2026年部编版高三数学第五十四章函数极限与连续练习题试卷

2026年部编版高三数学第五十四章函数极限与连续练习题试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知函数f(x)=(ax^2+bx+c)/(x-1)，当x→1时，f(x)的极限存在且为2，则下列条件中充分的是（）A.a=2，b=3，c=1B.a=1，b=2，c=3C.a=0，b=4，c=2D.a=-1，b=5，c=3参考答案：C解析：根据题意，当x→1时，f(x)的极限存在且为2，即lim(x→1)(ax^2+bx+c)/(x-1)=2。由于分母x-1在x→1时趋近于0，分子ax^2+bx+c也必须趋近于0，否则极限不存在。因此，a(1)^2+b(1)+c=0，即a+b+c=0。同时，根据洛必达法则，lim(x→1)(ax^2+bx+c)/(x-1)=lim(x→1)(2ax+b)=2a+b。将极限值等于2代入，得到2a+b=2。将a+b+c=0代入选项验证，只有C选项满足a=0，b=4，c=2，此时a+b+c=0成立，且2a+b=2×0+4=2成立。因此，正确答案是C。2.函数f(x)=|x-1|+|x+2|在区间(-∞，+∞)上的最小值是（）A.1B.2C.3D.4参考答案：C解析：函数f(x)=|x-1|+|x+2|表示数轴上点x到点1和点-2的距离之和。在数轴上，点1和点-2之间的距离为3，当且仅当x在区间[-2，1]内时，|x-1|+|x+2|取得最小值3。因此，函数f(x)在区间(-∞，+∞)上的最小值是3。正确答案是C。3.已知函数f(x)=(e^x-1)/(x-1)，若lim(x→0)f(x)=A，则A的值是（）A.0B.1C.eD.1/2参考答案：B解析：根据题意，lim(x→0)(e^x-1)/(x-1)=A。这是一个典型的"0/0"型极限，可以使用洛必达法则求解。对分子e^x-1和分母x-1分别求导，得到lim(x→0)e^x/1=e^0=1。因此，A=1。正确答案是B。4.函数f(x)=sin(x)+cos(x)在区间[0，2π]上的连续区间是（）A.[0，π/2)∪(π/2，3π/2)∪(3π/2，2π]B.[0，π)∪(π，2π]C.[0，2π]D.(0，2π)参考答案：C解析：函数f(x)=sin(x)+cos(x)是由基本初等函数sin(x)和cos(x)通过加法运算构成的，而sin(x)和cos(x)在实数集R上都是连续的。根据连续函数的性质，两个连续函数的和仍然是连续函数。因此，f(x)=sin(x)+cos(x)在区间[0，2π]上是连续的。正确答案是C。5.已知函数f(x)=x^3-ax^2+bx在x=1处取得极值，且f'(1)=2，则a和b的值分别是（）A.a=3，b=2B.a=2，b=3C.a=4，b=1D.a=1，b=4参考答案：A解析：函数f(x)=x^3-ax^2+bx在x=1处取得极值，说明f'(1)=0。对f(x)求导，得到f'(x)=3x^2-2ax+b。将x=1代入，得到f'(1)=3(1)^2-2a(1)+b=3-2a+b=0。又已知f'(1)=2，因此3-2a+b=2，即-2a+b=-1。同时，根据题意，f'(1)=2，即3-2a+b=2。联立这两个方程，得到-2a+b=-1和3-2a+b=2。解这个方程组，得到a=3，b=2。因此，正确答案是A。6.函数f(x)=1/(x^2-2x+3)在区间(-∞，+∞)上的极限是（）A.0B.1/3C.不存在D.+∞参考答案：B解析：函数f(x)=1/(x^2-2x+3)的分母x^2-2x+3可以写成(x-1)^2+2的形式。由于(x-1)^2总是非负的，所以(x-1)^2+2总是大于0。当x→+∞或x→-∞时，(x-1)^2→+∞，因此(x-1)^2+2→+∞，所以1/(x^2-2x+3)→0。因此，函数f(x)在区间(-∞，+∞)上的极限是0。正确答案是A。7.函数f(x)=|x-1|+|x-2|在区间[1，2]上的最大值是（）A.1B.2C.3D.4参考答案：B解析：函数f(x)=|x-1|+|x-2|表示数轴上点x到点1和点2的距离之和。在区间[1，2]上，x到点1的距离为x-1，到点2的距离为2-x。因此，f(x)=(x-1)+(2-x)=1。由于在区间[1，2]上，x-1和2-x都是非负的，所以f(x)=|x-1|+|x-2|=1+0=1。因此，函数f(x)在区间[1，2]上的最大值是1。正确答案是A。8.函数f(x)=(x^2-1)/(x-1)在x=1处不连续，下列说法正确的是（）A.函数在x=1处有可去间断点B.函数在x=1处有跳跃间断点C.函数在x=1处有无穷间断点D.函数在x=1处连续参考答案：A解析：函数f(x)=(x^2-1)/(x-1)可以化简为f(x)=x+1，当x≠1时。当x=1时，分母为0，函数无定义。但是，lim(x→1)(x^2-1)/(x-1)=lim(x→1)(x+1)=2。因此，函数在x=1处有可去间断点。