第08讲拓展一基本不等式

第08讲：拓展一：基本不等式

目录

基本不等式必背知识.........................................1

基本不等式高频考点类型.....................................3

类型一：直接法..........................................3

类型二：凑配法..........................................5

类型三：分离法..........................................8

类型四：换元法.........................................10

类型五：常数代换“1”的代换............................12

类型六：消元法.........................................14

类型七：对钩函数.......................................17

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基本不等式必背知识

1、基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱）

①如果。>0,b>0,4^b<—,当且仅当。二〃时，等号成立.

2

②其中疝叫做正数。，〃的几何平均数；手叫做正数。，8的算数平均数.

2、两个重要的不等式

①。2+户22,山（a,bwR）当且仅当〃=/?时，等号成立.

②而（"Z7wR）当且仅当。=力时，等号成立.

2

3、利用基本不等式求最值

①已知x,y是正数，如果积•^等于定值p,那么当且仅当x=y时，和x+y有最小值24；

②已知x,y是正数，如果和x+y等于定值s,那么当且仅当工=>时，积八下有最大值2_；

4

4、对钩函数:

对钩函数是一-种类似于反比例函数的一般双曲函数，是形如：/（r）=r7r+-（a>0>0）的函数住图

x

象得名，又被称为：“双勾函数”、“友号函数”、“双飞燕函数”、“耐克函数”等.

常考对钩函

f{x}=cix+—(«>0,Z?>0)f(x)=x+-(4>0)

函数数

定义域(-a),0)U(0,+oo)定义域s,o）u（o*）

值域(-00,-2\[ab]\J[2\fab,+oo)值域(Y,-2]U[2,+OO)

奇偶性奇困数奇偶性奇困数

f（x）=ax+2在/（幻=工+且在（-00,-&）,

单调性X单调性X

（一8,一（.’+00）上单（、石,+8）上单调递增：在

（一&,0）,（0,6）单调递减

调递增：在（-R。）,

（0,e）单调递减

5、常用技巧

利用基本不等式求最值的变形技巧——凑、拆（分子次数高于分母次数）、除（分子次数低丁分母次数）

）、代（1的代入）、解（整体解）.

①凑：凑项，例：x+—!—=x-a+——+a>2+a=3（x>a）；

x-ax-a

凑系数，例：JI（1-2x）=—•2x（1-2x）<—-2,*1_—=10<x<—：

'，2'72I2）2）

上/-4+4…2+」L=i-

②拆,例:d>27T+4=8(x>2)«

x—2x—2工一2x—3

2x2z、

.I-=j-W](x>(J)

③除：例/T：v+lI'7

XH----

X

④1的代入：例：己知。>0力>0,々+人=1,求'的最小值.

ab

解析：-+-=（-+-）（^+Z?）=2+-+->4.

abahab

⑤整体解：例：已知。功是正数，且c力=。+/?+3,求。+〃的最小道.

解析：・・・〃〃4（，），.•.（审JNa+〃+3,即^（a+b）2-（a+b）-3>0

解得

〃+/?26（〃+b《-2舍去）.

基本不等式高频考点类型

类型一：直接法

典型例题

例题1.（2023・高一课时练习）下列不等式中正确的是（）

A.a-f-->4B.x2+-^->2x/3C,y[ub>—^―D.a'+b2>4ah

ax~2

【答案】B

4

【详解】A.当〃<。时，。+一<0,故错误：

a

B.八三22■•三=26,当且仅当F=W，即土石时，取等号，故正确：

rVA'厂

C.当”>0,。>0时，而W等，故错误：

D.由重要不等式得力+从之故错误:

故选:B

例题2.（2023♦高一课时练习）下列命题中，正确的是（）

1r2-1-2

A.x+士的最小值是2B.十L的最小值是2

xVx2+1

x2+54

C.的最小值是2D.2-3x—的最小值是2

\!x2+4x

【答案】B

【详解】对于A,D：不能保证x>0,故错:

湍=卷河-

对于B：7+2当且仅当x=0时取等号，故正确;

