苏科版数学九年级下册第8章统计和概率的简单应用章末重难点题型(举一反三)(原卷版)

统计和概率的简单应用章末重难点题型【举一反三】

【苏科版】

分诗点］

0沏分刑

【考点1调查方式】

【方法点拨】全面调查：考察全体对象的调查方式叫做全面调查。

抽样调查：一种非全面调查，从全部调查研究对象中，抽选一部分对象进行调查，并据以对全部调查研究

对象做出估”和推断的一种调查方法。

统计调查的优点：全面调查的优点是可靠、真实；抽样调查的优点是省时、省力，减少破坏性。

【例1】下列调查方式，你认为最合适的是（）

A.了解北京市每天的流动人口数，采用抽样调查方式

B.旅客上飞机前的安检，采用抽样调查方式

C.了解北京市居民“一带一路”期间的出行方式，采用全面调杳方式

D.日光灯管厂要检测一批灯管的使用寿命，采用全面调查方式

【变式1-11下列调查中，最适合采用全面调查（普杳）方式的是（）

A.刈重庆巾辖区内长江流域水质情况的调查

1

B.对乘坐飞机的旅客是否携带违禁物品的调查

C.对一个社区每天丢弃塑料袋数量的调查

D.对重庆电视台“天天630”栏目收视率的调查

【变式1-2］下列调查中，最适宜用普查方式的是（）

A.对一批节能灯使用寿命的调查

B.对我国初中学生视力状况的调查

C.对最强大脑节目收视率的调查

D.对量子科卫星上某种零部件的调查

【变式13］下列调查中不适合普查而适合抽样调查的是（）

①了解市面上一次性筷子的卫生情况②了解我校九年级学生身高情况

③了解一批导弹的杀伤范围④了解全世界网迷少年的性格情况

A，①②③B.①②④C.②③④D.①③④

【考点2总体、个体、样本、样本容量】

【方法点拨】总体：要考察的全体对象称为总体。

个体：组成总体的每一个考察对象称为个体。

样本：被抽取的所有个体组成一个样本。

样本容量：样本中个体的数目称为样本容量。

［例2］为了解我区七年级6（X）0名学生期中数学考试情况，从中抽取了50（）名学生的数学成绩进行统计.下

列判断：

①这种调查方式是抽样调查；

②6000名学生是总体；

③每名学生的数学成绩是个体；

④500名学生是总体的一个样本.

其中正确的判断有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【变式2-1］为了解某市参加中考的28000名学生的体重情况，抽查了其中1400名学生的体重进行统计分

析.下面叙述正确的是（）

A.28000名学生是总体

B.每名学生是总体的一个样本

C.以上调查是普查

D.1400名学生的体重是总体的一个样本

【变式2-2］为了解我校八年级800名学生期中数学考试情况，从中抽取了200名学生的数学成绩进行统

计.下列判断：①这种调查方式是抽样调查；②八年级8（X）名学生的数学成绩的全体是总体；③每名学生

的数学成绩是个体；④200名学生是总体的一个样本；⑤200名学生是样本容量.其中正确的判断有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【变式2・3】我市去年共有18000名考生参加中考，为了了解这18000名考生的数学成绩，从中抽取了1000

名考生的数学成绩进行统计分析.以下说法正确的有（）

①这种调查采用了抽样调查的方式；

②18000名考生是总体：

③1000名考生是总体的•个样本；

④每名考生的数学成绩是个体.

2

A.2个B.3个C.4个D.0个

【考点3数据的收集与整理】

【方法点拨】数据处理的基本过程收集数据、整理数据、描述数据、分析数据、得出结论。

【例3】某地区有38所中学，其中七年级学生共6858名.为了了解该地区七年级学生每天体育锻炼的时间，

请你运用所学的统计知识，将解决上述问题所要经历的几个主要步骤进行排序.

①抽样调查；

②设计调查问卷；

③用样本估计总体；

④整理数据；

⑤分析数据.

