2025-2026学年上海杨浦高级中学高一下学期数学期中试卷（2026.5）（含答案）

杨浦高级中学2025-2026学年第二学期高一年级数学期中2026.5一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）

1.小于的正整数组成的集合用列举法表示为______．2.函数的定义域为______．3.若，则______．4.指数函数与的图像关于y轴对称，则______．5.函数的最小正周期为______．6.若函数为奇函数，则______．7.已知一个扇形的周长是6，面积是2，其圆心角的弧度数为______．8.若幂函数在时的图像位于直线的下方，则s的取值范围为______．9.若关于x的不等式的解集为空集，则a的值为______．10.若正实数a、b满足，则的最大值为______．11.某底角的斜面上有两根长为1米的垂直于水平面放置的杆子，与斜面的接触点分别为A、B，它们在阳光的照射下呈现出影子，阳光可视为平行光．其中一根杆子的影子在水平面上，长度为0.5米．另一根杆子的影子完全在斜面上，其影子长度为______米．（结果精确到0.01米）12.将函数的图像向左平移m个单位（）得到函数的图像．若这两个函数图像的相邻三个交点恰好形成正三角形，则______．二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）．13.已知，则下列选项一定成立的是（）A. B. C. D.14.下列函数中在区间上是严格减函数的是（）A. B. C. D.15.已知中，则下列选项不一定成立的是（）A. B. C. D.16.定义在上的函数，满足对任意、，恒成立．则下列说法正确的是（）A.函数一定是常值函数B.函数的函数值一定非负C.若函数是上的严格增函数，则它一定不存在零点D.若函数存在零点，则一定存在、，使得三、解答题（本大题满分78分）．17.（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）已知集合．（1）若，求实数a的取值范围；（2）若，求实数a的取值范围．18.（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）已知内角A，B，C的对边分别为a、b、c，且满足．（1）求角C的大小；（2）若，求面积的最大值．19.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分）设m为常数，，且函数为奇函数．（1）求m的值；（2）判断函数的单调性，并给出证明；（3）若，求x的取值范围．20.（本题满分16分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分）已知，函数的部分图像如图所示．（1）求函数的解析式；（2）求函数的单调减区间；（3）若关于x的方程在区间上有解，求实数m的取值范围．21.（本题满分20分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题10分）已知函数的定义域为，．（1）若，求函数的零点构成的集合；（2）若，且时．求函数在上的最小值；（3）已知对一切恒成立，求证：“函数存在正整数周期”的充要条件是“函数存在正整数周期”．

参考答案一、填空题1.;2.;3.;4.;5.;6.;7.;8.;9.;10.；11.12.11.某底角的斜面上有两根长为1米的垂直于水平面放置的杆子，与斜面的接触点分别为A、B，它们在阳光的照射下呈现出影子，阳光可视为平行光．其中一根杆子的影子在水平面上，长度为0.5米．另一根杆子的影子完全在斜面上，其影子长度为______米．（结果精确到0.01米）【答案】0.65【解析】设在斜面的影子长度为，则12.将函数的图像向左平移m个单位（）得到函数的图像．若这两个函数图像的相邻三个交点恰好形成正三角形，则______．【答案】【解析】相邻三个交点：，（），则二、选择题13.D14.B15.D16.C16.定义在上的函数，满足对任意、，恒成立．则下列说法正确的是（）A.函数一定是常值函数B.函数的函数值一定非负C.若函数是上的严格增函数，则它一定不存在零点D.若函数存在零点，则一定存在、，使得【答案】C【解析】若函数值出现负值，会与题干矛盾。若存在零点，由严格增可知其图像左侧应变小，必为负数，与性质不符。所以严格增一定不存在零点。三、解答题17.（1）（2）18.（1）（2）19.（1）（2）证明略（3）20.（本题满分16分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分）已知，函数的部分图像如图所示．（1）求函数的解析式；（2）求函数的单调减区间；（3）若关于x的方程在区间上有解，求实数m的取值范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）由图像可知，函数的最大值为，最小值为.又由图像可知，函数图像经过点点∴将点代入上式得：，即∴当时，函数的解析式为

（2）由（1）知.令解得函数的单调减区间为

（3）由题意得，即即∵方程在区间上有解，∴，即，解得∴实数的取值范围是21.（本题满分20分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题10分）已知函数的定义域为，．（1）若，求函数的零点构成的集合；（2）若，且时．求函数在上的最小值；（3）已知对一切恒成立，求证：“函数存在正整数周期”的充要条件是“函数存在正整数周期”．【答案】（1）（2）（3）证明见解析【解析】（1）由题意得令，即，解得，即所以函数的零点构成的集合为

（2）由得，即设，则.令，代入上式得因为当时，所以，故当时，.函数的对称轴为，开口向上.所以当时，取得最小值，最小值为，即函数在上的最小值为

（3）证明：充分性：若函数存在正整数