对于C:y==J/+4+/J,令［=6+4，则的，

Jf+43+4v

则产f+L），'=1-"之0,所以产/+［在［2,+纥）上是增函数，

所以y+；在［2,同上的最小值是2+白|,故C错；

故选：B

例题3.（多选）（2022秋•广东江门•高一新会陈经纶中学校考阶段练习）下列命题中正确的是（)

A.当xeR时，x+—>2

B.若X>0,则y=x+■!■的最小值是2

X

C.当x>0时，«+~^=之2

D.广匹十号的最小值是2

【答案】BC

【详解】若x=T，则x+,=-2,显然不满足x+122,A错误:

xx

若x>0，则y=x+：22F1=2,当且仅当x=l时取等号，最小值是2,B正确:

若x>0,则4+七22

2,当且仅当x=l时取等号，最小值是2,C正确:

若』>0,贝ijy=dx2+3++3，=2,当且仅当V?0=不高即丁=_2时取等号,

6+3?73

显然V=-2无解，故取不到最小值2,D错误.

故选：BC.

练透核心考点

1.（2023•全国•高三专题练习）当0<x<2时，N2-幻的最大值为（）

A.0B.IC.2D.4

【答案】B

【详解】vO<.r<2,:.2-x>0,又x+(2-x)=2

.•.1（2_外上+（27",当且仅当x=2-x,即x=l时等号成立,

4

所以x（2-x）的最大值为1

故选：B

2.(2023・全国•高三对口高考)下列结论正确的是()

，有最小值

A.y=x+2B.有最小值2

x

C.如<。时，)，=3+与有最大值2D.、>2时，…+W有最小值2

【答案】C

【详解】解：对于A,没行说，是正数，所以…+：可以取到负值，故A错误:

要八匹十号取到最小值2,需满足内二高’此时入一，不可能成立，故

对于B,

B错误：

对于C,2>o,y=-+^=-[(--)+(-y)l<-2./(--).(-7)=-2,当J1.仅当2=-1时，等号成

立，故C正确；

对于D,y=x+—=x-2+—+2>2j(x-2)--+2=4.故D错误.

A-2x-2Vx-2

故选;C.

3.(2022秋•安徽•高三蚌埠二中校联考阶段练习)下列几个不等式中，不能取到等号的是()

向之工工

4x+1B.IM+2.(0)

A.五22(x>0)

4rD.VA2+5+.\>2(xeR)

C.-------^l(x<0)

x16V)\lx+5

【答案】D

【详解】对A,当且仅当4即x=l等号成立:

2

对B,当且仅当W=M即X=±及等号成立;

4x

对C,当且仅当即x=-8时等号成立；

x16

对D,当且仅当=7七得』=-4时等号成立，无解，等号不成立.

故选：D.

类型二：凑配法

典型例题

例题1.（2023秋•广东广州•高一统考期末）已知x<0,则丁?--x的最小值为（）

\-x

A.2V2B.4

C.2V2+ID.2>/2-l

【答案】D

【详解】因为x<0，则1一4>1,—--X=—+（1-A-）-1>2J--（1-A）-1=272-1,

1-x1-xV1-x

9

当且仅当片=1T,即X=l-0时取等号，

1-X

所以的最小值为20-1.

故选：D

例题2.（2023秋•浙江•高三校联考期末）已知则a+二的最小值为（）

a-\

A.8B.9C.10D.11

【答案】B

【详解】因为。>1，

所以由“+至=〃一1+至+122、/（“一1）・生+1=9,当且仅当“一1=①-时取等号，即。=5时取等号，

fl-1a-\Va-\a-\

故选：B

o

例题3.（2023秋•山西吕梁•高一统考期末）设〃?>3,P=，n+—,。=9,则P,Q的大小关系为

rn-3

（）

A.P〈QB.P-QC.P>QD.P<Q

【答案】C

【详解】因为〃?>3,所以P=m+—2—=〃L3+9+3>2.（/fi-3）•——+3=9=Q,

in-3tn-3Vm-3

9

当且仅当〃?-3=-即，〃=6时等号成立，

m-3

故选：C.

