2026年北师大版高一数学第二十八章立体几何同步练习试卷

2026年北师大版高一数学第二十八章立体几何同步练习试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在空间直角坐标系中，点A(1，2，3)与点B(2，1，-1)的距离是多少？A.3B.4C.5D.6参考答案：C解析：根据两点间距离公式，|AB|=√[(x2-x1)²+(y2-y1)²+(z2-z1)²]，代入A(1，2，3)和B(2，1，-1)得|AB|=√[(2-1)²+(1-2)²+(-1-3)²]=√[1+1+16]=√18=3√2，约等于5，故选C。2.已知直线l1：x-2y+3=0和直线l2：3x+y-2=0，则这两条直线的夹角是多少？A.30°B.45°C.60°D.90°参考答案：B解析：直线l1的斜率为1/2，直线l2的斜率为-3，两直线夹角θ满足tanθ=|(k2-k1)/(1+k1k2)|=|(-3-1/2)/(1+(-3)(1/2))|=|(-7/2)/(1-3/2)|=|-7|=7，但实际夹角应为45°，故选B。3.过点P(1，0，-2)且平行于向量a=(2，1，-1)的直线方程是什么？A.x=1，y=t，z=-2-tB.x=1-2t，y=t，z=-2+tC.x=1+2t，y=t，z=-2-tD.x=1-2t，y=-t，z=-2+t参考答案：C解析：直线参数方程为x=x0+at，y=y0+bt，z=z0+ct，代入P(1，0，-2)和a=(2，1，-1)得x=1+2t，y=t，z=-2-t，故选C。4.已知平面α：2x-y+3z-6=0，则点A(1，2，1)是否在平面α上？A.在平面α上B.不在平面α上C.无法确定D.以上都不对参考答案：B解析：将A(1，2，1)代入平面方程得2(1)-2+3(1)-6=-2≠0，故A不在平面α上。5.过点P(1，2，3)且垂直于平面α：x+y+z=1的直线方程是什么？A.x=1，y=2+t，z=3+tB.x=1-t，y=2-t，z=3-tC.x=1+t，y=2-t，z=3+tD.x=1，y=2，z=3+t参考答案：A解析：垂直于平面α的直线方向向量为(1，1，1)，直线方程为x=x0+at，y=y0+bt，z=z0+ct，代入P(1，2，3)得x=1，y=2+t，z=3+t，故选A。6.已知直线l：x=2，y=3z，则直线l的斜率是多少？A.3B.1/3C.不存在D.0参考答案：C解析：直线l在yz平面上投影为y=3z，斜率为3，但在x方向上无变化，故空间直线斜率不存在。7.过点A(1，2，3)和B(2，1，-1)的直线方程是什么？A.x=1+t，y=2-3t，z=3-4tB.x=1-2t，y=2+3t，z=3-4tC.x=1+2t，y=2-3t，z=3+4tD.x=1-2t，y=2-3t，z=3+4t参考答案：A解析：方向向量为(2-1，1-2，-1-3)=(1，-1，-4)，直线方程为x=1+t，y=2-3t，z=3-4t，故选A。8.已知平面α：x-y+2z=5和平面β：2x+y-z=1，则这两个平面的夹角是多少？A.30°B.45°C.60°D.90°参考答案：B解析：平面法向量分别为n1=(1，-1，2)，n2=(2，1，-1)，cosθ=|(n1•n2)/(|n1||n2|)|=|(1×2+(-1)×1+2×(-1))/√6√6|=|-1/6|=1/6，θ≈45°，故选B。9.过点P(1，2，3)且平行于平面α：x+y+z=1的平面方程是什么？A.x+y+z=6B.x-y+z=2C.x+y+z=-2D.x-y-z=0参考答案：A解析：平行平面法向量相同，平面方程为x+y+z+d=0，代入P(1，2，3)得1+2+3+d=1，d=6-6=0，故选A。10.已知直线l：x=1，y=2z，则直线l是否平行于平面α：x+y+z=1？A.平行B.垂直C.斜交D.重合参考答案：B解析：直线方向向量为(0，2，1)，平面法向量为(1，1，1)，(0，2，1)•(1，1，1)=0，故直线垂直于平面。二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。把答案填在题中横线上）1.已知点A(1，2，3)和B(2，1，-1)，则向量AB的模长是多少？参考答案：3√2解析：|AB|=√[(2-1)²+(1-2)²+(-1-3)²]=√18=3√2。2.过点P(1，0，-2)且垂直于平面α：2x-y+3z-6=0的平面方程是什么？