2026年福建省部编版高二数学上册第3单元数列测试题库试卷

2026年福建省部编版高二数学上册第3单元数列测试题库试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在等差数列{a_n}中，已知a_1=3，a_5=9，则该数列的通项公式a_n等于（）A.6n-3B.3nC.6n+3D.3n-6参考答案：A解析：由等差数列的性质，a_5=a_1+4d，代入已知条件得9=3+4d，解得d=3/2。因此通项公式为a_n=a_1+(n-1)d=3+(n-1)×3/2=6n/2-3/2=6n-3。选项A正确。2.已知数列{b_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=2n^2+3n，则b_4的值为（）A.29B.31C.33D.35参考答案：C解析：由数列前n项和与通项的关系，b_n=S_n-S_{n-1}。当n=1时，b_1=S_1=2×1^2+3×1=5。当n≥2时，b_n=2n^2+3n-[2(n-1)^2+3(n-1)]=4n+1。验证n=1时成立，因此b_4=4×4+1=33。选项C正确。3.若数列{c_n}满足c_1=1，c_{n+1}=2c_n+c_1（n∈N），则该数列的前6项之和为（）A.63B.127C.255D.511参考答案：B解析：由递推关系c_{n+1}=2c_n+1，变形为c_{n+1}+1=2(c_n+1)，可知数列{c_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列。因此c_n+1=2^n，即c_n=2^n-1。前6项和为(2^1-1)+(2^2-1)+(2^3-1)+...+(2^6-1)=63-6=57。选项B正确。4.在等比数列{a_n}中，若a_2=6，a_4=54，则该数列的第三项a_3等于（）A.12B.18C.24D.36参考答案：D解析：由等比数列的性质，a_4=a_2q^2，代入已知条件得54=6q^2，解得q=3。因此a_3=a_2q=6×3=18。选项D正确。5.已知数列{d_n}的前n项和为S_n=3^n-1，则数列{d_n}的通项公式为（）A.d_n=3^nB.d_n=2×3^{n-1}C.d_n=3^n-3^{n-1}D.d_n=3^{n-1}参考答案：C解析：当n=1时，d_1=S_1=3^1-1=2。当n≥2时，d_n=S_n-S_{n-1}=(3^n-1)-(3^{n-1}-1)=3^n-3^{n-1}=3^{n-1}(3-1)=2×3^{n-1}。验证n=1时成立，因此通项公式为d_n=2×3^{n-1}。选项C正确。6.若数列{e_n}的前n项和为S_n=n(n+1)，则e_5等于（）A.15B.20C.30D.45参考答案：B解析：由数列前n项和与通项的关系，e_n=S_n-S_{n-1}=n(n+1)-[(n-1)n]=2n+1。当n=5时，e_5=2×5+1=11。选项B正确。7.在等差数列{f_n}中，若f_1+f_3+f_5=27，f_2+f_4+f_6=39，则该数列的公差d等于（）A.2B.3C.4D.5参考答案：A解析：由等差数列的性质，f_1+f_3+f_5=3f_1+6d=27，f_2+f_4+f_6=3f_1+9d=39。两式相减得3d=12，解得d=4。选项A正确。8.已知数列{g_n}的前n项和为S_n=2^n-1，则数列{g_n}是（）A.等差数列B.等比数列C.既是等差数列又是等比数列D.既不是等差数列也不是等比数列参考答案：D解析：当n=1时，g_1=S_1=1。当n≥2时，g_n=S_n-S_{n-1}=(2^n-1)-(2^{n-1}-1)=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}。因此数列{g_n}的通项公式为g_n=2^{n-1}。该数列既是等比数列（公比为2）又是等差数列（公差为2^{n-1}-2^{n-2}=2^{n-2}）。选项D正确。9.若数列{h_n}满足h_1=2，h_{n+1}=h_n+2n+1（n∈N），则h_5等于（）A.35B.37C.39D.41参考答案：C解析：由递推关系h_{n+1}=h_n+2n+1，可知h_2=h_1+3=5，h_3=h_2+5=10，h_4=h_3+7=17，h_5=h_4+9=26。因此h_5=39。选项C正确。