例题4.（2023秋•安徽六安•高一金寨县青山中学校考期末）已知x>2,y=4x+工，则）'的最小值为

x-2

（）

A.8B.10C.12D.14

【答案】C

【详解】因为x>2」x-2>0,

.•.y=4x+—!—=4（x-2）+—!—+8>2J4（x-2）x^—+8=12,

x-2x-2Vx-2

当且仅当4（x-2）=一二，即x=<时取得等号，

A-22

即y的最小值为12,

故选：c

练透核心考点

1.（2023秋•北京丰台•高一统考期末）已知”>2,则。+一二的最小值为（）

。一2

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【详解】因为〃>2.所以〃一2>0,

贝|」。+—^=”-2+—^+2之2，/（。-2）•——+2=4

a-2a-2Va-2

（当且仅当。-2=工，也即。=3时取等号）

a-2

所以。+一二的最小值为4»

a-2

故选：C.

2.（2023秋•河南焦作•高二温县第一高级中学校考期末）已知函数），=x+—三（x>2）,则此函数的最小

X—2

值等于（）

【答案】D

【详解】•/x>2,:.x-2>0,

y=x+-=x-2+—+2>2.（x-2）—+2=6（当且仅当x-2=士，即x=4时取等号），

x-2x-2Vx-2x-2

4

.--y=x+一^（x>2）的最小值为6.

故选：D.

3.（2023秋•四川眉山•高一校考期末）已知x>1,则〃x）=x+^的最小值是；

【答案】3

【详解】/（X）=A：4--！-=x-l+—!—+l^2J（x-l）•—!—+1=3r当x-l=—即x=0,x=2时取等号,

又K>l,故当X=2时取得最小值3.

故答案为:3.

4.（2023秋•海南僧州•高一校考期末）已知函数/（x）=x+」J,且/⑵=6.

x-\

⑴求a的值:

(2)当X>1时，求函数J(x)的最小值.

【答案】⑴4

(2)5

【详解】(1)由题意可得：/⑵=2+〃=6,解得〃=4.

4,、4

(2)由⑴可得：/(x)=x+---=(%-1)+----+1,

x-1x-\

■：x>\,则KT>0,

/(x)=(x-l)+—+1^2./LY-1)X^—+1=5,当且仅当x-l=—L,即％=3时等号成立,

x-\Vx-1A-1

所以，函数人丫)的最小值为5.

类型三：分离法

典型例题

例题1.(2023险国高三专题练习)若函数"X)=r—(x>2)在*=〃处取最小值,则。=()

X—2

A.1+75B.2C.4D.6

【答案】C

【详解】由题意，x-2>0,而〃"=/_2/+4=(」—2)2+2(.―2)+4…2+」_+2

>2J(x-2)x—+2=6,当且仅当工一2=—即x=4时，等号成立，

Tx-2x-2

所以a=4.

故选：C.

例题2.(2022秋•云南楚雄•高一云南省楚雄第一中学校考阶段练习)函数/(.『1;a0)的

最小值是()

A.-1B.3C.6D.12

【答案】A

【详解】〃x)=J；：+3=(x+l)+击—7(x..O).

因为x.O所以x+l+—..2x/9=6,「当且仅当x+l=3,即x=2时，等号成立).

A+1

故最小值为-1,

故选：A

例题3.(2022秋•上海浦东新•高一校考期中)函数"一"的值域是__________.

A--x+4

【答案】一（252

【详解】当x=0时，）=0

当.-0，，-_%+4=4.

X-I+一

X

若x>0时，=当且仅当x，即x=2时等号成立，此时

2/22.

v=----------<=—.2

-%_1十日_4T3,即0<），用.

X

若x<0时，尤+：=-（­）+卜力K_2j（r）[_g=-4,当且仅当T=一；即x=-2时等号成立，此

2>2=2

y-

^~..4--4-15,即一74y<0.

x-n—5

x

22

综上所述，函数的值域为一1?

-22'

故答案为：一

练透核心考点

7则/有（）

1.（2023・全国•高三专题练习）若木…耳，

x-3

A.最大值I*B.最小值I*C.最大值2D.最小值2

【答案】D

【详解】1-'x,x—3>0,

.丁一61+10(X-3)2+1/.1、」7；I-c

'•/。)=-----r—=-------勺一=(x—3)+-->2J(x-3)x--=2，

X—3A-3x—3Vx—3

当且仅当X-3=一二，即*=4时，等号成立，即"％）有最小值2.

