考研数学（数学一）模拟试卷497

考研数学（数学一）模拟试卷497

一、选择题（本题共8题，每题1.0分，共8分。）

/sin(T-z)3d/

o

x£sin(x—/)3dz

1、

A、1/2.

B、1/3.

C、1/4.

D、1/5.

标准答案：D

知识点解析：

zsin(z-z)3d/(x-w)sinu'du

xjsint/dw

M；sinu'dw-usinuJduusinuJ(lu

LOjJsinw1da叫花;嬴

十3.

usini?du.sin-+3^8s/.■/十"c0os.r

而lim笔--------lim77=1=1

~^2sin/MensV：吧。sinVT；~3

sinw3dw4-.rsinx32-z—I-3cosT

i41

undefined55

oo

-a小）sinn6

2、设数列｛an｝单调增加且有上界，。为常数，则级数”7

A、发散.

B、条件收敛.

C、绝对收敛.

D、敛散性与。有关.

标准答案：C

知识点解析：暂无解析

3、设g(x)在(-8,+8)内存在二阶导数,且g"(x)<0.令f(x)=g(x)+g(—X),

则当X#)时

A、r(x)>o.

B、f'(x)<0.

C、f'(x)与x同号.

D、f'(x)与x异号.

标准答案：D

知识点解析：暂无解析

、江……D-r)sintdt,

4、设f(x)连续且f(x)M),F(x)=Jo，则rilF"(x)十F(x)=

A、f(x)sinx.

B、f(x)cosx.

C、f(x)(sinx+cosx).

D、f(x).

标准答案：D

知识点解析：

F(x)=I。/(x-Z)sin疝/(u)sin(x-u)(-dw)

=[j/(u)cossin工—[1/(〃)sin“du[cos

F(x)=/(x)cosjrsinx—/(a)sinxcosz+[|f(u)cosudujcos]+[|f(u)s\nwdujsinx

=[j/(u)cosuAu]cos[jof(u)sinwdwsi

—[j/(u)cosudw^sinx-|-/(u)sinudu]cos

尸(%)=/(x)cos2x4-/(x)sin2x

5、设n阶行列式D中有一行元素及其余子式均为a(a#)),k是自然数，则

A、n=2k,D=0.

B、n=2k+l,D=0.

C、n=2k,D=a2.

D、n=2k+l,D=—a2.

标准答案：A

知识点解析：暂无解析

A=

6、设L。"」是2阶实矩阵，则下列条件不是A相似于对角阵的充分条件

的是

A、ad—bc<0.

B、b>c同号.

C^b=c.

D^b,c异号.

标准答案：D

知识点解析：

|AE-AI='ab=*—Q+d)a+〃—6c.

一c入一d

a+d士，(a+d)z-4(M-be)

Al.2=(*)

2

a+d士—d)2+4-c

=2,(**)

-1—i-iA-11

undefinedLl-1Jundefined11入+1undefined4d人

7、某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的.根据以往的记录有

元件制造厂次品率提供元件的份额

10.020.15

20.010.80

30.030.05

以下的物据.—

工厂的产品在仓库中均匀混合且无区别标志.现从仓库中随机地取一只元件，若己

知取到的是次品，则最有可能来自

A、元件制造厂1.

B、元件制造厂2.

C、元件制造厂3.

D、无法判断.

标准答案：B

P(A,)P(B|A)

知识点解析：P(B)

8、设X|,X2,…，Xn是取自总体X〜N(w/)的简单随机样本.样本均值

*="与*,样本方差"=£E"则下列说法不-定正确的

是

A、样本均值X是N的无偏估计、一致估计.

B、样本方差S2是『的无偏估计、一致估计.

()是仔的一致估计，但不是无偏估计

c、X2

D、样本标准差S是。的无偏估计，但不是一致估计.

标准答案：D

知识点解析：Xundefined^undefined""undefined0undcfincd*S)undefined

瓦6)2]=D(X)+田X)了=£+"W"„因2

二、填空题（本题共6题，每题7.0分，共6分。）

、[/(z)clr=

9、已知F(x)=arctan(x-1广，f(0)=0,则Jo.