其中正确的是（）

AcD-

【变式3-1】某学习小组将要进行一次统计活动，下面是四位同学分别设计的活动序号，其中正确的是（）

A.实际问题一收集数据.表示数据一整理数据-统计分析合理决策

B.实际问题_表示数据一收集数据一整理数据一统计分析合理决策

C.实际问题一收集数据一整理数据一表示数据-统计分析合理决策

D.实际问题一整理数据一收集数据T表示数据-统计分析合理决策

【变式3-2】当前，“低头族”已成为热门话题之一，小颖为了了解路边行人边走路边低头看手机的情况，她

应采用的收集数据的方式是（）

A.对学校的同学发放问卷进行调查

B.对在路边行走的学生随机发放问卷进行调查

C.对在图书馆里看书的人发放问卷进行调查

D.对在路边行走的路人随机发放问卷进行调查

【变式3-31某学校课外活动小组为了解同学们喜爱的电影类型，设计了如下的调查问卷（不完整）：

调查问卷年月

你平时最喜欢的一种电影类型是（）（曳•逸）

A.B.C.D.其他

准备在“①国产片，②科幻片，③动作片，④喜剧片，⑤亿元大片”中选取三个作为该问题的备选答案，选取

合理的是（）

C②®®D.②"

【考点4样本估计总体】

【例4】为了解某校学生今年五一期间参加社团活动时间的情况，随机抽直了其中10（）名学生进行统计，并

绘制成如图所示的频数直方图，已知该校共有1000名学生，据此估计，该校五一期间参加社团活动时间在

8〜10小时之间的学生数大约是（）

3

A.280

【变式4-1】为估计鱼塘中的鱼的数量，可以先从鱼塘中随机打捞50条鱼，在每条鱼身上做上记号后，把

这些鱼放归鱼塘，经过一段时间，等这些鱼完全混合于鱼群后，再从鱼塘中随机打捞50条鱼，发现只有2

条鱼是前面做好记号的，那么可以估计这个鱼塘鱼的数量约为（)

A.1250条B.1750条C.2500条D.500()条

【变式4-2】在一个密闭不透明的袋子里有若干个白球.为估计分球个数，小何向其中投入8个黑球，搅拌

均匀后随机摸出一个球，记下颜色，再把它放入袋中，不断重复摸球400次，其中88次摸到黑球，则估计

袋中大约有白球（）

A.18个B.28个C.36个D.42个

【变式4-3】为了解某县1000名公益志愿者寒假期间做公益的时间，团县委随机对其中50名志愿者进行了

调查.根据收集的数据绘制了如图所示频数分布直方图，则由样本可以估计全部1000名志愿者中做公益时

间不少于10/2所占的百分比为（

B

A,6M-7W

【考点5抽样调查的合理性】

[ft5]下歹U抽样调查较科学的是)

①张涛为了知道烤箱中所烤的饼是否熟了,取出一块试吃;

②刘明为了了解初中三个年级学生的平均身高，对初三年级一个班的学生做了调查；

③杨丽为了解云南省2015年的平均气温，上网查询了6月份30天的气温情况；

④李智为了解初中三个年级的课外作业完成情况，向三个年级各一个班的学生做了调查.

