2026年全国高中数学联赛一试模拟卷含答案

2026年全国联赛一试模拟卷2．设定义在R上的偶函数f满足：f(x)在[0,+∞)上严格单调递增．若实数a≠0满足：意x≥−1组成有序对(A,B)，则事件“A,B不交”与事件“A中奇数的个数等于B中偶数的个数”同时发生4．设实数λ满足：存在等差数列{an}，使得关于正整数n的不等式a+1≥λanan+2的解集恰为{1,2,…,10}．则λ的取值范围为_____.BCBC=._____6．在平面上，双曲线r1和椭圆r2有两个相同的焦点F1,F2．设r1和r2的四个交点为 A,B,C,D，且A,B,C,D在r2上顺次排列．若四边形AF2CF1的面积等于四边形ABCD的面积，则r1和r2的离心率之积为.7．设三棱锥A−BCD满足AB,BC,BD两两垂直，且AB=BC=BD=3．设M,N分别为BC,BD的中点．若点B到过M,N的平面α的距离为1，则α截A−BCD所得的截面面积的所（即至少有一个不出现），则这样的排列方式有二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.11本题满分20分）在平面直角坐标系xOy中，曲线r:x+y2=1．设A1,A2,A3,A4，A5,A6为r上顺次排列的六个互不相同顶点，满足对i=1,2,3，线段AiAi+1与线段Ai+3Ai+4平行（2）求六边形A1A2A3A4A5A6面积的最大可能值.2026年全国联赛一试模拟卷参考答案答案：1解：由题意，log4a>0，且2b若a>0，则当x充分大时上式不成立；若a<0，则上式等价于x≥,它对一切x≥−1成立当且仅当3．设集合X={1,2,3,4,5}，从X的所有非空子集中，依次等可能地选取两个不同的子集A,B，组成有序对(A,B)，则事件“A,B不交”与事件“A中奇数的个数等于B中偶数的个数”同时发生的概率为. {2,4}的非空子集，B为{1,3,5}的非空子集，共有3×7=21种；当k=1时，先分别选出A中的奇数和B中的偶数，再将其余两个奇数分别放入B或舍去，将其余一个偶数放入A或舍去，共有3×2×22×2=48种；4．设实数λ满足：存在等差数列{an}，使得关于正整数n的不等式a+1≥λanan+2的解集恰为{1,2,…,10}．则λ的取值范围为.2+λ≥0若λ≤1，则该不等式恒成立或对充分大的n成立，不可能以{1,2,…,10}为解集，故λ>1．此时，记则原不等式等价于n+μ≤r.要使满足该式的正整数恰为1,2,…,10，必要条件为2r≥9．反之，当2r≥9时，取μ=−r10，则上式等价于10−2r≤n≤10，其正整数解恰为1,2,…,10．于是λ符合要求⇔综上，1<λ≤这表明b.c=5.因此，BC2=c−b2=22+42−2×6．在平面上，双曲线r1和椭圆r2有两个相同的焦点F1,F2．设r1和r2的四个交点为A,B,C,D，且A,B,C,D在r2上顺次排列．若四边形AF2CF1的面积等于四边形ABCD的面积，则r1和r2的离心率之积解：以F1F2的中点O为原点、直线F1F2为x轴，建立平面直角坐标系xOy.设F1−c,0)，双曲线r1与椭圆r2的实半轴长分别为a1,a2．由对称性，可设A(x,y)，其中x,y>0，7．设三棱锥A−BCD满足AB,BC,BD两两垂直，且AB=BC=BD=3．设M,N分别为BC,BD的中点．若点B到过M,N的平面α的距离为1，则α截A−BCD所得的截面面积的所有可能值为.27212721解法一：以B为原点，分别以BA,BC,BD所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则当时，平面经过A，截面为□AMN．设X为MN的中点，则AX丄MN，且AX=2,MN=所以S□AMN=.AX.MN=F(1,2,0),G(1,0,2)．此时截面为四边形MFGN，且 解法二：设α与直线AB的交点为E.若E在射线BA上，设MN的中点为X，则EX丄MN，又EB丄MN，故可知BX丄MN，容易知道B在是E=A，故可知截面为AMN，面积为.AX.MN=若E在AB的延长线上，同理可知BE=3，设EM交AC为F，设EN交AD为G，则FMN于是又FG//MN，对□EMB及截线AFC，由Menelaus定理可知于是可知一个不出现），则这样的排列方式有种.答案：174解：设A={出现相邻的“20”},B={出现相邻的“26”}．题意要求“20”和“26”不同时出现，因此所求为N−A∩B，其中N为全部排列数._a1_a2_a3_a4_二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.ω的取值范围.10本题满分20分）设a,b,c是实数，z1,z2,z3,z4是方程x4+20x3+ax2+bx+c=0的4个复根．若zi},2}，求c的所有可能值.解：首先，z1,z2,z3,z4互不相同，考虑它们在复平面内对应的四个点．若其中三点共线，则这三点所确定的三条线段中，较短的两条长度之和等于最长的一条，而2,2,2及由2,2组成的其他三元组均不满足此条件，故任意三点均不共线．对任意三个点，设其构成的三角形三边长为p,q,r，则r2,故由余弦定理知，该三角形的每个角都不是钝角.若四点中有一点在另外三点所成三角形的内部，则从该点向三角形三个顶点连线，所得三个角之和为360。，其中至少有一个角大于90。，与上述结论矛盾．因此四点构成一个凸四边形．该四边形的每个内角均为上 述某个三角形的角，故均不大于90。；又其四个内角之和为360。，所以四个内角均为90。，即该四边形为矩 形.由于原方程的系数均为实数，故四个根所成的点集关于实轴对称．正方形的中心也关于实轴对称，故其中心在实轴上；且实轴必为该正方形的一条对称轴，因此正方形的边或对角线与坐标轴平行．设其中心对应的实数为t，则四个根或者为t2t2411本题满分20分）在平面直角坐标系xOy中，曲线r:x+y2=1．设A1,A2,A3,A4，A5,A6为r上顺次个元素有公共的中点.第一类，有一个端点的横坐标≥0，另一个端点的横坐标≤0．设这两个端点的纵坐标分别是y1,y2，则这因此，不能同时有第二类、第三类弦.若c中有两条第二类弦，设这两条弦的端点纵坐标分别是y1,y2;y3,y4，则y12y4.同理，c中没有两条第三类弦.所以c中有两条第一类弦，则这两条弦没有公共端点．设这两条弦的端点纵坐标分别是y1,y2与y3,y4，则y2y4由此易知：要么y1=y3且y2=y4，要么y1+y2=y3+y4=0.若前者成立，注意到若r上两不同点的纵坐标相等，则这两点一定关于y轴对称．因此这两条第一类弦也关于y轴对称，它们的公共中点在y轴上．故y．而y