2027 届普通高等学校招生适应性考试数学试卷（七）（含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台21世纪教育网()21世纪教育网精品试卷·第2页（共2页）2027届普通高等学校招生适应性考试（七）数学本试卷共19小题，满分150分；考试时间120分钟。注意事项：1.答题前，考生务必将姓名、准考证号、考场、座位号填写在试卷与答题卡指定区域，粘贴准考证条形码。2.所有作答必须写在答题卡对应区域，试卷、草稿纸作答无效。3.考试结束仅上交答题卡。第一部分选择题（共58分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题只有一项符合要求。1.已知集合M={x∣x2−4x−5<0}，集合N=y∣y=22+sin⁡x，则M∩N=

A.23,2 B.(−1,5) 2.等差数列{an}，3a5+6=a4+a9，S11=132，a14=

A.24 3.已知复数z1=−1+i，将向量OZ1→绕原点逆时针旋转π3得到向量OZ2→，则z2=

4.平面向量a=(2,t−1)，b=(3−t,4)，c=(−2,3)，满足(a−b)⊥b，且存在实数μ使得c=μb，则t的值为

A.4 B.173 5.某校高二年级共1600人，抽取80名同学统计课外阅读时长，把样本频率视作总体概率，则下面说法错误的是

A.若组距为1，各组频率组距之和等于1

B.若样本中位数为4.2小时，则说明有一半样本阅读时长不超过4.2小时

C.若样本均值为3.8，样本中位数4.2，说明样本分布左偏

6.甲、乙、丙三人进行逻辑推演：甲说“若乙说真话，则函数y=x+1x在(0,+∞)上存在最小值”；乙说“丙说的是假话”；丙说“甲乙两人至多一人说假话”，则下面可能成立的是

A.甲乙丙全为假话

B.丙真话，甲乙假话

7.正四棱台上下底面正方形边长分别为32，72，异面直线BC与BB1夹角余弦等于2626，则棱台体积为

A.7283 B.3643 C.1828.∀x∈e,+∞，μ>0，不等式e4μx−1(4μx−ln⁡4)−4xln⁡x≥0恒成立，则μ最小值为

A.14e B.1+4eln⁡4二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.已知f(x)=tan⁡2x，g(x)=2sin⁡4x+π6，h(x)=f(x)+g(x)，则

A.h(x)最小正周期π2

B.g(x)在π24,π8单调递增10.已知递推数列an+2=3an+2an+1，a1=1,a2=2，记Sn为前n项和，则

A.a4=17

B.11.渐近线定义：若动点沿曲线趋于无穷远，到直线距离趋于0，则直线为渐近线。已知曲线C:y2=3(xy+2)，则（）

A.曲线C关于原点中心对称

B.y=3x是C的一条斜渐近线

C.该二次曲线离心率e=7

第二部分非选择题（共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知tan⁡α+π613.在平面直角坐标系中，点M(−b,0),N(b,0),b>0。圆(x+b−2)2+(y−b+1)2=b14.共有m(m≥5)名同学，学号依次为1,2,…,m。分成甲组{1,2,…,s}，乙组{s+1,…,m}，3≤s≤m−3。每组随机选2人组成竞赛小组。记Rij表示学号i,j同时入选竞赛小组的概率。则R1m=四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(本小题满分13分)在△ABC中，∠BAC=45∘，AB边上取点F，满足CF=BC=2，H为AB中点。

(1)若AC=2，求△BCF的面积；

(2)若向量CF→16.(本小题满分15分)已知函数f(x)=e2x−xln⁡x+1x−2。

(1)求17.(本小题满分15分)某实验室有E、F、G、H四套独立加密系统，每周选用一套加密系统，下一周只能从另外三套中等概率随机选一套，第一周选定E系统。

(1)求第3周、第5周使用E系统的概率；

(2)记前n周使用F系统总次数为Z，求数学期望E(Z)。参考公式：Ei=118.(本小题满分17分)已知双曲线Γ:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)离心率e=3，过右焦点F(2,0)。

(1)求双曲线标准方程；19.(本小题满分17分)已知函数f(x)=x−aln⁡x−1x。

(1)当a=2，求f(x)单调区间；

(2)x>0，f(x)≥0恒成立，求实数a取值范围；

(3)证明：2027届普通高等学校招生适应性考试（七）数学参考答案本试卷共19小题，满分150分；考试时间120分钟。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题只有一项符合要求。12345678CCDBBDAB二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。全部选对得6分，部分选对得部分分，错选0分。91011ACCDABC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。121314±191四、解答题：本题共5小题，共77分，需写出完整文字说明、演算、证明步骤。15.(13分)

(1)在△ABC，∠BAC=45∘，AC=2，BC=2。

由余弦定理：BC2=AB2+AC2−2⋅AB⋅AC⋅cos⁡45∘

4=AB2+2−2⋅AB⋅2⋅22⇒4=AB2+2−2AB

AB2−2AB−2=0⇒AB=1+3(取正)

在△ACF中，CF=2，AC=2，∠BAC=45(2)H是AB中点，CH→=12(CA→+CB→)。

向量投影：CF→在CB→投影向量等于CH→，

投影长度：CF→⋅CB→|CB→|=|16.(15分)

(1)f(x)=e2x−xln⁡x+1x−2=e2x−ln⁡x−1x−2，定义域x>0。

f(1)=(2)证明f(x)>0恒成立。

f′(x)=2e2x−1x+1x当x∀取找极小参考点因为函数单调递增，x>017.(15分)

(1)记pn表示第n周使用E系统的概率。

第1周选E，p1=1。

递推关系：第n周选E，说明第n−1周没有选E，之后从三套里面选E，

pn=13(1−pn−1),n≥2

p2=13(1−p1)=0；(2)构造指示变量

Xi=1,第i周选F0,其他,Z=i=1nXi

E(Z)=i=1nE(Xi)=i=1nP(第i周使用F)。

由对称性F,G,H三个系统地位完全相同，设qi18.(17分)

(1)双曲线右焦点F(2,0)，c=2；离心率e=ca=3，a=ce(2)设T(x,y)，OT→=OA→+OB→，即x=xA+xB,y=yA+yB。

①直线斜率存在，设过F(2,0)直线：y=k(x−2)。

联立双曲线：

y=k(x−2)6x2−3y2=8

代入：6x2−3k2(x−2)219.(17分)

(1)a=2，f(x)=x−2ln⁡x−1x，x>0。

f′(x)=1−2x+(2)f(x)=x−aln⁡x−1x≥0，x>0恒成立。

变形：x−1x≥aln⁡x。

当x=1，左边等于0，0≥a⋅0，恒成立。

令g(x)=x−1x−aln⁡x，

g′(x)