广东省广州市实验外语学校2025-2026学年高二（上）月考数学试卷（1月份）(含简略答案)

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年广东省广州市实验外语学校高二（上）月考数学试卷（1月份）一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1=8a4=1，则S3=（）A.7 B.5 C. D.2.已知直线l1：ax+3y-1=0，l2：x-（a-4）y+1=0，且l1⊥l2，则a=（）A.6 B.-6 C.1或3 D.-1或-33.已知双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形（O为原点），则双曲线的方程为(

)A. B. C. D.4.日晷是我国古代按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度.我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同.二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，如此周而复始.已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则下列说法不正确的是（）

A.白露比立秋的长长两尺 B.大寒的晷长为一丈五寸

C.处暑和谷雨两个节气的晷长相同 D.立春的晷长比立秋的晷长长5.圆（x-1）2+（y-1）2=2关于直线x-y+2=0对称的圆的方程为（）A.（x-1）2+（y-3）2=2 B.（x+1）2+（y+3）2=2

C.（x-1）2+（y+3）2=2 D.（x+1）2+（y-3）2=26.在棱长为1的正四面体ABCD中，点E为AB的中点，点F在CD上，且CF=2FD，则为（）A. B. C. D.7.已知四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD，PD=AD，点E是线段PB上的动点，则直线DE与平面PBC所成角的最大值为（）A. B. C. D.8.已知点F1，F2是椭圆的左、右焦点，点M为椭圆E上一点，点F​​​​​​​1关于∠F1MF2的角平分线的对称点N也在椭圆E上，若，则椭圆E的离心率为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1=3，a4=24，则下列结论正确的是（）A.a3=12 B.数列{Sn+2}为等比数列

C.Sn=2an-3 D.10.已知直线过抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F，且与抛物线C交于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为M，N，则下列结论正确的是（）A.抛物线的方程为y2=4x B.线段AF的长度为

C.∠MFN=90° D.线段AB的中点到y轴的距离为11.已知点M（1，0），N（4，0），动点P（x,y）满足，Q在圆C：（x-3）2+（y-3）2=4上，则下列结论正确的是（）A.点P的轨迹方程为x2+y2=4

B.x2+y2-6y+10的最大值为6

C.PQ的取值范围是

D.过点P作圆C的两条切线，切点分别为M，N，则存在点P，使得∠MPN=90°三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.直线l过点A（-2，1），B（1，4），且与直线x-my+1=0平行，则这两条平行直线之间的距离为

.13.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a6+a13＜0，S11＞S8，则Sn取得最小值时，n=

.14.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AA1=4，AD=2，点P为侧面ABB1A1内一动点，且满足C1P∥平面ACD1，则C1P的最小值为

，此时点P到直线A1C1的距离为

​​​​​​​.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知圆C1经过A（0，0），B（-4，-2），C（-1，7）三点.

（1）求圆C1的标准方程；

（2）若圆C1与圆相交于E，F两点，求公共弦EF的长度.16.(本小题15分)

在三棱锥S-ABC中，平面SAC⊥平面ABC，AB⊥BC，AC=AS=SC=2BC，D，E分别为AB，AC的中点.

（1）证明：AB⊥平面SDE；

（2）求平面ASB与平面SCB夹角的余弦值.17.(本小题15分)

已知双曲线的一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为.

（1）求双曲线C的方程；

（2）设O为坐标原点，若直线l过点（0，2），与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，且△AOB的面积为，求直线l的方程.18.(本小题17分)

已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且.

（1）求数列{an}通项公式；

（2）求数列{bn}满足，求数列{bn}的前2n项和T2n；

（3）在an与an+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为dn的等差数列，在数列{dn}中是否存在3项dm，dk，dp（其中m,k,p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由.19.(本小题17分)

如图，已知圆E：（x+1）2+y2=16，点F（1，0），P是圆E上任意一点.线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q，设动点Q的轨迹为C.

（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；

（2）设点，过点F的直线m：y=k（x-1）与曲线C交于A，B两点.

（ⅰ）若直线m的斜率为k=1，设线段AB的中点为D，求直线OD的方程；

（ⅱ）设直线l的方程为x=4，且直线m与直线l相交于点N，记MA，MN，MB的斜率分别为k1，k2，k3，证明：k1，k2，k3成等差数列.

1.【答案】D

2.【答案】A

3.【答案】D

4.【答案】B

5.【答案】D

6.【答案】A

7.【答案】C

8.【答案】B

9.【答案】ACD

10.【答案】AC

11.【答案】ACD

12.【答案】

13.【答案】9

14.【答案】

；

​​​​​​​

15.【答案】（x+4）2+（y-3）2=25

16.【答案】证明：因为SC=AS，E为AC中点，所以SE⊥AC，

又平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC=AC，SE⊂平面SAC，

所以SE⊥平面ABC，而AB⊂平面ABC，所以SE⊥AB，

又D为AB的中点，所以DE∥BC，

又BC⊥AB，所以DE⊥AB．

又DE∩SE=E，DE，SE⊂平面SDE，

所以AB⊥平面SDE

解：过E作EM⊥AC交AB于点M，设AC=2，

以E为原点，分别以EM，EC，ES为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

则A（0，-1，0），C（0，1，0），，，

故，，，．

设为平面SAB的法向量，则，即，

所以，令x1=3，可得，

设为平面SBC的法向量，则，即，

所以，令x2=1，可得=（1，，1），

设平面ASB与平面SCB夹角为θ，

则cosθ=|cos＜＞|=

17.【答案】；

y=x+2或y=-x+2

18.【答案】（1）

（2）

（3）不存在，原因如下：

由（1）知，，因为an+1=an+（n+2-1）dn=an+（n+1）dn，

所以4n=4n-1+（n+1）dn，整理得：4×4n-1-4n-1=（n+1）dn

所以3×4n-1=（n+1）dn，即，

因为m，k，p成等差数列，即2k=m+p（m＜k＜p），

假设dm，dk，dp成等比数列，则，代入，

得，化简得：，

由2k=m+p，得42k-2=4m+p-2，故（k+1）2=（m+1）（p+1），

结合2k=m+p，得，

当且仅当m=p=k时等号成立，这与题设（m，k，p互不相等）矛盾．

故数列{dn}中不存在3项dm，dk，dp（其中m，k，p成等差数列）成等比数列

19.【答案】连接QF，

易得|QP|=|QF|，

所以|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4＞|EF|，

则Q的轨迹是以E，F为焦点，长轴长为4的椭圆，

设椭圆方程为，

此时2a=4，2c=2，

解得