2026年福建省北师大版高中数学必修第7章函数性质测试题库试卷

2026年福建省北师大版高中数学必修第7章函数性质测试题库试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.函数f(x)=x^3-3x+2在区间(-2,2)上的最大值和最小值分别是多少？A.最大值4，最小值-4B.最大值4，最小值-2C.最大值2，最小值-4D.最大值2，最小值-2参考答案：C解析：首先求导数f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0得x=±1。计算f(-2)=-10，f(-1)=4，f(1)=0，f(2)=4。因此最大值为2，最小值为-4。2.函数f(x)=|x-1|+|x+2|在区间[-3,3]上的最小值是多少？A.1B.2C.3D.4参考答案：B解析：分段函数f(x)=-3-x,x≤-2-x+3,-2<x<1-x-1,x≥1。在各分段区间上均为单调函数，最小值出现在x=-2处，f(-2)=1。3.函数f(x)=x^3-ax+1在x=1处取得极值，则a的值是多少？A.3B.2C.1D.0参考答案：A解析：极值点处导数为0，f'(x)=3x^2-a，令x=1得3-a=0，解得a=3。进一步验证f''(1)=6>0，确认为极小值。4.函数f(x)=e^x-x^2在区间(-1,1)上的零点个数是多少？A.0B.1C.2D.3参考答案：C解析：f'(x)=e^x-2x，f''(x)=e^x-2。在(-1,1)上f''(x)<0，f'(x)单调递减。又f'(-1)>0，f'(1)<0，由介值定理f'(x)=0有唯一解x₀。f(-1)>0，f(1)>0，f(x₀)<0，因此f(x)=0有两个解。5.函数f(x)=x^3-3x^2+2x在区间[0,3]上的拐点坐标是多少？A.(0,0)B.(1,0)C.(2,0)D.(1,1)参考答案：D解析：f''(x)=6x-6，令f''(x)=0得x=1。计算f(1)=1，拐点为(1,1)。6.函数f(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+1在区间(-∞,∞)上的单调递增区间是？A.(-∞,1)B.(1,3)C.(3,∞)D.(-∞,1)∪(3,∞)参考答案：C解析：f'(x)=4x^3-12x^2+12x-4=4(x-1)^3，令f'(x)=0得x=1。当x>1时f'(x)>0，函数单调递增。7.函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的最大值点是？A.-1B.0C.1D.3参考答案：D解析：f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0得x=0,2。计算f(-1)=-2，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=2，最大值点为3。8.函数f(x)=x^3-3x^2+2x+1的图象与x轴的交点个数是？A.0B.1C.2D.3参考答案：D解析：f'(x)=3x^2-6x+2=3(x-1)^2-1，令f'(x)=0得x=1±√3/3。f(-1)=0，f(1-√3/3)<0，f(1+√3/3)<0，f(3)=7，由介值定理有三个零点。9.函数f(x)=x^3-3x^2+2x在区间[-1,3]上的最小值点是？A.-1B.0C.1D.3参考答案：A解析：f'(x)=3x^2-6x+2=3(x-1)^2-1，令f'(x)=0得x=1±√3/3。计算f(-1)=-1，f(0)=0，f(1-√3/3)>0，f(1+√3/3)>0，f(3)=2，最小值点为-1。10.函数f(x)=x^3-3x^2+2x在区间[-1,3]上的值域是？A.[-1,2]B.[-2,2]C.[-1,7]D.[-2,7]参考答案：B解析：f'(x)=3x^2-6x+2=3(x-1)^2-1，令f'(x)=0得x=1±√3/3。计算f(-1)=-1，f(0)=0，f(1-√3/3)=1+√3/3>0，f(1+√3/3)=1-√3/3<0，f(3)=2，值域为[-2,2]。二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。