考研数学二（解答题）模拟试卷311

考研数学二（解答题）模拟试卷311

一、解答题（本题共20题，每题1.0分，共20分。）

1、设函数/（Z）=（1+/）'（1＞（））'证明：存在常数A,B,使得当X-0+

时，恒有f（x尸e+Ax+Bx2+o（x2）,并求常数A,B.

标准答案：

/（X）=（1+/）+=看%'〜'

=e•J14--5+£+0(/)+：一卷+千+。3)+o(/2)

co4！乙J

1—三+工+-!-工+0(.X2)e-+。(M)，

十^r-x+

232!4,LZ4

/=-级=乐

知识点解析：暂无解析

2、（1）如果矩阵A用初等列变换化为B,则A的列向量组和B的列向量组等

价.（2）如果矩阵A用初等行变换化为B,则A的行向量组和B的行向量组等价.

标准答案：（1）利用初等变换与初等矩阵的关系，当矩阵A用初等列变换化为B

时，存在一系列初等矩阵Pi，P2，…，P«,使得AP1P2…P后B.由于P|P2…P*是

可逆矩阵，于是A的列向量组和B的列向量组等价.（2）当矩阵A用初等行变换化

为B时，存在一系列初等矩阵Pi，P2，…，Ps，使得PS...P2PIA二B.由于

Ps…P2Pl是可逆矩阵，于是A的行向量组和B的行向量组等价.

知识点解析：暂无解析

3、设n阶矩阵A及s阶矩阵B都可逆，求⑴[:"31

OA工札-―矩

标准答案：（1）将BO

阵，X3为sxs矩阵，X4为sxn矩阵，由矩阵互逆的定义可得

r04.]产*1.八产0]

BX"I

X4JIBy21o旦

由此得

=&=*3=A“；

（AX3

AX.=0=X4-0（A存在);

BX,=O=M=0（8存在);

18*2

=E,=X1=Bl.

瞰：r=i：o」

⑵将

AO

CB

其中，X］为nxn矩阵，X2为nxs矩阵，X3

为sxn矩阵，X4为sxs矩阵,由矩阵互逆的定义可得

XAXAX

[4.・。叫产2]E_[l21_产

XJ~'ex,4-BXyCX2BXj~IO

由此得

A%=E.n乂=4・'（47存在）；

AX=O=>Xj=o；

<2

CX\+RX3=0nM=-8"CA'S1存在）；

CX2+BX、=E,=K=8'（B”存在）.

故—[…。].

L"L_81cATe”

知识点解析：暂无解析

e万。业

4、求J

标准答案：<^2x-l-Oe^+C

知识点解析：暂无解析

5、设y=y(x)由x2y2+y=l(y>0)确定，求函数y=y(x)的极值.

标准答案：x2y2+y=l两边关于x求导得

2.ry2+2/外'+/=0♦解得/=一。

由丁'=----「=。得一=0.

1+2工y2xy2+2x2yy,+y,=0两边对x求导得

2y2+8xyy,+2x2y,2+2x2yy"+y,,=0,将x=0,y=l,/(0尸0代入得尸(0尸一2<0,故

x=0为函数y=y(x)的极去值点，极大值为y(0)=l.

知识点解析：暂无解析

6、设4阶矩阵A满足A3=A.⑴证明A的特征值不能为0,1,和一1以外的

数.(2)如果A还满足IA+2EI=8,确定A的特征值.

标准答案：(1)由于A3=A,A的特征值入满足2?=A,从而A只能为0,1或一1(但

并非0,1,一1都一定是A的特征值！).(2)由A的特征值不是0,1,—1外的

数，得知A+2E的特征值不是2,3,1之外的数.又由于IA+2EI=8,必有A+2E

的特征值为2,2,2,I,从而A的特征值为0,0,0,-1.

知识点解析：暂无解析

设f(x)为连续函数，证明：

7、Jo7lxf(sinx)dx=Zh/KsinxjdxuTiJ。f(sinx)dx；

标准答案：令rk/xHsinxjdx,则【To'xKsinxWx“)(兀-1)f(sim)(-dt)=J(F(m

t)f(sint)dt=fo，l(^-x)f(sinx)dx=7cfo7If(sinx)dx-Jo7lxf(sinx)dx=7rfo7tf(sinx)dx-L则

2L/

I=Jo"xf(sinx)dx=2J()'f(sinx)dx=7iJ。f(sinx)dx.

知识点解析：暂无解析

8、fo2nf(IsinxI)dx=4Jof(sinx)dx.

标准答案：(产f(IsinxI)dx=L『f(IsinxI)dx=2jo'f(IsinxI)dx=2fo7If(sinx)dx=4J«

f(sinx)dx.

知识点解析：暂无解析

9、设|i=f(x,y,z),(p(x2,ey,z)=0,y=sinx,其中f,甲都具有一阶连续偏导数，

』六°。求坐

且血也。

标准答案：在等式「fix,y,z)的两端同时对x求导数，得到如下等式

业;亚+亚・叱+亚・农亚

dxdxdydxdzdx而dx=cosx,再在等式中依?，ey,z)=0的两端同时对x

e，立+，.农2£-.X

求导数，得到（P1'.2X+02'.EDX仍•业=0,解得心夕；

他二亚+亚

（2x（pi+eyq）2cosx）,因此，可得"3”ay（2x（pi+e'"x（p2cosx）。

知识点解析：暂无解析

110"

4=120

10、设矩阵1。02」，三阶矩阵B满足ABA*=E—BA-I,试计算行列

式IBI。

标准答案：矩阵方程中出现了矩阵A的伴随矩阵A*与A一］，故考虑先将等式化

简。由于A*A=IAIE=2E,A-1A=E,故在等式ABA*=E-BA—两边同时右乘

A,可得2AB二A—B,则有（2A+E）B=A。以上等式两边取行列式得I2A+EII

2

BI=IAI=2,易求得I2A+EI=55,因此|BI=55。

知识点解析：暂无解析

11、设A是3阶矩阵，交换A的1,2列得B,再把B的笫2列加到笫3列上，得

C.求Q,使得C=AQ.

