2026届高中数学（人教A版2019）3.3 抛物线 例题、课后习题及变式题【附答案】

/3.3抛物线第三章圆锥曲线的方程3.3抛物线3.3.1抛物线及其标准方程例1（1）已知抛物线的标准方程是y2（2）已知抛物线的焦点是F(0,−2)，求它的标准方程．解：（1）因为p=3，抛物线的焦点在x轴正半轴上，所以它的焦点坐标是32,0，准线方程是（2）因为抛物线的焦点在y轴负半轴上，且p2=2，p=4，所以抛物线的标准方程是例2一种卫星接收天线如图3.3-3左图所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线．在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处，如图3.3-3（1），已知接收天线的口径（直径）为4.8m，深度为1m．试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标．图3.3-3解：如图3.3-3（2），在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，焦点在x轴上．设抛物线的标准方程是y2=2px(p>0)．由已知条件得，点A的坐标是2.42即p=2.88．所以，所求抛物线的标准方程是y2=5.76x，焦点坐标是(1.44,0)练习1．根据下列条件写出抛物线的标准方程：（1）焦点是F3,0（2）准线方程是x=−1（3）焦点到准线的距离是2．【答案】（1）y2=12x；（2）y2=x；（3）【分析】（1）根据抛物线的焦点坐标可写出抛物线的标准方程；（2）根据抛物线的准线方程可写出抛物线的标准方程；（3）根据抛物线的焦点到准线的距离可写出抛物线的标准方程.【详解】（1）由题意可知抛物线的焦点在x轴的正半轴上，设抛物线的标准方程为y2则p2=3，可得p=6，所以，抛物线的标准方程为（2）由题意可知抛物线的焦点在x轴的正半轴上，设抛物线的标准方程为y2则−p2=−14（3）抛物线的焦点到准线的距离为p=2，所以，抛物线的标准方程为y2=±4x或2．求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：(1)y2(2)x2(3)2y(4)x2【答案】(1)焦点坐标为(5,0)，准线方程为x=−5．(2)焦点坐标为(0,18)(3)焦点坐标为−58,0(4)焦点坐标为(0,−2)，准线方程为y=2．【分析】先将抛物线化为标准方程，再由抛物线的性质，可得抛物线的焦点坐标和准线方程．(1)解：∵y∴2p=20，即p=10，∴抛物线y2=20x的焦点坐标为(5,0)，准线方程为(2)解：∵x∴2p=12，即∴抛物线x2=12y(3)解：∵2y∴y∴2p=−52，即∴抛物线2y2+5x=0的焦点坐标为−(4)解：∵x∴x∴2p=−8，即p=−4，∴抛物线x2+8y=0的焦点坐标为(0,−2)，准线方程为3．填空（1）抛物线y2=2px(p>0)上一点M与焦点的距离是aa>p2，则点M到准线的距离是（2）抛物线y2=12x上与焦点的距离等于9的点的坐标是【答案】

a

a−p2

(6,6【分析】(1)根据抛物线的定义可得点M到准线的距离，写出准线方程即可得解；(2)写出抛物线y2【详解】(1)由已知结合抛物线定义得点M到准线的距离是a；抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=−p2，设M的横坐标x所以点M到准线的距离是a；点M的横坐标是a−p(2)抛物线y2=12x的准线x=−3，设所求点坐标为由(1)知x1=6，此时y1所以所求点坐标这(6,62)或故答案为：(1)a；a−p2；(2)(6,63.2抛物线的简单几何性质例3已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在原点，并且经过点M(2,−22解：因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在原点，并且经过点M(2,−22y2因为点M在抛物线上，所以(−22解得p=2．因此，所求抛物线的标准方程是y2例4斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段分析：由抛物线的方程可以得到它的焦点坐标，又直线l的斜率为1，所以可以求出直线l的方程；与抛物线的万程联立，可以求出A，B两点的坐标；利用两点间的距离公式可以求出AB．这种方法思路直接，具有一般性．请你用此方法求AB．下面介绍另外一种方法——数形结合的方法．在图3.3-4中，设Ax1,y1，Bx2,y2．