-L——Li2)

标准答案：2V42mn勾

知识点解析：

z

/(z)=/(0)+J。f(t)dt=arctan(z-l)d/t

J：/(x)dr=£drj；arctanU-1产山，3皇部分次序j；dzjarctan(r-l)2dj

=J：(J)arctan(LD%士匕4(arctan“du=4(于一外2)

10、设f(u)有连续的一阶导数，S是曲面z=6+x2+y2(69W7),方向取上侧.则曲

面积分d不^u十L方+左_=_*9,+21'2+'=.

标准答案：0

知识点解析：添平面S|：z=7(x2+y2<l),向下，

JJ号[1—~_/("7)卜泌+(-)dzdr+“/仪)dxdy

=(可可用卜曲+'/(5)dzdr+//T)drdy

SUS16：

=R*dv—『//(岸)drdy=0(对称性).

°J如

jq=1

11、椭圆43绕x轴旋转一周生成的旋转曲面S的面积=.

67r+1^/

07TT1U

标准答案：30

知识点解析：由题可知丫=

2274^?274^7

2R2

S=J,2ny/l+(y)dr=73K/16-J2dr

2

JL

=信『旃了匕且"166cos2tdt

Jo0

=16虑TTR(十+/cos2z)dz=16通江(~^一1sin2t)6

4

=16信（金+专）=6吊外

k

“”=W(〃+归)5+4+1)，则lim〃”

12、设

In2—1-

标准答案:乙

A

k1n

=

(〃+%)(r?+A+l)7(〃+&)2n

知识点解析:一方面,因为（田

而

k

7：11^"=卜2++一1=出2—十.

一lim-白2(1+»,0(1+^^=。京匕一

另一方面,

Ak_

上=1n、n1n

(〃+A)(〃+A+l)〃+11+—)(1+-中V(14--)(1+—)

'〃/'nz

勤品:而伸=卜2T.

（1+《）（］+:）

lim〃”=In2—1-.

由夹逼定理—y2

„I，R是n维列向量，a,b,c是实数，已知

■，ia।

|A|=a,c工=0A',

P6/J

则=.

标准答案：(c-b)a

知识点解析：

AaAa+0AaA0

=04-(c-b)|A|=(c—6)a.

pib+c-b/h/C-b

14、设(X,Y)的联合分布列如下，且X和Y相互独立,

12

33J.A

____________®____I_________则E(XY)=.

4±

标准答案：6

知识点解析：求a,b的值有两种方法.法一利用独立性定义，有

P(X=2.Y=1}=或,P(X=2}=或+}=卷.P<Y=D=a+*+==°+/

因为P{X=2.Y=1}=P{X=2>P{Y=D,故有*=春(a+!)，解得以=看；

由归一性，得6=1

111

2412

3±b

Ls

法二由联合概率矩阵8」的秩等于1,可知道矩阵任两行(或两列)成

比例.由第2列知第1行是第2行的1/3倍，所以0838；由第1行知第

3列是第2列的2倍，所以异=!X2=3•.故(X,丫)的联合分布列为

024

111

1

2412

_3J_1

O

884所以E(XY)=

IX2X吉+1X4X=+3X2X$+3X4X9=44

三、解答题(本题共18题，每题1.0分，共18分。)

15、设1为从点A(—兀，0)沿曲线y=sinx至点B(7t,0)的有向弧段，求

■

I=(e-Jsinz+3y-cosy)dr+(xsiny-y)dy.

•/1

标准答案：如图所示，添加有向直线段y=0,自点B(mO)至点A(一兀，0),其

中自点B至点0(0,0)的有向直线段记为11,点0(0,0)至点A的有向直线段记为

12，曲线y=sinx(一后0)与1山构成8字形.分别围成为两个有界闭区域,记为

Di与D2.Di的边界走向为负向，D2的边界走向为正

=Ji[/zsiny)-y-(ersinz+3y-cos-

/"y

q3d(7=3J匕=3S%，/3上=31cb=3Sq,而Sp=S%，故一3cb+jj3da=0.

