在x=1和x=2时都取得极值，所以F'(1)=0且F'(2)=0，即3-2a+b=0且12-4a+b=0。解得a=3，b=-2。故选B。二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填在题中横线上）1.函数f(x)=x^3-3x^2+2x在x=1处取得极值，则f(x)在x=1附近的单调性为：在x=1左侧单调______，在x=1右侧单调______。参考答案：递增递减解析：f'(x)=3x^2-6x+2=3(x-1)^2-1。令f'(x)=0得x=1±√(1/3)。因为f'(x)在x=1左侧为负，右侧为正，所以f(x)在x=1左侧单调递减，在x=1右侧单调递增。2.函数g(x)=x^3-3x^2+2x在区间[-1，3]上的最大值和最小值分别为______和______。参考答案：2-1解析：g'(x)=3x^2-6x+2=3(x-1)^2-1。令g'(x)=0得x=1±√(1/3)。因为-1<1-√(1/3)<1<1+√(1/3)<3，所以g(x)在x=1处取得极小值，g(1)=-1。又g(-1)=0，g(3)=0。故g(x)在[-1，3]上的最大值为2，最小值为-1。3.函数h(x)=x^3-ax^2+bx在x=1和x=2时都取得极值，则a和b的取值必须满足______。参考答案：a=3，b=-2解析：h'(x)=3x^2-2ax+b。因为h(x)在x=1和x=2时都取得极值，所以h'(1)=0且h'(2)=0，即3-2a+b=0且12-4a+b=0。解得a=3，b=-2。4.函数F(x)=e^x-ax^2在x=0处取得极值，则实数a的取值范围是______。参考答案：a>0解析：F'(x)=e^x-2ax。因为F(x)在x=0处取得极值，所以F'(0)=1=0，即a>0。当a>0时，F'(x)在x=0左侧为负，右侧为正，所以x=0是极小值点。5.函数f(x)=x^3-3x^2+2x，则方程f(x)=k有______个实根。参考答案：3解析：f'(x)=3x^2-6x+2=3(x-1)^2-1。令f'(x)=0得x=1±√(1/3)。因为f(1-√(1/3))=2√(1/3)，f(1+√(1/3))=-2√(1/3)，f(-1)=-4，f(4)=6，所以f(x)在x=1-√(1/3)处取得极大值2√(1/3)，在x=1+√(1/3)处取得极小值-2√(1/3)。当k∈(-2√(1/3)，2√(1/3))时，方程f(x)=k有3个实根。三、解答题（本大题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1.已知函数f(x)=x^3-ax^2+bx+1在x=1处取得极大值，且f'(2)=0，求实数a和b的值，并判断f(x)的单调性。解：f'(x)=3x^2-2ax+b。因为f(x)在x=1处取得极大值，所以f'(1)=0，即3-2a+b=0①。又f'(2)=0，所以12-4a+b=0②。联立①②解得a=3，b=-3。此时f'(x)=3x^2-6x-3=3(x-1)^2-6。令f'(x)=0得x=1±√(2)。因为f'(x)在x=1-√(2)和x=1+√(2)处变号，所以f(x)在(-∞，1-√(2))和(1+√(2)，+∞)上单调递增，在(1-√(2)，1+√(2))上单调递减。2.函数g(x)=x^3-3x^2+2x在区间[-2，4]上的最大值和最小值分别为多少？并求出取得这些值的点。解：g'(x)=3x^2-6x+2=3(x-1)^2-1。令g'(x)=0得x=1±√(1/3)。因为-2<1-√(1/3)<1<1+√(1/3)<4，所以g(x)在x=1处取得极小值，g(1)=-1。又g(-2)=0，g(4)=6。故g(x)在[-2，4]上的最大值为6，取得于x=4；最小值为-1，取得于x=1。3.已知函数h(x)=x^3-ax^2+bx在x=1和x=2时都取得极值，求实数a和b的值，并求出h(x)的拐点。解：h'(x)=3x^2-2ax+b。因为h(x)在x=1和x=2时都取得极值，所以h'(1)=0且h'(2)=0，即3-2a+b=0①，12-4a+b=0②。联立①②解得a=3，b=-3。此时h''(x)=6x-6。令h''(x)=0得x=1。故h(x)的拐点为(1，-1)。4.函数F(x)=e^x-ax^2在x=0处取得极值，求实数a的值，并判断F(x)的单调性。解：F'(x)=e^x-2ax。因为F(x)在x=0处取得极值，所以F'(0)=1=0，即a=1/2。此时F'(x)=e^x-x。令F'(x)=0得x=0。因为F''(x)=e^x-1，F''(0)=0，且F'''(x)=e^x>0，所以x=0是极小值点。当x∈(-∞，0)时，F'(x)<0；当x∈(0，+∞)时，F'(x)>0。故F(x)在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增。5.函数f(x)=x^3-3x^2+2x，求f(x)的极值点，并画出f(x)的大致图像。解：f'(x)=3x^2-6x+2=3(x-1)^2-1。令f'(x)=0得x=1±√(1/3)。因为f'(x)在x=1-√(1/3)和x=1+√(1/3)处变号，所以f(x)在x=1-√(1/3)处取得极大值，在x=1+√(1/3)处取得极小值。又f(-1)=0，f(3)=0。大致图像如下：在(-∞，1-√(1/3))上单调递增，在(1-√(1/3)，1+√(1/3))上单调递减，在(1+√(1/3)，+∞)上单调递增。极大值为2√(1/3)，极小值为-2√(1/3)。四、应用题（本大题共1小题，共10分）已知函数g(x)=x^3-3x^2+2x在区间[-1，3]上的最大值和最小值分别为2和-1，求g(x)在[-1，3]上的单调递增区间和单调递减区间。解：g'(x)=3x^2-6x+2=3(x-1)^2-