正确答案是A。9.函数f(x)=sin(x)在区间[0，2π]上的连续区间是（）A.[0，π/2)∪(π/2，3π/2)∪(3π/2，2π]B.[0，π)∪(π，2π]C.[0，2π]D.(0，2π)参考答案：C解析：函数f(x)=sin(x)是基本初等函数，在实数集R上都是连续的。因此，f(x)=sin(x)在区间[0，2π]上是连续的。正确答案是C。10.函数f(x)=e^x-x在区间(-∞，+∞)上的极限是（）A.0B.1C.-1D.+∞参考答案：D解析：函数f(x)=e^x-x在区间(-∞，+∞)上的极限是lim(x→+∞)(e^x-x)和lim(x→-∞)(e^x-x)的极限。当x→+∞时，e^x→+∞，x→+∞，所以e^x-x→+∞。当x→-∞时，e^x→0，x→-∞，所以e^x-x→-∞。因此，函数f(x)在区间(-∞，+∞)上的极限不存在。正确答案是D。二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。把答案填在题中横线上）1.已知函数f(x)=(x^2-1)/(x-1)，则lim(x→1)f(x)=______参考答案：2解析：函数f(x)=(x^2-1)/(x-1)可以化简为f(x)=x+1，当x≠1时。当x=1时，分母为0，函数无定义。但是，lim(x→1)(x^2-1)/(x-1)=lim(x→1)(x+1)=2。因此，lim(x→1)f(x)=2。2.函数f(x)=|x-1|在x=1处的左极限是______，右极限是______。参考答案：1，1解析：函数f(x)=|x-1|在x=1处的左极限是lim(x→1^-)|x-1|=lim(x→1^-)(1-x)=0，右极限是lim(x→1^+)|x-1|=lim(x→1^+)(x-1)=0。因此，函数f(x)在x=1处的左极限是1，右极限是1。3.函数f(x)=sin(x)+cos(x)在x=π/2处的导数是______。参考答案：-1解析：函数f(x)=sin(x)+cos(x)在x=π/2处的导数是f'(π/2)=cos(π/2)-sin(π/2)=0-1=-1。因此，函数f(x)在x=π/2处的导数是-1。4.函数f(x)=e^x-x在x=0处的导数是______。参考答案：1解析：函数f(x)=e^x-x在x=0处的导数是f'(0)=e^0-1=1-1=0。因此，函数f(x)在x=0处的导数是0。5.函数f(x)=|x|在x=0处的导数是______。参考答案：不存在解析：函数f(x)=|x|在x=0处的左导数是lim(h→0^-)(|0+h|-|0|)/h=lim(h→0^-)(-h)/h=-1，右导数是lim(h→0^+)(|0+h|-|0|)/h=lim(h→0^+)(h)/h=1。由于左导数和右导数不相等，所以函数f(x)在x=0处的导数不存在。因此，函数f(x)在x=0处的导数是不存在。三、解答题（本大题共5小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1.已知函数f(x)=(x^2-1)/(x-1)，求函数在x=1处的极限。解：函数f(x)=(x^2-1)/(x-1)可以化简为f(x)=x+1，当x≠1时。当x=1时，分母为0，函数无定义。但是，lim(x→1)(x^2-1)/(x-1)=lim(x→1)(x+1)=2。因此，函数在x=1处的极限是2。2.函数f(x)=|x-1|+|x-2|在区间[1，2]上的最大值和最小值。解：函数f(x)=|x-1|+|x-2|表示数轴上点x到点1和点2的距离之和。在区间[1，2]上，x到点1的距离为x-1，到点2的距离为2-x。因此，f(x)=(x-1)+(2-x)=1。由于在区间[1，2]上，x-1和2-x都是非负的，所以f(x)=|x-1|+|x-2|=1+0=1。因此，函数f(x)在区间[1，2]上的最大值是1，最小值也是1。3.函数f(x)=sin(x)+cos(x)在区间[0，2π]上的连续性。解：函数f(x)=sin(x)+cos(x)是由基本初等函数sin(x)和cos(x)通过加法运算构成的，而sin(x)和cos(x)在实数集R上都是连续的。根据连续函数的性质，两个连续函数的和仍然是连续函数。因此，f(x)=sin(x)+cos(x)在区间[0，2π]上是连续的。4.函数f(x)=e^x-x在区间(-∞，+∞)上的极限。解：函数f(x)=e^x-x在区间(-∞，+∞)上的极限是lim(x→+∞)(e^x-x)和lim(x→-∞)(e^x-x)的极限。当x→+∞时，e^x→+∞，x→+∞，所以e^x-x→+∞。当x→-∞时，e^x→0，x→-∞，所以e^x-x→-∞。因此，函数f(x)在区间(-∞，+∞)上的极限不存在。5.函数f(x)=|x|在x=0处的连续性和可导性。解：函数f(x)=|x|在x=0处的左极限是lim(x→0^-)|x|=lim(x→0^-)(-x)=0，右极限是lim(x→0^+)