AC©@D-③④

【变式5-1】某数学课外兴趣小组为了了解所在地区老年人的健彘状况，分别作了四种不同的抽样调查，你

认为抽样比较合理的是（）

A.在公园调查了1000名老年人的健康状况

B.在医院调查了1000名老年人的健康状况

C.利用派出所的户籍网随机调查了该地区10%的老年人的健康状况

D.调查了邻居10名老年人的健康状况

4

【变式5-2】小明从一批乒乓球中随机摸出了三个，经检查全部合格，因此小明断定这批乒乓球全部合格.在

这个问题中，小明（）

A.忽略了抽样调查的随机性

B.忽略了抽样调查的随机性和广泛性

C.忽略了抽样调查的随机性和代表性

D.忽略了样本的广泛性

【变式5-3】下列调查，样本具有代表性的是（）

A,了解全校同学对课程的喜欢情况，对某班男同学进行调查

B.了解观众对所看电影的评价情况，对座号是奇数号的观众进行调查

C.了解商场的平均日营业额，选在周末进行调查

D.了解某小区居民的防火意识，对你们班同学进行调查

【考点6统计图的选择】

【方法点拨】常见统计图：（1）条形统计图：能清楚地表示出每个项目的具体数目；

（2）扇形统计图：能清楚地表示出各部分与总量间的比重；

（3）折线统计图：能反映事物变化的规律。

【例6】蜀山区三月中旬每天平均空气质量指数（AQ/）分别为：118.96,60,82,56,69,86.112,108,

94,为了描述这十天空气质量的变化情况，最适合用的统计图是（）

A.折线统计图B.频数分布直方图

C.条形统计图D.扇形统计图

【变式6-1】要反映长沙市一周内每天的最高气温的变化情况，宜采用（）

A.条形统计图B.扇形统计图

C.折线统计图D.频数分布直方图

【变式6-2】响水3・21事件后，环保部门对空气检测，想知道空气中有毒气体的百分比，使用的统计图最好

的是（）

A.扇形统订图B.条形统订图

C.折线统计图D.频数分布直方图

【变式6-3】要绘制一幅能清楚反映全校各年级男女生人数情况的统计图，下列最适合的是（）

A.折线统计图B.条形统计图

C.扇形统计图D.以上均可选，效果一样

【考点7扇形统计图的圆心角】

【例7】九年级（2）班同学根据兴趣分成五个小组，各小组人数分布如图所示，则在扇形图中，第一小组

5

【变式7-1】某校为了了解学生到校的方式，随机抽取了部分学生进行问卷调自，并将调查结果绘制成如图

所示的不完整的条形统计图和扇形统计图，则扇形统计图中“步行”对应的圆心角的度数为（）

【变式7-2】某鞋店试销一款女式鞋，试销期间对不同颜色鞋的销售情况统计如下表:

颜色里色棕色白色红色

销售量（双）6154019

若将上面的数据制成扇形统计图，则棕色鞋的数量所在扇形的圆心角的度数为（）

AB75B-855c-76.5sD-67.5:

【变式7-3］为积极响应我市创建“全国卫生城市”的号召，某校1500名学生参加了卫生知识竞赛，成绩记

为A、B、C、。四等，从中随机抽取了部分学生成绩进行统计，绘制成如图两幅不完整的统计图表，根据

图表信息，以下说法不正确的是（）

A.D等所在扇形的圆心角为15・

B.样本容量是200

C.样本中C等所占百分比是I。%

D.估计全校学生成绩为4等大约有900人

【考点8与统计图/表有关的综合题】

【例8】为了解某市市民“绿色出行”方式的情况，某校数学兴趣小组以问卷调查的形式，随机调查了某市部

分出行市民的主要出行方式（参与问卷调查的市民都只从以下五个种类中选择一类），并将调查结果绘制

成如下不完整的统计图.

种类ABCDE

出行方式共享单车步行公交车的士私家车

6

根据以上信息，回答下列问题；

（1）参与本次问卷调查的市民共有人，其中选择E类的人数有人;

（2）在扇形统计图中，求A类对应扇形圆心角a的度数，并补全条形统计图；

（3）该市约有12万人出行，若将A,B,C这三类出行方式均视为“绿色出行”方式，请估计该市“绿色

出行”方式的人数.

【变式8-1】江苏省第十九届运动会将于2018年9月在扬州举行开幕式，某校为了了解学生“最喜爱的省运

动会项目”的情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查，规定每人从“篮球”、“羽毛球”、"自行车”、“游泳”

和“其他”五个选项中必须选择且只能选择一个，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图表.

最喜爱的省运会项目的人数调查统计表

最喜爱的项目人数

篮球20

羽毛球9

自行车10

游泳a

其他h

合计

根据以上信息，请回答下列问题:

（1）这次调查的样本容量是,a+b=.

（2）扇形统计图中“自行车”对应的扇形的圆心角为.

（3）若该校有1200名学生，估计该校最喜爱的省运会项巨是篮球的学生人数.

【变式8-2】为推进“全国亿万学生阳光体育运动”的实施，组织广大同学开展健康向上的第二课堂活动.我

市某中学准备组建球类社团（足球、篮球、羽毛球、乒乓球）、舞蹈社团、健美操社团、武术社团，为了

解在校学生对这4个社团活动的喜爱情况，该校随机抽取部分初中生进行了“你最喜欢哪个社团”调查，依据

相关数据绘制成以下不完整的统计表，请根据图表中的信息解答下列问题：

社团类别人数占总人数比例

球类60m

舞蹈300.25

健美操n0.15

武术120.1

（1）求样本容量及表格中〃?、〃的值;

（2）请补全统计图；

7

（3）被调查的60个喜欢球类同学中有3人最喜欢足球，若该校有3000名学生，请估计该校最喜欢足

球的人数.