把答案填在题中横线上）1.函数f(x)=x^3-3x^2+2x在x=1处取得极值，则该极值为______。参考答案：0解析：f'(1)=0，f''(1)=6>0，为极小值。f(1)=0。2.函数f(x)=|x-1|+|x+2|在x=-1处的函数值为______。参考答案：3解析：f(-1)=|-1-1|+|-1+2|=2+1=3。3.函数f(x)=x^3-ax+1在x=1处取得极大值，则a的值为______。参考答案：7解析：f'(1)=0得a=4，f''(1)=6-a=-2<0，为极大值，需a=7。4.函数f(x)=x^3-3x^2+2x在区间[-1,3]上的最大值是______。参考答案：7解析：f(-1)=-1，f(0)=0，f(1)=0，f(2)=0，f(3)=7，最大值为7。5.函数f(x)=x^3-3x^2+2x的图象与y轴的交点坐标是______。参考答案：(0,0)解析：f(0)=0^3-3×0^2+2×0=0，交点为(0,0)。三、解答题（本大题共5小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1.已知函数f(x)=x^3-ax^2+bx+1在x=1和x=-1处都取得极值，求a和b的值，并判断这两个极值是极大值还是极小值。解：f'(x)=3x^2-2ax+b，由f'(1)=0和f'(-1)=0得3-2a+b=03+2a+b=0解得a=0，b=-3。f''(x)=6x-2a=6x，f''(1)=6>0为极小值，f''(-1)=-6<0为极大值。因此a=0，b=-3，x=1处为极小值，x=-1处为极大值。2.讨论函数f(x)=x^3-3x^2+2x在区间[-1,3]上的单调性和极值。解：f'(x)=3x^2-6x+2=3(x-1)^2-1，令f'(x)=0得x=1±√3/3。在(-1,1-√3/3)和(1+√3/3,3)上f'(x)>0，单调递增；在(1-√3/3,1+√3/3)上f'(x)<0，单调递减。极小值点x=1+√3/3，f(1+√3/3)=1-√3/3；极大值点x=1-√3/3，f(1-√3/3)=1+√3/3。3.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x，求函数在区间[-1,3]上的最大值和最小值。解：f'(x)=3x^2-6x+2=3(x-1)^2-1，令f'(x)=0得x=1±√3/3。计算f(-1)=-1，f(0)=0，f(1-√3/3)=1+√3/3，f(1+√3/3)=1-√3/3，f(3)=2。最大值为2，最小值为-1。4.已知函数f(x)=x^3-ax^2+bx+1在x=1处取得极值，且f(1)=0，求a和b的值，并画出函数的大致图象。解：由f(1)=0得1-a+b+1=0即a=b+2。f'(x)=3x^2-2ax+b，f'(1)=3-2a+b=0，代入a=b+2得3-2(b+2)+b=0，解得b=-1，a=1。f'(x)=3x^2-2x-1=(3x+1)(x-1)，令f'(x)=0得x=-1/3,1。f(-1/3)=-19/27，f(1)=0，f(0)=1，f(2)=3。图象大致如下：在(-∞,-1/3)单调递增，(-1/3,1)单调递减，(1,∞)单调递增。5.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x，求函数的拐点，并判断函数的凹凸性。解：f''(x)=6x-6，令f''(x)=0得x=1。当x<1时f''(x)<0，函数凹；当x>1时f''(x)>0，函数凸。拐点为(1,0)。四、应用题（本大题共2小题，共30分）1.某工厂生产某种产品，总成本函数为C(x)=x^3-6x^2+15x+10（x为产量），求该函数的单调区间和最小成本。解：C'(x)=3x^2-12x+15=3(x-2)^2+3>0，函数在[0,∞)上单调递增。最小成本为C(2)=2^3-6×2^2+15×2+10=8-24+30+10=24。2.某商品的需求函数为p=10-x^2/4（p为价格，x为需求量），求该函数的边际收益函数，并求需求量为2时的边际收益。解：收益函数R(x)=px=10x-x^3/4，边际收益函数R'(x)=10-