由抛物线的定义可知，|AF|等于点A到准线的距离|AA|AB|=|AF|+|BF|=x由此可见，只要求出点A，B的横坐标之和x1+x解：由题意可知，p=2，p2=1，焦点F的坐标为(1,0)，准线方程为x=−1．如图3.3-4，设Ax1,y1，Bx2|AF|=dA=于是|AB|=|AF|+|BF|=x因为直线l的斜率为1，且过焦点F(1,0)，所以直线l的方程为y=x−1．①将①代入方程y2=4x，得x2所以x1|AB|=x所以，线段AB的长是8．练习4．求适合下列条件的抛物线的标准方程：（1）关于x轴对称，并且经过点M(5,−4)；（2）关于y轴对称，准线经过点E(5,−5)；（3）准线在y轴的右侧，顶点到准线的距离是4；（4）焦点F在y轴负半轴上，经过横坐标为16的点P，且FP平行于准线．【答案】(1)y2=165x.(2)x【分析】(1)设出抛物线方程代入点的坐标即可求得抛物线方程.(2)先求得准线方程，利用准线方程求得p的值，求得抛物线方程.(3)利用抛物线的几何性质求得p，求得抛物线方程.(4)利用焦半径公式及抛物线的几何性质求解即可.【详解】(1)由题可设抛物线的标准方程为y2∵抛物线过点M(5,-4),∴16=10p，p=则抛物线的标准方程为y2(2)∵抛物线关于y轴对称,且准线过点E(5,-5),∴抛物线的焦点在y轴正半轴上,设抛物线的标准方程为x2由题知，抛物线的准线方程为y=−5,所以p2=5，得抛物线的标准方程为x2(3)抛物线的准线在y轴右侧，∴可设抛物线的方程为y2∵抛物线顶点到准线的距离是4,所以p2=4，得∴抛物线的标准方程为y2(4)抛物线的焦点F在y轴负半轴，∴可设抛物线的方程为x2∵抛物线经过横坐标为16的点P,162=−2py,又FP平行于准线，∴−∴p=16∴抛物线的标准方程为x25．在同一坐标系中画出下列抛物线，观察它们开口的大小，并说明抛物线开口大小与方程中x的系数的关系：（1）y2=12x；（3）y2=2x；

（4）【答案】图象如图，x的系数的绝对值越大,抛物线的开口越大.【分析】作出抛物线图象，得x的系数的绝对值越大,抛物线的开口越大.【详解】解:抛物线如图,x的系数的绝对值越大,抛物线的开口越大.6．过点M(2,0)作斜率为1的直线l，交抛物线y2=4x于A，B两点，求【答案】4【分析】直线方程与抛物线方程联立，结合韦达定理，利用弦长公式，计算求值.【详解】直线l:y=x−2与抛物线方程联立y=x−2y2=4xΔ=64−16=48>0，设A(x得x1+x所以AB=7．垂直于x轴的直线交抛物线y2=4x于A，B两点，且|AB|=43【答案】x＝3【分析】先根据弦长求得A，B的坐标，代入抛物线方程可得．【详解】解：∵垂直于x轴的直线交抛物线y2＝4x于A、B两点，且|AB|＝43，∴A（x，23），B（x，−23代入抛物线方程可得：12＝4x，x＝3∴直线AB的方程为x＝3.例5经过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，经过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴．分析：我们用坐标法证明这个结论，即通过建立抛物线及直线的方程，运用方程研究直线DB与抛物线对称轴之间的位置关系．建立如图3.3-5所示的直角坐标系，只要证明点D的纵坐标与点B的纵坐标相等即可．图3.3-5证明：如图3.3-5，以抛物线的对称轴为x轴，抛物线的顶点为原点，建立平面直角坐标系xOy．设抛物线的方程为y2=2px(p>0)，点A的坐标为y022py=2py0抛物线的准线方程是x=−p2．联立②③，可得点D的纵坐标为−p因为焦点F的坐标是p2,0，当y0y=2py0联立①④，消去x，可得y0y−y可得点B的纵坐标为−p2y0，与点D的纵坐标相等，于是当y02所以，直线DB平行于抛物线的对称轴．例6如图3.3-6，已知定点B(a,−h)，BC⊥x轴于点C，M是线段OB上任意一点，MD⊥x轴于点D，D，ME⊥BC于点E，OE与MD相交于点P，求点P的轨迹方程．图3.3-6解：设点P(x,y)，M(x,m)，其中0⩽x⩽a，则点E的坐标为(a,m)．由题意，直线OB的方程为y=−hax因为点M在OB上，将点M的坐标代入①，得m=−hax所以点P的横坐标x满足②．直线OE的方程为y=max因为点P在OE上，所以点P的坐标(x,y)满足③．将②代入③，消去m，得x2即点P的轨迹方程．练习8．求适合下列条件的抛物线的标准方程：（1）焦点F关于准线的对称点为M(0,−9)；（2）关于y轴对称，与直线y=−12相交所得线段的长为12；（3）关于x轴对称，以焦点和准线上的两点为顶点的三角形是边长为23【答案】（1）x2=12y；（2）x2=−3y；（3）【分析】用待定系数法求抛物线的标准方程.