10.已知数列{i_n}的前n项和为S_n=n^2+n，则数列{i_n}的奇数项之和等于（）A.n^2B.n^2+1C.n(n+1)D.n(n+2)参考答案：B解析：由数列前n项和与通项的关系，i_n=S_n-S_{n-1}=n^2+n-[（n-1）^2+(n-1)]=2n。奇数项为i_{2k-1}=2(2k-1)=4k-2。奇数项之和为i_1+i_3+...+i_{2n-1}=2×1+2×3+...+2×(2n-1)=2(1+3+...+(2n-1))=2×n^2=n^2。选项B正确。二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。将答案填在题中横线上）1.在等差数列{a_n}中，若a_3+a_7=18，则a_5+a_9的值为________参考答案：24解析：由等差数列的性质，a_3+a_7=2a_5=18，因此a_5=9。又由a_5+a_9=2a_7，而a_7=a_3+4d，因此a_5+a_9=2(a_3+4d)=2(a_3+a_7)=2×18=24。2.已知数列{b_n}的前n项和为S_n=3n^2+n，则b_4的值为________参考答案：27解析：b_4=S_4-S_3=3×4^2+4-（3×3^2+3）=48+4-30=22。选项B正确。3.若数列{c_n}满足c_1=1，c_{n+1}=2c_n+1（n∈N），则c_6的值为________参考答案：63解析：由递推关系c_{n+1}=2c_n+1，可知c_n=2^n-1。因此c_6=2^6-1=63。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=6，d_4=54，则该数列的公比q等于________参考答案：3解析：由等比数列的性质，d_4=d_2q^2，代入已知条件得54=6q^2，解得q=3。5.已知数列{e_n}的前n项和为S_n=n^2+n，则e_3的值为________参考答案：8解析：e_3=S_3-S_2=3^2+3-（2^2+2）=12-6=6。选项B正确。三、解答题（本大题共5小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1.已知数列{a_n}的前n项和为S_n=4n^2+2n，求该数列的通项公式a_n。解：当n=1时，a_1=S_1=6。当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=4n^2+2n-[4(n-1)^2+2(n-1)]=8n-2。验证n=1时成立，因此通项公式为a_n=8n-2。2.在等差数列{b_n}中，若a_1=2，a_5=14，求数列的前10项和S_{10}。解：由等差数列的性质，a_5=a_1+4d，代入已知条件得14=2+4d，解得d=3。因此通项公式为a_n=2+(n-1)×3=3n-1。前10项和S_{10}=10×(a_1+a_{10})/2=10×(2+29)/2=155。3.已知数列{c_n}满足c_1=3，c_{n+1}=c_n/2（n∈N），求该数列的前5项之和。解：由递推关系c_{n+1}=c_n/2，可知数列{c_n}是首项为3，公比为1/2的等比数列。因此通项公式为c_n=3×(1/2)^(n-1)。前5项之和为3[1-(1/2)^5]/(1-1/2)=11.3125。4.在等比数列{d_n}中，若d_3=12，d_5=96，求该数列的第三项d_3。解：由等比数列的性质，d_5=d_3q^2，代入已知条件得96=12q^2，解得q=2。因此d_3=12/(2^2)=3。5.已知数列{e_n}的前n项和为S_n=n^2+n，求该数列的前6项之和。解：前6项之和S_6=6^2+6=42。四、应用题（本大题共2小题，共20分）1.某工厂生产一种产品，第一年产量为1000件，计划以后每年比上一年增产200件。求该工厂第5年的产量及前5年的总产量。解：由等差数列的性质，第一年产量为a_1=1000，公差为d=200。第5年产量a_5=1000+(5-1)×200=1800。前5年总产量S_5=5×(1000+1800)/2=8500。2.某城市人口增长率为每年5%，若2020年人口为100万，求2025年的人口数。解：由等比数列的性质，首项为a_1=100，公比为1.05。2025年人口数为100×(1.05)^5≈127.63万。五、证明题