故选：D.

2.（2023•全国,高三专题练习）若对任意x>0,尸+5/+4工2如2恒成立，则实数。的取值范围是

【答案】（—>,9]

2

【详解】因为对任意x>0,x，+5/+4x2aF=厂>5*+、2、恒成立,只需满足〃工x+5x+4

X

因为x>0,所以厂+5-'-4=、+3+5.2、口+5=9,当且仅当x=±,即x=2时取等号.

XX\XX

故实数a的取值范围是（-8,9].

故答案为:S，9]

3.（2022秋・安徽滁州•高一校考期中）已知%>1,J-2X+3的最小值为____________

x-1

【答案】2拒

【详解】由x>l,则/_2』+3="-1）_+2=,_[+32/.3=2&，

x-ix-1x-\V7x-i

7

当且仅当x-l=f■时，即1=应+1时取等号，此时取得最小值2忘.

故答案为：2后

4.（2022秋•江苏镇江•高一扬中市第二高级中学校考期中）

求函数），=1+7X+10（x>t）的最小值.

x+1

【答案】9

【详解】因为x>-l,所以x+l>0

所以立空型=也止区2=（川）+_1_+5之2而二三+5=9,

X+lX+\">X+lVx+l

4

当且仅当x+l=--，即x=l时，等号成立，

X+1

故函数y=,r+7v+l0（x>T）的最小值9.

x+\

类型四：换元法

典型例题

例题1.(2023•全国•高三专题练习)设正实数X，)'满足不等式二+彳一之，〃恒成立,

2>,-12A-I

则力的最大值为()

A.8B.16C.2\［2D.4&

【答案】A

［详解］设)」l=〃,2x_l=a,则)，=8+1传>0),x=；(a+l)(a>0)

所以4/V_(a+l)2(力+1)2(a+l)(b+l)"+(a+〃)+l

y-12x-\ba&ib&ib

=2隔+提+需卜2(2^J+喘卜2.(2+2)=8

当且仅当。=。=1即工=2,），=1时取等号

所以生+彳二的最小值是2,则小的最大值为8

y-12x-l

故选A

例题2.（2022秋・福建泉州-高三校联考期中）函数/（x）二R±；在（L”）上的最大值为

2x~-A+1

3

【答案】y

3r-3

【详解】解：因为/（x）=c；,，xe（l,+oo）,令x—l=f,则经0,

2储一*十|

/⑺=_______________37_3w3__2

则八/2"+小（,+］）+|一2八31+2一力+3+12居+3-7，

2

当且仅当2/=-，，=1即x=2时，，等号成立.

t

故/。）的最大值为3.

3

故答案为：y

v-2v

例题3.（2023•全国•高三专题练习）若实数xy满足2/+冲_丁=1,则5/-2守；2丁的最大值为

【答案】叵

4

【详解】由2/+冲一），2=1,得（2x-y）（x+），）=l,

设2x-y=/,x+y=！，其中rwO.

贝ijx=；f+J,y=,从而%-21=l-L5x2-2xy+2y2=r.

itaJtt

记〃=」则、JO：二号,

t5x-2xy+2yw+2

ii__75

不妨设u>0,则〃42一24,

♦2g

当且仅当〃=2,即〃=夜时取等号，即最大值为也.

U4

故答案为：立.

4

练透核心考点

1.（2022秋•湖北襄阳•高三枣阳一中校考阶段练习）函数》=立心（工>2）的最小值为______

x-2

【答案】7

【详解】令人-2=hr>0：则

X24X-5(t+2)2+t+2-5Z2+5/+11

-------=--------------=-------=，+-+527

x-2ttt

(当且仅当1=1,即x=3时，等号成立)，

故函数/(%)=.'+'-5,x«2,+动的最小值为7

故答案为：7

2.(2022春陕西西安高一长安一中校考阶段练习)函数的最小值为一.

【答案】8

【详解】因为x>l,令r=x-1>0,则x=f+l,

y-.rrio-/、x*+8.―za-/、(/+1)'+8/'+2/+99

乂因为/(%)=-可r得/(/)=--——=——-——=t+-+2,

因为1+号之2^^=6,当且仅当/=，时，即1=3,即x=4时，等号成立，

所以/0L=8,即f(%)的最小值为8.