【详解】（1）由题意可设抛物线的标准方程为：x2=2pyp>0，焦点F0,p因为焦点F关于准线的对称点为M(0,−9)，所以p=−p2−所以所求抛物线的标准方程为：x2（2）由题意可设抛物线的标准方程为：x2因为直线y=−12与抛物线相交所得线段的长为12，所以点6,−12在抛物线上，代入得：62=−2p−12所以所求抛物线的标准方程为：x2（3）由题意可设抛物线的标准方程为：x2=2pyp>0当焦点在x轴正半轴上时，因为△MNF为等边三角形，且MF=2则DF=MFsin所以抛物线的标准方程为：y2同理可求，当焦点在x轴负半轴上时，抛物线的标准方程为：y29．点M(m,4)在抛物线y2=24x上，F为焦点，直线MF与准线相交于点N，求【答案】15【分析】先求出点M坐标，再求出直线MF方程，进而求出点N坐标即可得解.【详解】因点M(m,4)在抛物线y2=24x上，则24m=42⇒m=直线MF：y=4−023−6(x−6)，即y=−由y=−34x+92所以|FN|=15.10．设抛物线x2=2py(p>0)上的点M与焦点F的距离为4，点M到y轴的距离为3p，求抛物线的方程和点【答案】x2=10y；【分析】根据抛物线定义，用p表示点M的纵坐标，进而将点M的坐标表示出，再代入抛物线方程即可作答.【详解】抛物线x2=2py(p>0)的准线方程为y=−p2，设点由已知结合抛物线定义得y0−(−p2)=4⇒y0于是得点M(±3p,4−p2)从而有(±3p)2=2p(4−p2)所以抛物线的方程为x2=10y，点M的坐标为11．两条直线y=kx和y=−kx分别与抛物线y2=2px(p>0)相交于不同于原点的A，B两点，k为何值时，直线【答案】k=±2【分析】易得A，B两点关于x轴对称，联立直线与抛物线方程求得焦点坐标即可列出式子求解.【详解】∵直线y=kx和y=−kx斜率互为相反数，且都过原点，则两直线关于x轴对称，又抛物线y2=2px(p>0)关于x轴对称，焦点坐标为则A，B两点关于x轴对称，由y=kxy2=2px可得x=2pk要使直线AB经过抛物线的焦点，则2pk2=所以当k=±2时，直线AB经过抛物线的焦点.12．已知圆心在y轴上移动的圆经过点A(0,5)，且与x轴、y轴分别交于B(x,0)，C(0,y)两个动点，求点M(x,y)的轨迹方程.【答案】x【分析】利用给定条件表示出圆心坐标，再由圆上的点到圆心距离相等即可作答.【详解】因圆心在y轴上移动，且该圆过点A(0,5)和C(0,y)，则线段AC是圆的直径，圆心O1而点B(x,0)在圆上，则|O1B|=12所以点M(x,y)的轨迹方程x2习题3.3复习巩固13．求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：(1)x2(2)4x(3)2y(4)y2【答案】(1)焦点坐标为(0,12)(2)焦点坐标为(0,−316)(3)焦点坐标为−18,0(4)焦点坐标为−18,0【分析】先将抛物线化为标准方程，再由抛物线的性质，可得抛物线的焦点坐标和准线方程．(1)解：抛物线x2=2y的焦点坐标为(0,1(2)解：抛物线4x2+3y=0的标准方程为：x2=−(3)解：抛物线2y2+x=0的标准方程为：y2=−(4)解：抛物线y2−6x=0的标准方程为：y2=6x，抛物线的焦点坐标为14．填空题（1）准线方程为x=2的抛物线的标准方程是________．（2）抛物线y2=8x上与焦点的距离等于6的点的坐标是【答案】

y2=−8x【分析】（1）利用抛物线的性质得p2=2，得【详解】解：（1）准线方程为x=2，则p2=2，得p=4，且焦点在x轴上，故抛物线方程为（2）设所求的点坐标为Px,y，抛物线y2=8x上与焦点的距离等于6，则x+2=6，得x=4，代入抛物线方程得y=±415．已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M与焦点F的距离【答案】3【分析】利用抛物线的定义可M点的横坐标，代入抛物线方程求出M的坐标.【详解】因为抛物线y2=2px(p>0)上一点M与焦点F的距离所以xM所以xM=3P所以点M的坐标为：(故答案为：(16．根据下列条件，求抛物线的标准方程，并画出图形：（1）顶点在原点，对称轴是x轴，并且顶点与焦点的距离等于6；（2）顶点在原点，对称轴是y轴，并经过点P(−6,−3)．【答案】（1）y2＝±24x，图见解析；（2）x2＝﹣12y，图见解析．【分析】（1）设抛物线的标准方程为：y2＝2px，根据顶点与焦点的距离|p2|＝6，求出p（2）设抛物线的标准方程为：x2＝2py，根据抛物线经过点P（﹣6，﹣3），求出p值，可得抛物线的标准方程．