标准答案:用矩阵分解.记A=（ai，a2,a3）,则B=（a2，川，。3），C=（a2，aj,

oir

C=A100,

-001-

oir

得Q=ioo.

ai+a3）.于是L。01-

知识点解析：暂无解析

12、M22(3x+l)max{2,£)敢

标准答案：因为max(l,/)是偶函数，所以

max(l,x2)dx=2fmax(l,x2)dx=2idx+x，dx

0(£f)

=2(1+—)=—

,/3.尸(3人

l)max{2,x2}dx=f-22max{2,£}d%=2j()2max{2,£}d1,由max{2,%2]=

2,0<x<V2,

I

L,72Vn42得

「(3x-|-l)max{2,x2}dx=2/2dz+2「x2dx=4③+小小三2#)=迟匕普'

J-2Jo34133

知识点解析：暂无解析

+4=1,

+2〃aZZ3,

+442,

5

13、求线性方程组(3盯-町+3〃=的通解，并求满足条

件X』=X22的所有解.

标准答案：对增广矩阵作初等行变换，有

1-12i：r■1-121：r1-121：r

11

2-112；301-30j101-30ii

--Q■

▼Fj0

10-11\201-30!10000

i1

-3-103：5--02-60：2」-0000•0」

方程组的解:令X3=0,X4=0得X2=l»xj=2.即a=(2,1,0,0)T.导出组的解:

T

令X3=l,X4=0得X2=3,XI=1.即r|1=(1,3,1，0);令X3=0，X4=l得X2=0,

xi=l.即n2=(-l，o,0,1)T.因此方程组的通解是：(2,1,0,O)v+kj(l,3,1,

T

0)+k2(-l,0,0,1)二而其中满足XI2=X2?的解,即(2+ki-k2)2=(l+3ki)2.那么

2+ki-k2=l+3ki2+ki-k2=-(l+3ki),BPk2=l-2kik2=3+4ki.所以(1,1,0,

l)T+k(3,3,1,-2)丁和(-1,1,0,3)T+k(-3,3,1,4户为满足X/MXZ?的所有解.

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14、已知n阶矩阵

10…0-

11­••0

A=....

•••

.11-1-

求|4|中元素的代数余子式之和*第i行元索的代数余子式之和方^,“=1,2广・通及主

・1)-1;«1

对角元的代数余子式之和*A..

标准答案：AA*二IAIEI=E,

-100-O-

—1100

A*f0—110=(AQ・X・

••••

••••

-000-1.

由A•可知8

==1,次4["'WA.=几

t«l>-1）-110,11T

知识点解析：暂无解析

广C]

15、设D=1（7T8」是正定矩阵，其中A,B分别是m,n阶矩阵.记P=

Em-A"。

*

0£"⑴求pTDP.⑵证明B-CTA"C正定.

标准答案：（l）pT）DP=

T

-cl"EJIC/IOEn-"o月-CTA"CI（2）因为D

为正定矩阵，P是实可逆矩阵，所以PTDP正定.于是由上例的结果，得R—EA-

】C正定.

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•彳COSNCLZ

16、设连续非负函数敢）满足f（x）f（-%）=l,求JT1十/（Z）

标准答案：

号cosxdx_户「cos*,cos（­x）~1,

.T1+/G）-J。L1+/（Z）1+f（一-」

cosxcosz

l+/(x)cosjrdx=1.

1+fk).0

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TT,

17、设a=[ai，a2,...»an]/0,A=aa,求可逆阵P,使PAP=A.

标准答案：（1）先求A的特征值.利用特征值的定义.设A的任一特征值为入，对

应于X的特征向量为0则Ag=aaT&=优.①若aT^=0,则a=0,寻0,故X=0；

若cJ导0,①式两端左乘0r,则aTaaT&TaTcOa1rq=入（/《）.因『匕翔，故入=/01=

小。⑵再求A的对应于大的特征向量.当网时

一己他

(AE-A)X=

即解方程

得特征向量为（设ai#O）。=团，-ai，0,…，0]「,

a1x1+a2X2+…+anxn=0,

12=描，0,一ai，…：0/，[n—1=[^n9°，0,

当久=时

X。：-a：一。1。2一对小

i-1

£屋一雄•••一

(AE-A)X==0.

•••Xi-冰

一a】Q”一。2ali

ai]Ti-i由观察

T

知（n=[ai，a2，…，an].（3）由小，及，…,圆得可逆阵

a3…

0…0

P=00

Lo0

且

ro

o

o

Sa'

p.

知识点解析：暂无解析

18、设A为n阶矩阵，证明：r(A)=l的充分必要条件是存在n维非零列向量a,

0,使得人=印片

标准答案：设r(A)=l,则A为非零矩阵且A的每行元素都成比例，

A=apT,显然a,。为非零向量.设人=。尸，其中"p为非零向量，则A为非零矩

阵，于是r(A)21,又r(A)=r(apT)<r(a)=l,故r(A)=1.

知识点解析：暂无解析

19、设A是n(n23)阶矩阵