【变式8-3】中学生带手机上学的现象越来越受到社会的关注，为此某记者随机调查了市区某校七年级若干

名中学生家长对这种现象的态度：态度分为：A.无所谓；B.基本赞成；C.赞成；D.反对）.统计员在

将测试数据绘制成图表时发现，反对漏统计6人，赞成漏统计4人，于是及时更正，从而形成如下图表.请

按正确数据解答下列各题：

家长对中学生带手机上学各项态度人数统计表和统计图：

态度调整前人数调整后人数

4.无所谓3030

B.基本赞成4040

C.赞成

D.反对114120

（1）此次抽样调查中，共调查了名中学生家长；

（2）填写统计表，并根据调整后数据补全折线统计图；

（3）根据抽样调查结果，请你估计该市城区6000名中学生家长中有多少名家长持反对态度？

【考点9频率与频数】

【例9】（2019•武汉模拟）社会主义核心价值观知识竞赛成绩结果统计如下表：成绩在91〜100分的为优

胜者，则优胜者的频率是（）

分段数（分）61〜7（）71-8081〜9091〜100

人数（人）1192218

A.35%B.30%C.20%D.10%

【变式9-1］（2019秋•雁塔区校级月考）青青的袋中有红、黄、蓝、白球若干个，晓晓又放入5个黑球，通

过多次摸球试验，发现摸到红球、黄球、蓝球、白球的频率依次为30%,15%,40%,10%,则青青的袋

中大约有黄球（）

A.5个B.10个C.C个D.30个

【变式9-2］（2019秋•重庆校级月考）已知一组数据：10,8,6,10,8,13,11,12,10,10,7,9,8,

12,9,II,12,9,10,11,则分组后频率为0.2的一组是（）

A.6〜7B.8〜9C.10〜11D.12〜13

【变式9-3】已知一组数据，那么频率为0.2的范围是（）

1081086131110127

9812911129101110

A.5.5〜7.5B,7.5〜9.5C.9.5-11.5D.11.5〜13.5

【考点10从频数分布直方图获取信息】

8

【例10】（2019春•襄州区期末）某班级的一次数学考试成绩统计图如图，则下列说法错误的是（)

B.该班的总人数为40

C.人数最少的得分段的频数为2

D.得分及格（260）的有12人

【变式10-1】（2019秋•盐湖区期末）某班有64位同学，在一次数学检测中，分数只能取整数，统计其成绩

绘制成频数直方图，如图所示，从左到右的小长方形的高度比是1：3：6：4：2,则由图可知，其中分

【变式10-2】（2019春•呼和浩特期末）学校为了了解七年级70。名学生上学期参加社会实践活动的时间，

随机对该年级50名学生进行了调查.根据收集的数据绘制了下面的频数分布直方图，则以下说法正确的

--->

时间h

A.绘制该频数分布直方图时选取的组距为10分成的组数为5

B.这50人中大多数学士参加社会实践活动的时间是12-14/7

9

C.这50人中有64%的学生参加社会实践活动时间不少于10/2

D.可以估计全年级700人中参加社会实践活动时间为6〜8人的学生大约为28人

【变式10-3】（2019春•海淀区校级期末）为了了解2019年北京市乘坐地铁的每个人的月均花费情况，相关

部门随机调查了1000人乘坐地铁的月均花费（单位：元），绘制了如下频数分布直方图，根据图中信息，

①小明乘坐地铁的月均花费是75元，那么在所调查的1000人中一定有超过一半的人月均花费超过小明;

②估计平均每人乘坐地铁的月均花费的不低于60元;

③如果规定消费达到一定数额可以享受折扣优惠，并且享受折扣优惠的人数控制在20%左右，那么乘坐

地铁的月均花费达到120元的人可享受折扣.