【详解】解：（1）∵抛物线顶点在原点，对称轴是x轴，∴设抛物线的标准方程为：y2＝2px，又∵顶点与焦点的距离|p2|＝6∴p＝±12，∴抛物线的标准方程为：y2＝±24x；（2）∵顶点在原点，对称轴是y轴，∴设抛物线的标准方程为：x2＝2py，又∵抛物线经过点P（﹣6，﹣3）．∴36＝﹣6p，解得：p＝﹣6，∴设抛物线的标准方程为：x2＝﹣12y．17．如图，M是抛物线y2=4x上的一点，F是抛物线的焦点，以Fx为始边、FM为终边的角∠xFM=60°，求【答案】|FM|=4【分析】求出抛物线y2=4x的准线方程并作出，过【详解】抛物线y2=4x的准线为x=−1，过M作MB垂直于直线x=−1，垂足为B，作FA⊥MB于A，直线x=−1与x轴交于点则MB//x轴，即∠FMB=∠xFM=60∘，四边形ABKF是矩形，Rt△MFA中，由抛物线定义知|MB|=|FM|，F(1,0)，而|MA|+|AB|=|MB|,|AB|=|KF|=2，则12|FM|+2=|FM|，解得所以|FM|=4.18．如图，直线y=x−2与抛物线y2=2x相交于A，B两点，求证：【答案】证明见解析.【分析】联立直线与抛物线方程，消元成一元二次方程，借助韦达定理求出x1【详解】由y=x−2y2=2x得y则有y1y2=−4，x1所以OA⊥OB.19．如图，吊车梁的鱼腹部分AOB是抛物线的一段，宽为7m，高为0.7m．根据图中的坐标系，求这条抛物线的方程．【答案】x2=【分析】根据图形设出抛物线的方程，把点A或B的坐标代入即可求出抛物线的方程．【详解】解：根据图形，设抛物线的方程为y＝ax2（a＞0），则该抛物线过点B（72,0.7∴a×(72)2=∴该抛物线的方程为y=235x2即x20．图中是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2m，水面宽4m．水面下降1m后，水面宽多少？（精确到0.1m，参考数据6≈2.450【答案】4.9m【分析】建立如图坐标系，根据题意得出点A(2,−2)，将其代入抛物线解析式y=ax2求出a，即可得函数解析式，再令【详解】解：建立如图所示的坐标系，根据题意知点A的坐标为(2,−2)，设抛物线解析式为y=ax将点A(2,−2)代入，得：4a=−2，解得：a=−1∴y=−1当y=−3时，有−3=−1解得：x=±6∴水面的宽度为26综合运用21．从抛物线y2=2px(p>0)上各点向【答案】y2=1【分析】设出抛物线上的点M(x0，y0)及它向x轴所作垂线段的中点P的坐标，再探求出它们的关系即可作答.【详解】设抛物线上的点M(x0，y0)，过M作MQ⊥x轴于Q，设线段MQ中点P(x，y)，于是有x0=xy0=2y，而y当M为抛物线顶点时，可视为过M作x轴垂线的垂足Q与点M重合，其中点P与M重合，坐标也满足上述方程，所以垂线段的中点的轨迹方程是y2=122．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2=2px(【答案】4【解析】设另外两个顶点的坐标分别为A(x1，y1)、【详解】设正三角形OAB的顶点A、B在抛物线上，且设点A(x1，则y12=2p又|OA|=|OB|，∴x12+∴(x1−x2)(x∴x1=x2，由此可得y1∵x轴垂直于AB，且∠AOx=30∴y1∵x1∴y1∴|AB|=2y23．已知A，B两点的坐标分别是(−1,0)，(1,0)，直线AM，BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是2，求点M的轨迹方程．【答案】y=1−x2【分析】设P(x,y)，kAM−k【详解】解：设M(x,y)，则kAM整理，得y=1−x2，∴动点P的轨迹方程是y=1−x2，故答案为：y=1−x2，拓广探索24．已知抛物线的方程为y2=4x，直线l绕点P(−2,1)旋转，讨论直线l与抛物线（1）画出图形表示直线l与抛物线的各种位置关系，从图中你发现直线l与抛物线只有一个公共点时是什么情况？（2）y2=4x与直线【答案】(1)相切或相交于一点；(2)相等.【分析】(1)在同一坐标系下，作出抛物线，再作过点P的一系列直线，观察所画图形即可得解；(2)联立直线l与抛物线的方程组，讨论方程组解的情况与观察图形所得交点个数比对即可得解.【详解】(1)直线l与抛物线的位置关系有相交、相切、相离三种，如图：其中相交时有相交于两个公共点和相交只有一个公共点(图中直线l0)，观察图形知，直线l与抛物线只有一个公共点时，直线l与抛物线相切(图中直线l1，l2)和相交于一个公共点(图中直线l0与x轴平行)；(2)直线l的斜率存在时，设直线l的斜率为k，方程为y−1=k(x+2)，即kx−y+2k+1=0，由kx−y+2k+1=0