2026年福建省北师大版高中数学必修第3章函数性质测试题库试卷

2026年福建省北师大版高中数学必修第3章函数性质测试题库试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.函数f(x)=x^3-3x+2在区间(-2,2)上的最大值和最小值分别是多少？A.最大值4，最小值-4B.最大值4，最小值-2C.最大值2，最小值-4D.最大值2，最小值-2参考答案：C解析：首先求导数f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0得x=±1。计算f(-2)=-10，f(-1)=4，f(1)=0，f(2)=4。因此最大值为2，最小值为-4。2.函数f(x)=x^3-3x^2+2x在区间[0,3]上的单调递增区间是？A.[0,1]B.[1,2]C.[2,3]D.[0,1]和[2,3]参考答案：D解析：求导数f'(x)=3x^2-6x+2，解不等式3x^2-6x+2>0得x<1或x>2。因此单调递增区间为[0,1]和[2,3]。3.函数f(x)=x^3-ax^2+bx在x=1处取得极值，且曲线在点(1,0)处的切线斜率为-3，则a和b的值分别是？A.a=3，b=0B.a=3，b=-3C.a=0，b=3D.a=0，b=-3参考答案：B解析：由f(1)=0得1-a+b=0，由f'(1)=-3得3-2a+b=-3。联立方程组解得a=3，b=-3。4.函数f(x)=x^3-3x^2+2x+1的图象与x轴的交点个数为？A.1个B.2个C.3个D.4个参考答案：C解析：令f(x)=0得x^3-3x^2+2x+1=0。求导f'(x)=3x^2-6x+2，令f'(x)=0得x=1±√(1/3)。由f(0)=1>0，f(1)=1>0，f(2)=1>0，f(-1)=-1<0，f(3)=10>0，可知有3个交点。5.函数f(x)=|x^3-x|在区间[-2,2]上的极值点个数为？A.2个B.3个C.4个D.5个参考答案：D解析：令g(x)=x^3-x，g'(x)=3x^2-1，令g'(x)=0得x=±1/√3。计算g(-2)=-6，g(-1/√3)=2√3/9，g(1/√3)=-2√3/9，g(1)=0，g(2)=6。因此极值点有5个。6.函数f(x)=x^3-3x^2+2x在x=2附近的行为是？A.单调递增B.单调递减C.先递增后递减D.先递减后递增参考答案：A解析：求导f'(x)=3x^2-6x+2，在x=2处f'(2)=2>0，且在x=2附近f'(x)始终大于0，因此单调递增。7.函数f(x)=x^3-3x^2+2x+1的图象关于哪个点中心对称？A.(0,0)B.(1,1)C.(2,0)D.(1,0)参考答案：D解析：令g(x)=f(x)-1=x^3-3x^2+2x，求g(x)的对称中心。由g(x)=(x-1)^3-1可知对称中心为(1,0)。8.函数f(x)=x^3-3x^2+2x在区间[-1,3]上的最大值是？A.3B.2C.1D.0参考答案：A解析：求导f'(x)=3x^2-6x+2，令f'(x)=0得x=1±√(1/3)。计算f(-1)=5，f(1-√(1/3))≈2.588，f(1+√(1/3))≈-0.588，f(3)=0。因此最大值为5。9.函数f(x)=x^3-ax^2+bx在x=1处取得极大值，且f(1)=2，则a和b的值分别是？A.a=4，b=2B.a=4，b=-2C.a=-4，b=6D.a=-4，b=2参考答案：A解析：由f(1)=1-a+b=2得a-b=-1。由f'(1)=3-2a+b=0得2a-b=3。联立方程组解得a=4，b=5，但选项中没有，可能题目有误。10.函数f(x)=x^3-3x^2+2x的图象与直线y=x的交点个数为？A.1个B.2个C.3个D.4个参考答案：C解析：令x^3-3x^2+2x=x得x^3-3x^2+x=0，即x(x^2-3x+1)=0。解得x=0或x=3±2√2。因此有3个交点。二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。把答案填在题中横线上）1.函数f(x)=x^3-3x^2+2x在区间[0,3]上的最小值是________。参考答案：0解析：求导f'(x)=3x^2-6x+2，令f'(x)=0得x=1±√(1/3)。计算f(0)=0，f(1-√(1/3))≈2.588，f(1+√(1/3))≈-0.588，f(3)=0。因此最小值为0。2.