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【考点11从频数分布折线图获取信息】

【例11】（2019春•邢台县月考）体育老师对八年级（2）班学生“你最喜欢的体育项目是什么？（只写一

项）”的问题进行了调查，把所得数据绘制成如图所示的折线统计图.由图可知，最喜欢篮球的学生的频

率是（）

频数（人）

D.40%

10

【变式11-1]（2019春•涿州市期末）超速行驶是交通事故频发的主要原因之一，交警部门统计某日7：00

-9：00经过高速公路某测速点的汽车的速度，得到如下频数分布折线图，若该路段汽车限速”（）加?〃?,

汽车谏摩的频数分布挤线图

A.20辆B.60辆C.70辆D.80辆

【变式11-2]（2019春•萧山区校级期中）班主任张老师为了了解学生课堂发言情况，对前一天本班男、女

生的发言次数进行了统计，并绘制成如下频数分布折线图（如图）.根据图中，发言次数是4次的男生、

女生分别有（）

前一天里、女生发言次数的

C.2人，4人D.3人，4人

【变式11-3]如图，表示某地区各年龄层人口的累积百分率，其资料自0岁开始，每10岁为一组.根据此

图，判断下列关于此地居民的叙述，何者正确？（）

累

积

百

分

率

A.可能有100岁的老人

B.21~80岁之间的居民占五成以上的比例

11

C.30岁以上的人数比20岁以下的人数少

D.居民年龄在40〜60岁之间的人口累积百分率是50%

【考点12与频数分布直方图有关综合题】

【例12]（2019春•西湖区校级月考）为了解七年级学生的身体素质情况，体育老师对该年级部分学生进

行了一分钟跳绳次数的测试，并把测试成绩绘制成如图所示的频数表和频数直方图（每组含前一个边界

值，不含后一个边界值）.

某校七年级部分学生一分钟跳绳次数测试的频数

表

组别（次）频数频率

80〜10050.125

100~12080.2

120~140a0.225

/40〜16012b

160〜18()60.15

（1）参加测试的学生有多少人？

（2）求小。的值，并把频数直方图补充完整.

（3）若该年级共有320名学生，估计该年级学生一分钟跳绳次数不少于120次的人数.

某校七年级部分学生一分钟

跳绳次数测试频数直方图

【变式12-1]（2019春•西湖区校级月考）25日某路段雷达测速区监测到一组汽车时速数据，经整理得到如

下频数表和频数直方图（每组含后一边界值，不含前一边界售）.

25日某路段监测汽车时速的频数表

频数频率

30〜40100.05

12

40〜5036

50〜600.39

60〜7()

70〜8040.02

80〜9020.01

（1）请你把表中的数据填写完整.

（2）补全频数直方图.

（3）若该路段限速70（汽车时速高于70千米/小时即为违章），抽测到违章车辆有多少辆？统计表明25

日全天通过这个路段的汽车大约有15000辆.请估计这天超速违章的车辆有多少辆？

25日冥路段监测汽车时速的频数直方图

60-

50-

40

30

20

10科二百二…:

30405060708090速度(kmh)

【变式12-2】（2019秋♦海淀区校级月考）据《北京晚报》介绍.自2009年故宫博物院年度接待观众首次突

破1000万人次之后，每年接待量持续增长，到2018年突破1700万人次，成为世界上接待量最多的博物

馆，特别是随着《我在故官修文物》，《上新了，故宫》等一批电视文博节目的播出，社会二再次掀起故

宫热.于是故宫文创营销人员为开发针对不同年龄群体的文创产品，随机调查了部分参观故官的观众的

年龄，整理并绘制了如下统计图表

2018年参观故宫观众年龄频数分布直方图

年龄X/岁频数/人数频率

20<x<3080h

30«40a0.240

40«50350.175

50«6037C

合计2001(X)0

13

请根据图表信息回答卜列问题:

（1）求表中a,b,C的值；

（2）补全频数分布直方图；

（3）从数据上看，年轻观众2CWxV40已经成为参观故宫的主要群体，如果今年参观故宫人数达到2000

【变式12-3】（2019春•鼓楼区校级期中）某校八年级根据学生的学习成绩、学习能力将学生依次分为A、8、

C三个层次，第一次月考后，选取了其中一个A层次班级的考试成绩分布情况进行处理分析，制成频数

分布表（成绩得分均为整数）:

组别成绩分组频数频率

139.5〜49.520.05

249.5〜59.540.10

359.5〜69.5a0.20

469.5〜79.5100.25

579.5-89.5bC

689.5〜10060.15

合计401.00

根据表中提供的信息解答下列各题：

（1）频数分布表中的〃=,b=,c=；

（2）将频数分布直方图补充完整；

（3）小明正好在所选取的班级中，他认为：学校八年级共有20个班（平均每班40人），根据本班的成

绩分布情况可知，在这次考试中，全年级90分以上为优秀，则优秀的人数约为人,60分及以上

14

为及格，及格的人数约为人，及格的百分比约为

（4）小明得到的数据会与实际情况相符吗？为什么？

【考点13可能性的大小】

【方法点拨】可能性等于所求情况数与总情况数之比，关键是求出每种情况的可能性.