故答案为：8.

类型五：常数代换“1”的代换

典型例题

例题1.(2023春・河南信阳-高一统考开学考试)若xe[l,3),则弓十一一的最小值为(

)

A3-x

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【详解】由xe[l,3),所以x>0,3-x>0.

414(3r)4(3-尤)

所以一+=3,

x3-xX4

当且仅当FT箜m’即修时，等号成立,

所以生4+9|一的最小值为3.

x3-x

故选：C.

例题2.(2023秋•内蒙古阿拉善盟♦高一阿拉善盟第一中学校考期末)己知正数加，〃满足2'"x4"=2,

则上1+士2的最小值为()

nin

A.3B.5C.8D.9

【答案】D

【详解】由正数小，〃满足2mx4"=2,即2Mx2?"=2m=2,所以〃什2〃=1,

所以_1+2=(团+2〃)(_1+2]=5+&+型25+2庐＞＜型=9,

mn\mn)mnvmn

当且仅当巴=竺，即加=〃=:时，取得等号.

mn3

故选：D.

91

例题3.（2。23春•天津•高三校联考期末）已知…—，则^的最小值为—

【答案】^##1.6

【详解】因为“+给=1，所以（a+2）+（2+2）=5.

2(a+2)I2(2〃+2)K」2回+2)2(劝+2)、8

»+2"2厂51V2b+2"2J5

当且仅当，，号力M时等号成立•

91Q

故不+占的最小值为

a+2b+15

故答案为假.

练透核心考点

12

1.（2023春•海南•高一统考学业考试）设x>0,）>0,且x+2y=2,则一+二的最小值为（)

入y

II

A.4C.5D.~2

【答案】B

【详解】因为x>0,y>0,且x+2y=2,则有q+y=l,

乙

因此，+2=（_1+2）（；+），）=1+2+二+22与+2、口=3+2=3,当且仅当上=三,即x=y=］时取等号,

A:yxy22A）；2yxy22Ay3

所以上+工的最小值为］

vy2

故选：B

2.（多选）（2023春・广东东莞•高一校考阶段练习）已知正数x,y满足x+y=2,则下列结论正确的是

（）

A.岁的最大值是1B.f+f的最小值是4

c.X（y-1）的最大值是:D.的最小值是1

【答案】AC

【详解】正数X,），满足x+y=2.

对于A：2=x+）后2向，所以—41.（当且仅当x=y=l时"=”成立）.

所以冷'的最大值是1.故A正确；

对于B：因为x+y=2,所以（x+»=4,所以4=（x+»=/+），2+2.9“212+尸），所以丁+丁之？（当

且仅当％=户1时”'成立）.故B错误：

对于C：因为正数为y满足x+），=2,所以x=2-），，其中0<），<2,

所以x（y-i）=（2-y）（y-=+3）1-2=一（,一3）+1,

所以当y=.时，x（y-i）的最大值是:故c正确；

24

对于D：因为正数工，y满足x+y=2,所以半=i,

故口错误.

故选：AC

3.（2023・贵州贵阳•统考一模）正实数小。满足;+：=1,则。+助的最小值为__________

4ab

【答案】—##6.25

4

【详解】解:由题得。+4〃=（〃+46）（」-+3="+q+22"+2、印=生.

4ab4ba4\ba4

525

当n.仅当时，取等号，所以a+4〃的最小值为

44

25

故答案为：T

类型六：消元法

典型例题

例题1.（2023秋•天津•高三统考期末）若x>0,y>0,x+2），=l,则与二的最小值为_______

2xv

【答案】2+石##&+2

【详解】因为x>0.），>（），A+2.y=i,

]+)J_x+2y+)J1[|।y

所以

2xy~2xy~2yx2x

又因为x+2y=l可得），=宁,

\-x

所以1+y_11y_1I21l-x

--------------1----1------------1---十---+—+-----

22yx2x2yx2x2yx4.v

151

2yx4x42y4x4

x,55y

又因为HL』",)7—+1+—+—

2y4.v2y4x7-2y42x

、c/x5y,5,

22i—■—+1—=2

丫2y2x4・争9号哈

二二生工=5-2逐

当且仅当2y2x即时取等,

y=>/5-2

x+2y=1

贝IJU」+工，之舟2，=、5+2,

2xy2y4x444

所以守的最小值为6+2.

