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正交变换一正交变换的概念及性质

定义9V是欧氏空间，A(∈L(V))称为正交变换，如果对任意的α,β∈V,(Aα,Aβ)=(α,β).性质1(定理1)V是欧氏空间，A∈L(V)，则以下条件等价：1)A是正交变换；2)对任意的α∈V，│Aα│=│α│（即保持向量的长度不变）；3)ε1,ε2,···,εn

是V的标准正交基，则Aε1,Aε2,···,Aεn

是V的标准正交基；4)在任一标准正交基下的矩阵是正交矩阵.性质2正交变换是可逆的线性变换.

证明：正交变换在标准正交基下的矩阵是正交矩阵，而正交矩阵可逆，故正交变换可逆.□

性质3

正交变换是V到V的同构映射.

证明：正交变换A可逆，故是双射.A是线性变换，故

A(α+β)=A(α)+A(β)；A(kα)=kA(α).

A是正交变换，故(Aα,Aβ)=(α,β).所以A是V到V的同构映射.□

性质4A,B是正交变换，则A－1,AB是正交变换.

证明：设A,B在标准正交基下的矩阵是A,B→A,B是正交矩阵，且A－1，AB是正交矩阵→A－1,AB

是正交变换.□性质5

在标准正交基下，正交变换与正交矩阵一一对应.

*设正交变换A对应的正交矩阵为A，则｜A｜=±1→

称｜A｜为正交变换A的行列式；当｜A｜=1时，称A为第一类正交变换

(或旋转)；当｜A｜=－1时，称A为第二类正交变换.

性质6

正交变换保持向量夹角不变，反之则不一定.

证明：设σ是正交变换→对任意的α,β∈V,

(σ(α),σ(β))=(α,β)；

｜α｜=｜σ(α)｜,｜β｜=｜σ(β)｜.

当α,β中有一个为0，则σ(α),σ(β))中有一个为0，故

〈σ(α),σ(β)〉=〈α,β〉=900；若α,β均非0向量，则〈α,β〉=arccos(σ(α),σ(β))/｜σ(α)｜｜σ(β)｜

=arccos(α,β)/｜α｜｜β｜=〈σ(α),σ(β)〉,

即σ保持向量夹角不变.

反之，则不一定，如数乘变换保持夹角不变，但不是正交变换.例1V2中将每一向量按逆时针方向旋转θ度的变换是正交变换σ.取标准正交基ε1=(1,0),ε2=(0,1),则

容易验证矩阵A是正交矩阵，且｜A｜=1，故σ是第一类正交变换.

例2

令π是过原点的平面，α

σ是V3关于π的镜面反射.

取ε1,ε2为π的标准正交

基，即过原点互相垂直的oπ

单位向量构成基.取ε3为

过原点且垂直π的单位向

量，则ε1,ε2,ε3为V的标σ(α)准正交基.由镜面反射的定义，σ(ε1)=ε1,σ(ε2)=ε2,σ(ε3)=－ε3.对任意的α∈V3

，设α=x1ε1+x2ε2+x3ε3,则

σ(α)=x1σ(ε1)+x2σ(ε2)+x3σ(ε3)=x1ε1+x2ε2

－x3ε3,

故｜σ(α)｜2=x12+x22+x32=｜α｜,即推出

｜σ(α)｜=｜α｜，所

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