【例13】（2019春•金坛区期中）如图，转盘中8个扇形的面积都相等，任意转动转盘1次，当转盘停止转

动时，估计下列4个事件发生的可能性大小，其中事件发生的可能性最大的是（）

A.指针落在标有5的区域内

B.指针落在标有10的区域内

C.指针落在标有偶数或奇数的区域内

D.指针落在标有奇数的区域内

【变式13-1】（2019春♦市北区期末）我国南方地区冬至的传统习俗是吃汤圆，其寓意团团圆圆冬至这一天，

小红家煮了30个汤圆，其中有12个黑芝麻馅的，14个枣泥馅的，4个豆沙馅的，煮完之后的汤圆看起

来都一样，小红盛了1个汤圆，下列各种描述正确的是（）

A.她吃到黑芝麻馅汤圆和枣泥馅汤圆可能性一样大

B.她吃到枣泥馅汤圆比豆沙馅汤圆的可能性大很多

15

C.她不可能吃到豆沙馅汤圆

D.她•定能吃到枣泥馅汤圆

【变式13-2】（2019•资阳）在一个布袋中装有红、白两种颜色的小球，它们除颜色外没有任何其他区别.其

中红球若干，白球5个，袋中的球已搅匀.若从袋中随机取出1个球，取出红球的可能性大，则红球的

个数是（）

A.4个B.5个

C.不足4个D.6个或6个以上

【变式13-3】（2019•张店区一模）从淄博汽车站到银泰城有甲，乙，丙三条不同的公交线路.为了解早高

峰期间这三条线路上的公交车从淄博汽车站到银泰城的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次

的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下：

线路/公交车用时的频数/公交车用时30WrW35W/W404W45WW合计

35404550

甲59151166124500

乙5050122278500

丙4526516723500

早高峰期间，乘坐线路上的公交车，从淄博汽车站到银泰城“用时不超过45分钟”的可能性最大.（）

A.甲B.乙C.丙D.无法确定

【考点14确定与不确定事件】

【方法点拨】必然事件指在一定条件下，一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的

事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件.

【例14]（2018秋•十堰期末）下列说法中不正确的是（）

A.抛掷一枚硬币，硬币落地时正面朝上是随机事件

B.把4个球放入三个抽屉中，其中一个抽屉中至少有2个球是必然事件

C.任意打开九年级下册数学教科书，正好是第38页是确定弃件

D.一个盒子中有白球加个，红球6个，黑球〃个（每个除了颜色外都相同）.如果从中任取一个球，取

得的是红球的概率与不是红球的概率相同，那么m与〃的和是6

【变式14-1]（2019春•常熟市期末）下列事件中，属于必然事件的是（）

A.如果小〃都是实数，那么，a+b=b+a

B.同时抛掷两枚质地均匀的骰子，向上一面的点数之和为13

16

C.抛枚质地均匀的硬币20次，有10次正面向上

D.用长为4a〃，4c〃?，9c〃?的三条线段围成一个等腰三角形

【变式14-2】（2019春•滨湖区期末）下列事件中，属于随机事件的是（）

A.一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形

B.一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形

C.矩形的两条对角线相等

D.菱形的每一条对角线平分一组对角

【变式14-3]（2019•襄城区模拟）下列事件中是不可能事件的是（）

A.任意画一个四边形,它的内角和是360°

B.若a=b,则〃2=房

C.掷一枚质地均匀的硬币，落地时正面朝上

D.一只袋子里共装有3个小球，它们的标号分别为1,2,3,从中摸出一个小球，标号为5

【考点15概率与方程】

【方法点拨】随机事件A的概率P（4）=事件人可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数.