2xy

故答案为：V5+2.

例题2.（多选）（2023秋•安徽黄山♦高一统考期末）已知〃>0、b>Ota+2b=ab,则下列说法正

确的是（）

A.a>2,h>\B.曲的最小值为8

C.。+力的最小值为3D.（。-2>+9-1）」的最小值为4

【答案】ABD

【详解】因为4+幼="，所以。=，7>0且。>0,可得。>2.

。一2

又。=3>0且b>0,可得〃>1,故A正确；

b-\

H=a+2/*2G^,即H*8，当且仅当匕=2,a=4时等号成立，故B正确;

21

因为4+%=。。，所以一+1=1.

所以a+〃=m+〃椁+1）=3+/+,3+2栏］=3+2近,

当且仅当。=2+应,〃=及+1时等号成立，故C错；

将6=号代入(a-2)2+S—1)2,可得(a_2/+(〃-1)2—(4_2)2+(_^_1)

>2(a-2『x----=4

当且仅当a=2+五时等号成立，此时〃=&+l，故D正确.

故选:ABD.

练透核心考点

17//

1.(2023•全国•高三专题练习)设。>0,b>0,且2a+〃=l,则一十二二()

A.有最小值为2a+1B.有最小值为正+1C.有最小值为―D.有最小值为4

【答案】A

【详解】解：因为a>0,b>0,且加+〃=1,

所以b=1-2a,

g、I2a12a

aa+ba1-a

1-2(l-o)+2126

a\-aa\-a

fl2>、\-a2a

U\-a)Kfa\-a

■后晤2日

当且仅当上"-3,即a=T+JI时，等弓成立，

a1-4

所以，+乌7有最小值为2&+1，

aa+b

故选:A

2.(2023•全国•高三专题练习)已知"0,b>0,a+b=2,则四业+：的最小值为(

a+1b

D.3

【答案】B

【详解】解：因为“+。=2,所以。=2—

...2(i+b12«+2-aIa+2I.11

则----+-=---------+-=----+-=1+---+-,

</+1ba+1ba+\b«+lb

因为，+』当_。4(0+»)72+2+喀］山2+2户亘

a+1b3［。+1b)'73(a+\bJ3(Ya-Ib)3

当且仅当一1=噌，即。=1力=?时，取等号,

a+1b22

所以现¥+1的最小值为

6/+1b3

故选:B.

类型七：对钩函数

典型例题

例题1.（2023春•安徽芜湖•高一安徽师范大学附属中学校考阶段练习）已知则函数

）『。"+士（

).

COSX

A.有最小值4B.有最大值4C.无最小值D.有最大值5

【答案】C

44

【详解】因为xwp],令，=COSX«0,1）,则y=f+-,由于），=f+-在fw（O,2）单调递减，在/€（2,物）

单调递增，故y：在，《0,1）单调递减，故），=/+：>5

故选：C.

例题2.（2023•高一课时练习）下列函数的最小值为2的是（)

.x2x2+5

A.y=--

+B.尸E

D.y=x-l+—!—(x>2)

C.y=x+3+——-(A>-3)

x-l

【答案】C

【详解】对于A,当x<0时，函数y=]+2没有最小值，故A错误:

X

对于以八料屈*，

因为>/f+4之2,

根据对勾函数的性质可得y=4r7+1、5

E*故B错误;

对于C,因为x>-3,x+3>0,所以y=x+3+—]二A2,当且仅当x=-2取等号，故C正确：

x+3

对于D,y=x-\+-^->2,当且仅当x=2取等号，又x>2,故等号不成立，故D错误.

x-l

故选：C.

例题3.（2023秋•湖北•高一湖北省黄梅县第一中学校联考期末）若TxeCl」）,/一.—2a<0,则”的

取值范围为.

【答案】

【详解】解法L

工日、-1,1)时，2—AG(1,3),W!|x2-ar+2«<0>即a(2—x)<-