函数f(x)=x^3-ax^2+bx在x=2处取得极值，且f(2)=8，则a和b的值分别是________。参考答案：a=6，b=4解析：由f(2)=8得8-4a+2b=8，即-4a+2b=0。由f'(2)=12-4a+b=0得-4a+b=-12。联立方程组解得a=6，b=4。3.函数f(x)=x^3-3x^2+2x在x=1处取得极值，则该极值是________。参考答案：极小值0解析：由f(1)=1-3+2=0，且f'(1)=0，f''(1)=6>0，可知x=1处取得极小值0。4.函数f(x)=|x^3-x|在区间[-1,1]上的最大值是________。参考答案：1解析：令g(x)=x^3-x，g'(x)=3x^2-1，令g'(x)=0得x=±1/√3。计算g(-1)=2，g(-1/√3)=2√3/9，g(0)=0，g(1/√3)=-2√3/9，g(1)=0，g(1)=0。因此最大值为2。5.函数f(x)=x^3-3x^2+2x的图象与x轴的交点个数为________。参考答案：3解析：令f(x)=0得x^3-3x^2+2x=0，即x(x^2-3x+2)=0。解得x=0或x=1或x=2。因此有3个交点。三、解答题（本大题共5小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1.已知函数f(x)=x^3-ax^2+bx在x=1处取得极大值，在x=2处取得极小值，且f(1)=3。求a和b的值。解：由f(1)=3得1-a+b=3，即a-b=-2。由f'(x)=3x^2-2ax+b，得f'(1)=3-2a+b=0，f'(2)=12-4a+b=0。联立方程组：\[\begin{cases}a-b=-2\\-2a+b=-3\end{cases}\]解得a=3，b=1。2.讨论函数f(x)=x^3-3x^2+2x在区间[-2,3]上的单调性和极值。解：求导f'(x)=3x^2-6x+2，令f'(x)=0得x=1±√(1/3)。计算f(-2)=-10，f(-1)=5，f(0)=0，f(1-√(1/3))≈2.588，f(1+√(1/3))≈-0.588，f(2)=0，f(3)=0。由f'(x)的符号变化可知：-在[-2,1-√(1/3)]单调递增-在[1-√(1/3),1+√(1/3)]单调递减-在[1+√(1/3),3]单调递增极大值在x=1-√(1/3)处为2.588，极小值在x=1+√(1/3)处为-0.588。3.已知函数f(x)=x^3-ax^2+bx在x=1处取得极值，且曲线在点(1,0)处的切线斜率为-3。求a和b的值。解：由f(1)=0得1-a+b=0，即a-b=1。由f'(1)=-3得3-2a+b=-3。联立方程组：\[\begin{cases}a-b=1\\-2a+b=-6\end{cases}\]解得a=5，b=4。4.函数f(x)=x^3-3x^2+2x的图象与直线y=x的交点个数为多少？并求出所有交点的坐标。解：令x^3-3x^2+2x=x得x^3-3x^2+x=0，即x(x^2-3x+1)=0。解得x=0或x=3±2√2。因此交点为(0,0)，(3+2√2,3+2√2)，(3-2√2,3-2√2)。5.已知函数f(x)=x^3-ax^2+bx在x=2处取得极值，且f(2)=4。求a和b的值，并讨论函数的单调性。解：由f(2)=4得8-4a+2b=4，即-4a+2b=-4。由f'(2)=12-4a+b=0得-4a+b=-12。联立方程组：\[\begin{cases}-4a+2b=-4\\-4a+b=-12\end{cases}\]解得a=4，b=-4。求导f'(x)=3x^2-8x-4，令f'(x)=0得x=4±2√5/3。由f'(x)的符号变化可知：-在(-∞,4-2√5/3]单调递增-在[4-2√5/3,4+2√5/3]单调递减-在[4+2√5/3,+∞)单调递增。四、应用题（本大题共2小题，共30分）1.某工厂生产某种产品，总成本函数为C(x)=x^3-6x^2+15x+10（x为产量），求产量x为多少时，平均成本最小？解：平均成本函数为C(x)/x=x^2-6x+15+10/x。求导y'=2x-6-10/x^2，令y'=0得x^3-6x^2+10=0。解得x=3。检验可知x=3时平均成本最小，为3^2-6×3+15+10/3=4+10/3=22/3。2.已知函数f(x)=x^3-ax^2+bx在x=1处取得极大值，在x=2处取得极小值，且f(1)=2。求a和b的值，并求函数在区间[-1,3]上的最大值和最小值。解：由f(1)=2得1-a+b=2，即a-b=-1。由f'