【例15]（2019•齐齐哈尔）在一个不透明的口袋中，装有一些除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的

小球.已知袋中有红球5个，白球23个，且从袋中随机摸出一个红球的概率是吉，则袋中黑球的个数

为（）

A.27B.23C.22D.18

【变式15-1】（2019•南安市模拟）不透明袋子中装有若干个红球和6个蓝球，这些球除了颜色外，没有其

他差别，从袋子中随机摸出一个球，摸出蓝球的概率是0.6,则袋子中有红球（）

A.4个B.6个C.8个D.10个

【变式15-2]（2019•大洼区三模）在一个不透明的袋中有4个白球和〃个黄球，它们除颜色外其余均相同.若

从中随机摸出一个球，摸到黄球的概率为W,则〃=（）

5

A.10B.8C.6D.4

【变式15-3】（2019•厦门一模）一个不透明盒子里装有。只白球、〃只黑球、c只红球，这些球仅颜色不同.从

中随机摸出一只球，若P（摸出白球）=工，则下列结论正确的是（）

3

A.a=1B.a=3C.a=b=cD.a=—（b+c）

2

17

【考点16几何概型】

【方法点拨】如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概

率模型为几何概率模型，简称为几何概型。

几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个.2）每个基本事件出现的可能性相

等.

【例16】（2019•鞍山一模）如图，在一不规则区域内，有一边长为3加米的正方形，向区域内随机地撒4000

颗黄豆，数得落在正方形区域内（含边界）的黄豆有1350颗，以此实验数据为依据，可以估计出该不规

则图形的面积.

（I）随机向不规则区域内掷一粒黄豆，求黄豆落在正方形区域内（含边界）的概率；

（2）请你估计出该不规则图形的面积；

【变式16-1】（2018春•东明县期末）如图所示的正三角形区域内投针（区域中每个小正三角形除颜色外完

全相同），针随机落在某个正三角形内（边线忽略不计）

（1）投针一次，针落在图中阴影区域的概率是多少？

（2）要使针落在图中阴影区域和空白区域的概率均为工，还要涂黑几个小正三角形？请在图中画出.

【变式16-2]（2018春•沂源县期中）（I）如图所示是一条线段，八8的长为10厘米，MN的长为2厘米，

假设可以随意在这条线段上取一点，求这个点取在线段MN上的概率.

（2）如图是一个木制圆盘，图中两同心圆，其中大圆直径为20a〃，小圆的直径为10。〃，一只小鸟自由

自在地在空中飞行，求小鸟停在小圆内（阴影部分）的概率是.

18

AB

图1图2

【变式16-3】（2018•镇江模拟）有一类随机事件概率的计算方法：设试验结果落在某个区域S中的每一点

的机会均等，用A表示事件“试验结果落在S中的一个小区域M中”，那么事件A发生的概率P（A）=

M的面积

有一块边长为30。〃的正方形ABCD飞镖游戏板，假设飞镖投在游戏板上的每一点的机会均

S的面积

等.求下列事件发生的概率:

（1）在飞镖游戏板上画有半径为的一个圆（如图1）,求飞镖落在圆内的概率;

（2）飞镖在游戏板上的落点记为点O,求△048为钝角三角形的概率.

【考点17利用树状图求概率】

【方法点拨】列树形图法：当一个实验要涉及3个或更多的因冢（例如从3个口袋中取球）时，列表就不

方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。

【例17]（2019•南关区校级模拟）有四张正面分别标有数字1,2,3,4的不透明卡片，它们除数字外其余

全部相同，现将它们背面朝上洗均匀.

（1）随机抽取一张卡片，则抽到数字“2"的概率是；

（2）从四张卡片中随机抽取2张卡片，请用列表或画树状图的方法求抽到“数字和为5”的概率.

【变式17-1】（2019春•河口区期末）随着改革开放进程的推进，改变的不仅仅是人们的购物模式，就连支

付方式也在时代的浪潮中发生着天翻地覆的改变，除了现金、银行卡支付以外，还有微信、支付宝以及

其他支付方式.在一次购物中，小明和小亮都想从微信、支付宝、银行卡三种支付方式中选一种方式进

行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率.