于耳/A)%%

又J-—sinxdx=0,所以I=-2兀

知识点解析：暂无解析

设f(x,y)在平面区域D={[x,y)|x2+y2q}上有二阶连续偏导数，旦

亚+亚=-(/+力

3工2。:尸，1为D的边界正向一周.

16、证明

y£（x2+y）（/idr—=_JJa，+»/：）上一曰］［（〃+

DD

J）（/X+A）上

22/22z

标准答案：由格林公式，P（x,y）=（x+y）fy,Q（x,y）=—（x+y）fx>则

（x24-y）（/dr-/dy）=y^［{#_叱+，）£］一却（？+'）'］）立

知识点解析：暂无解析

+/）匕

17、求二重积分%

标准答案：由（I）并利用条件乙（,一））有

If（if+»6）*=—•（7+，）（/dj■一匕力）—"（z2+y）c3力匕

对于

上面右边第一式，由于在1上，x2+y2=1,于是

一~^£（〃+,）（«疝一6力）=一~^§/dLr—fdy

.格里」［g-+6）*=+°e（~）%.

DD

j1("+»力匕=+J-（，…）匕一~}『（j2+，）e（/）匕

从而

"j)

=Yj：601e--du-^-j：do\'ueBdu

=十J的J(e"-ueu)de/=-y(uett)工厂=工

22e,

哲无解析°

知识点解析:

rdr

(14-J2)(1+),

设a是常数,考虑积分J°

18、证明上述积分总是收敛的；

标准答案：由（I）并利用条件乙+乙~（~）有

，（rl+y，）上N-!■£（/+，）（6dr-Ady）—~（M+V）。（"「）da.

对于上面右边第一

式，由于在I上，x2+y2=l,于是

一",£（〃――）（—乙一—d》）=一十色力dr一£d»

・格吆-别.+6油=+Je（户+）匕

〃

从而y（"+»<）命/”（/•，）・■!!3+y〉e（入力上

=+『Mc'dw-ir时:“ed

<*4：（L-e”也二受（"cF「二件厂=耒

知识点解析：暂无解析

19、求上述积分的值.

标准答案：作积分变量代换，令*=£1=

尸业=_「厂—=广♦一

Jo（】+#（1+。）1Jf（1+尸Mi+乐一J。（i4-?）（i4-r）*从而％=

广■—+r'L.=r-A-=arctan,…=2

Jo（1+产）（1+，）Jo（i+/）（l+r）Jol+Fo2所以

1=工

4，

知识点解析：暂无解析

<ril>x

「d+「

设n为正整数,F（X）=Jl人

20、证明：对于给定的n,F（x）有且仅有一个零（实）点，并且是正的，记该零点为

心）=/1也+工备…

S11

尸（3）=*'%+JeFt!…

产（力=+.e<^.（n+l）>0,

标准答案:•十】所以对于给定的

---VQ<f—（M

n,F（x）有且仅有一个零点，记为an，且〃+1"舞

知识点解析：暂无解析

21、证明辕级数・T,在X=-1处条件收敛，并求该塞级数的收敛域.

—r-rVa”V-(n=1,2,…)

标准答案：由于〃+1«,所以有

—^75V“i<TaH<a-<；(n=1,2,…)卜

"+2〃+1〃所以｛an)严格单调减少且.…=0由

莱布尼茨定理知2”•收敛.但“"1,所以‘4"发散.所以哥级数

在x=1l处条件收敛，且收敛域为［一1,1).

知识点解析：暂无解析

(x2Inj")-by—ln2jr(x>1).

设微分方程

二一y

22、做自变量变换t=lnx以及因变量变换z=&L请将原微分方程变换为z关

于t的微分方程；

标准答案：由t=lnx,有

力=力,也=上・亚，

drd/drz也'

d2.y_1dy,J__d__L立4J_g.也=一》L区+工身,

业2一—？■由工业(山)ddz十工心zdxJTdi2

得

MYF)一(才一加：再由z=»y得z关于t的微分方程为用〜

知识点解析：暂无解析

23、求原微分方程的通解.

dz__工

标准答案：由上述方程石一7一人解得

z=J"d/+Gld/+G)="f+G)=H+("得

虬解得

y=d[]d+CDe，d/+a]

=-/-2z-2-G(，+D+C2d=一/一(G+2)(/4-DiGx

记C3=-G-2C=C2..一

,■"—(Injr)?+C?(Inz+1)+G«r.