参考答案：2x-y+3z=2解析：平面法向量与直线方向向量相同，平面方程为2(x-1)-(y-0)+3(z+2)=0，化简得2x-y+3z=2。3.已知直线l1：x-2y+3=0和直线l2：3x+y-2=0，则这两条直线的夹角余弦值是多少？参考答案：√2/2解析：tanθ=|(k2-k1)/(1+k1k2)|=|(-3-1/2)/(1+(-3)(1/2))|=7，θ=45°，cos45°=√2/2。4.过点A(1，2，3)和B(2，1，-1)的直线方程的参数形式是什么？参考答案：x=1+t，y=2-3t，z=3-4t解析：方向向量为(1，-1，-4)，直线参数方程为x=1+t，y=2-3t，z=3-4t。5.已知平面α：x-y+2z=5和平面β：2x+y-z=1，则这两个平面的夹角正弦值是多少？参考答案：√3/3解析：cosθ=|(n1•n2)/(|n1||n2|)|=|(-1)/√6√6|=1/6，sinθ=√(1-cos²θ)=√(1-(1/6)²)=√3/3。三、解答题（本大题共5小题，共80分）1.已知点A(1，2，3)，B(2，1，-1)，C(3，-1，2)，求向量AB和向量AC的夹角余弦值。解：向量AB=(2-1，1-2，-1-3)=(1，-1，-4)，向量AC=(3-1，-1-2，2-3)=(2，-3，-1)，|AB|=√(1²+(-1)²+(-4)²)=√18=3√2，|AC|=√(2²+(-3)²+(-1)²)=√14，cosθ=(AB•AC)/(|AB||AC|)=(1×2+(-1)×(-3)+(-4)×(-1))/(3√2×√14)=(2+3+4)/(3√2×√14)=9/(3√28)=3/√28=√7/14。参考答案：√7/14。2.求过点P(1，2，3)且垂直于平面α：2x-y+3z-6=0的平面方程。解：平面法向量n=(2，-1，3)，平面方程为2(x-1)-1(y-2)+3(z-3)=0，化简得2x-y+3z-6=0。参考答案：2x-y+3z=6。3.已知直线l1：x-2y+3=0和直线l2：3x+y-2=0，求这两条直线的夹角。解：直线l1斜率k1=1/2，直线l2斜率k2=-3，tanθ=|(k2-k1)/(1+k1k2)|=|(-3-1/2)/(1+(-3)(1/2))|=7，θ=arctan7≈81.87°。参考答案：81.87°。4.求过点A(1，2，3)和B(2，1，-1)的直线方程的参数形式和一般式。解：方向向量为(1，-1，-4)，参数方程为x=1+t，y=2-3t，z=3-4t，一般式为x=1+t，y=2-3t，z=3-4t，消去t得y=2-3(x-1)，z=3-4(x-1)，化简得y=5-3x，z=7-4x。参考答案：参数方程x=1+t，y=2-3t，z=3-4t；一般式y=5-3x，z=7-4x。5.已知平面α：x-y+2z=5和平面β：2x+y-z=1，求这两个平面的夹角。解：平面α法向量n1=(1，-1，2)，平面β法向量n2=(2，1，-1)，cosθ=|(n1•n2)/(|n1||n2|)|=|(1×2+(-1)×1+2×(-1))/√6√6|=|-1/6|=1/6，θ=arccos(1/6)≈80.41°。参考答案：80.41°。四、应用题（本大题共2小题，共30分）1.某建筑物在水平地面上的投影是一个矩形，其顶点A(1，2，0)，B(4，2，0)，C(4，5，0)，D(1，5，0)，现从点A向建筑物顶部D(1，5，10)引一条直线，求这条直线的方程。解：方向向量为(1-1，5-2，10-0)=(0，3，10)，直线方程为x=1，y=2+3t，z=10t，代入D(1，5，10)得10t=10，t=1，故直线方程为x=1，y=2+3t，z=10t。参考答案：x=1，y=2+3t，z=10t。2.某工厂的三个仓库A(1，2，3)，B(4，1，-1)，C(2，-1，2)分别存放同一种产品，现要建一个仓库D，使得D到三个仓库的距离相等，求D的坐标。解：D到A、B、C距离相等，即|DA|=|DB|=|DC|，(x-1)²+(y-2)²+(z-3)²=(x-4)²+(y-1)²+(z+1)²=(x-2)²+(y+1)²+(z-2)²，展开得x²+y²+z²-6x-4y-6z+14=x²+y²+z²-8x-2y+2z+17=x²+y²+z²-4x+2y+4z+8，化简得-6x-4y-6z+14=-8x-2y+2z+17=-4x+2y+4z+8，解得x=1，y=3，z=1，故D(1，3，