【变式17-2]（2019•振兴区校级二模）爱好数学的甲、乙两个同学做了一个数字游戏：拿出三张正面写有

数字・1，0,1且背面完全相同的卡片，将这三张卡片背面朝上洗匀后，甲先随机抽取一张，将所得数

字作为〃的值，然后将卡片放回并洗匀，乙再从这三张卡片中随机抽取一张，将所得数字作为q值，两

次结果记为（P，q）.

19

（1）请你帮他们用树状图或列表法表示（〃，q）所有可能出现的结果；

（2）求满足关于x的方程,+px+q=O有实数根的概率.

【变式17-3]（2019•云南模拟）将正面分别写着数字・2,1,3,6的四张卡片（卡片除数字外，其它都相

同）洗匀后，背面向上放在桌子上，从中先随机抽取一张卡片，记下卡片上的数字，不放回，再从中任

取一张卡片，记下数字.

（1）请用列表或画树状图法（树状图也称树形图）中的一种方法，列出所有可能出现的结果；

（2）请计算两次摸出的卡片上的数字之和大于4的概率.

【考点18用列表法求概率】

【方法点拨】列表法：当一次实验要涉及两个因素（例如掷两个骰子），并且可能出现的结果数目较多时，

为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。

【例18]（2019•郸都区模拟）一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“优”、“教”、“郸”、“都”的四个小

球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀.

（1）若从中任取一个球，球上的汉字刚好是“优”的概率为多少？

（2）从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图或列表的方法，求取出两个球上的汉字能组

成“优教”或“哪都”的概率.

【变式18-1]（2019•长春三模）《中国诗词大会》栏目中，外卖小哥击败北大硕士引发新一轮中华优秀传统

文化热.某文化中心开展“经典诵读”比赛活动，诵读材料有《论语》、《大学》、《中庸》、《孟子》（依次

用字母A,B,C,。分别表示这四个材料），将4,B,C.。分别写在4张完全相同的不适明卡片的正

面，背面朝上洗匀后放在桌面上，比赛时甲选手先从中随机抽取•张卡片，记下内容后放回，洗匀后，

再由乙选手从中随机抽取一张卡片，他俩按各自抽取的内容进行诵读比赛.川画树状图或列表的方法求

他俩诵读两个不同材料的概率.

【变式18-2】（2019•长春模拟）苏宇为帮助同桌李蕾巩固“平面直角坐标系中点的坐标特点”这基础知识，

在三张完全相同且不透明的卡片止面分别写上了-3,0,2三个数字，背面向上洗匀后随机抽取一张，

将卡片上的数字记为小放回该卡片重新洗匀，再从三张卡片中随机取出一张，将卡片上的数字记为

然后让李蕾在平直角坐标系中找出点M（a,b）的位置.请你用画树状图或列表的方式帮李蕾求点M落

在第二象限的概率.

【变式18-3】（2019•碑林区校级一模）初三年级大活动期间要训练篮球项目，每位“体育委员”都要通过

抽签的方式确定各班的训练场地，训练场地有：A号场地，3号场地，C号场地，。号场地.抽签规则如

下：将正面分别写有字母A、B、C、。的四张卡片（除了正面字母不同外，其余均相同）背面朝上，洗

20

匀，先由一位“体育委员”随机抽取一张卡片，这张卡片上的字母表示的训练地点，即为他抽取的训练

地点，然后将卡片放回、洗匀，再由下一位“体育委员”抽取，已知战狼和红武都是“体育委员”

（1）求战狼抽到的训练地点是“A号场地”的概率；

（2）请用列表或画树状图的方法，求战狼与红武抽到同一训练场地的概率.

【考点19用频率估计概率】

【方法点拨】一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率竺会稳定在某个常数p附近，那

n

么，这个常数p就叫作事件A的概率，记为P（A）=P。

【例19】（2019春•鼓楼区校级期中）在一个不透明的盒子中装有。个除颜色外完全相同的红球和白球，其

中红球有〃个，将盒中的球摇匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后将球放回盒中，重复进行这过程，

如表记录了某班•次摸球实验情况：

摸球总数〃4(X)150035007(X)09000I4O(M)

摸到红球数m325133632036335807312628

摸到红球的频率（精确到0.001）0.8130.8910.9150.9050.8970.902

（1）由此估计任意摸出1个球为红球的概率约是（精确到0』）

（2）实验结束后，小明发现了一个一般性的结论：盒子中共有。个球，其中红球有力个，则摇匀