其中Ci，C2为

任意常数.

知识点解析：暂无解析

设";a™.

24、求满足AX—XA=O的所有X；

标准答案：用待定元素法求X设X=［g勾］,代入方程，则AX—XA=

=「12］广尸々］「12］

Li-i」Lr：,右」LJ-3JLI-iJ

r-r>+2zj12+24]_「【I4-J-?2x\—x2"

LX\—x3X2-JLJ3+x42x:1-J-|_

2JTI+2上2+2H$7

1=0.

.r-2xJ

23各元素为零，得齐次线性方程组

一12+2年=0,

—2工+24+2工&=0.

xi-2g-才1=0.

工2-24=0,记作Bx=0.对系数矩阵B作初笔行变换B=

■0

-2

1

_0得基础解系ai=(2,2,1,0),，a2=

」+心一

2瓦

ki

(1,0,kz.，其中Ki，也是任意常

数.则」：2kr

4」，其中Ki，&是任意常数.

知识点解析：暂无解析

25、方程AX—XA=E,其中E是2阶单位矩阵，问方程是否有解.若有解，求

满足方程的所有X,若无解，说明理由.

「"IM"

标准答案：设X=L/3力」由(I)有，AX—XA=E

■—12+24-2^|+212+2]一■10-

-xi—2xi一力4一.,01.得线性非齐次方程组

—々+2不=1.

—2j\4-2x2+2为=0.

］工—2X3-X4=0,

-2X3=1,显然，方程组中第1个和第4个方程是矛盾的，故Ax—XA

=E无解.(或由(B|b)作初等行变换，证明r(B),r(B|b))

知识点解析：暂无解析

a”々12

。21022

设二次型f（xi，X2，X3）=X【AX=（X[,X2»X3）

=2,AB=O,其中B=

26、用正交变换化二次型为标准形，并求所作正交变换;

1~1O-

112

标准答案：由题设条件AB=AL°1」=0,故B的3个歹|J向量都是Ax=O的

--r

11

-oJ,线性无关

解向量，也是A的对应于入=0的特征向量，其中』=

且正交,拒收™二重特征值.又因於K,I

个特征值是入3=2,故加=总=0是二重特征值.因A是实对称矩阵，故对应治=

2的特征向量应与备，及正交，设43=（X1，X2，X3）l，见有

故存在正交变换x=Qy,其中Q=

rl1

内42而

iA而p

0_2_也y=2y?

i痣」，使得f=XTAx=yT-As-

知识点解析:暂无解析

27、求该二次型;

ro

标准答案：先求二次型对应矩除HQTAQ=Q-'AQ=L°J故A

111「111

后万后

ro42示

111

0QT=11

=Q万示0万0

2J

1

0_211

烤㈤->/6石

r1

万「11_2_-\

■o0o-T33

100o11_2

万224TT3

1

0一对2\A屈_2__2±

院.一过3~3.

-Z

-2

4.故所求二次型

W(xf+xl+4宕-b2xiIt—4xiX3-4X2X3).

为f(Xl，X2,X3)=

知识点解析：暂无解析

28f(xj,X2,X3)=l表示什么曲面?

：2乂=1,S工士W

标准答案：法一由标准形知f(X|,X2,X3)=々表示两个平行平面.

法二由(口)得二次型f(xi，X2,X3)=

孑储+4+4必+2工5-5&—54)=}5+七一2a"若电,X2,x3)=

1,得XI+X2-2X3=~L43,表示两个平行平面.

知识点解析：暂无解析

12厂"*0<x<>,

设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=1°，其他・

29、求fx(x),fY(y)，判断X与Y是否独立？

标准答案：由随机变量(X,Y)的概率密度得

「2e-Ed”I2ex>0,

/x<x)=Jf(«r,y)dy=<JJ=jo