考研数学二（线性代数）模拟试卷41

考研数学二(线性代数)模拟试卷41

一、选择题(本题共9题，每题7.0分，共9分。)

1、设⑴，a2,a3是AX=0的基础解系，则该方程组的基础解系还可表示成().

A^ai，ao,C13的一个等价向量组

B、ai，a2，(X3的一个等秩向量组

C、ai，a］+ct2，ai+012+(13

D、eq—。2，。2一孙aa-ai

标准答案：A

知识点解析：选项B显然不对，因为与囚，a2,013等秩的向量组不一定是方程组

的解;因为ai(ai+a2)—(ai+a2+a3)=。，所以cq,ai+ai，ai+a2+a3线性相

关，不选C；由(a1一a2)+(a2—a.3)+(a3—囚)=0,所以a1一(12,«3—ai

线性相关，不选D,故应选A.

2、向量组ai，012，…，线性无关的充要条件是().

A、ai,a2，...»as均不为零向量

B、ai,a2，…，as中任意两个向量的分量不成比例

C、ai,。2，…，as中任意一个向量均不能由其余s—I个向量线性表示

D^aj,a2»...»as中有一部分向量线性无关.

标准答案：C

知识点解析：若ai，(12，…,。3线性无关，则ai，。2，...，a5中任一个向量都不

可由其余向量线性表示；反之，若山，a2,as中任一个向量都不可由其余向

量线性表示，则囚，(12，…,as线性无关,应选C.

3、设矩阵Amxn，r(A)=m<n,Em为m阶单位矩阵，下述结论中正确的是().

A、A通过初等行变换必可化为［Em，O］的形式

B、A的任意m阶子式不等于零

C、A的任意m个列向量必线性无关

D、非齐次线性方程组AX=b一定有无穷多解

标准答案：D__

知识点解析：显然r(A)Nr(A)=m,因为“为mx(n+1)矩阵，所以r(A)Wm,于是

r(A)=r(A)=m<n,故AX=b一定有无数个解，应选D.

3a+24

5aa+5

4、承A=h-12J,若齐次方程组AX=O的任一非零解均可用a线性

表示，则a=().

A、3

B、5

C、3或一5

D、5或一3

标准答案：C

知识点解析：因为AX=O的任一非零解都可由a线性表示，所以AX=O的基础解

系只含一个线性无关的解向量，从而r(A)=

3a+241-12(1-12

由A=5aa+55aa+50a+5a-5

2.1-123a+240Q+5一2

得a—5=-2或a+5=0,解得a=3或一5,应选C.

5、设都是线性方程组AX=O的解向量，只要系数矩阵A

为().

(123

312

A、211

-121

020

B、।。1。

/0-10\

c*020/

、「2

D、1123,

标准答案：C

知识点解析；因为ai，S线性无关，所以AX=O的基础解系至少含两个线性无关

-2

A0=0,A0

的解向量，从而r(A£l,再由题意得Jv1.=0,显然选C.

-74-4

-1810-8

6、设A=l2-13

则（）不是A的特征向量.

A^(―1,1,—1)T

B、(1,2,O)T

T

C、(0,I,1)

D、(2,4,

标准答案:A

1

1J不是

知识点解析:

A的特征向量，应选A.

7、下列矩阵中，不能相似对角化的是（）.

1一13

-120

A、306

100

020

B、503

780

009

C、I。00

000

000

D、I，89

标准答案：C

780

009

知识点解析：00的特征值为7,0,0,因为r(0E-A)=r(A)=2,所以入=

0对应的线性无关的特征向量只有一个，该矩阵不可相似对角化，应选C.

8、设A,B均为n阶实对称矩阵，若A与B合同，则（）.

A、A与B有相同的特征值

B、A与B有相同的秩

C、A与B有相同的特征向量

知识点解析：

11001100

0110%0110

A=

001100114

1001①0-101Qq一

11

01

00

00

则方程组有解应满足的条件为34—ai+a2—a3=0.

33

-132

20t

12、若矩阵A=19t+1,B是三阶非零矩阵，满足AB=O,则1=

标准答案：1

知识点解析：由AB=O得r因为r(B心1,所以r(A)02,又因为矩阵A有两行不成

1.

标准答案：一1

知识点解析：IAI=6入，由12Al=8IAI=-48得IAI=-6,解得入=-

1.

[0-2-2

22-2

14、矩阵1一2—22的非零特征值是@3=

标准答案：4

A22

-2人一22

知识点解析：由IXE—A1=22人-2=»Q—4）=O得A的特征值

为九1=入2=0,九3=4,非零特征值为4.

0—2a

135

15、已知A」002）有三个线性尢关的特征向量，则

标准答案：一10

A2-a

-14一3一5

知识点解析：由I入E—AI=°°'-2=（九一］）（九一2）2=。得Q=

入2=兀3=2,因为A可对角化,所以r(2E-A)=l,由2E-A=

22一仆f115

-1-1-5-00-a—10

000000J得a=_10.

/2231\/I2\

16、若匕N/与＜34)相似，则尸,y=.

标准答案：一17；-12.

/2231\/I2\

A=1=

知识点解析：设工，'34/由人与B相似得lr(A)=lr(B),即％

+22=5,解得％=—17；由IAI=IBI得一374—31y=-2,解得y=-12.

1-1a

135

17、已知矩阵A=10°2）只有两个线性无关的特征向量，则A的三个特征

值是_______,a=.

标准答案：入=入=入=2；—5.

A-11-a

-1A-3-5

知识点解析：I九E—AI=0°'2=（入_2）3=0,特征值为2]=

大2=入3=2,因为入1=入?=九3=2只有两个线性无关的特征向量，所以r（2E—A）=

11-a

-1-1-5

1,Fh2E-A=l。0。J得a=-5.

三、解答题（本题共〃题，每题1.0分，共77分。）

2i\+—4=0,

18、设四元齐次线性方程组（I）为/+24+4一二=0,且已知另一个四元

齐次线性方程组（H）的一个基础解系为ai=（2,-1,a+2,1）T,。2=（—1，2,

4,a+8）T.（1）求方程组（I）的一个基础解系；（2）当a为何值时，方程组（I）与方

程组（D）有非零公共解？

2010-53\

013―2〃方程组（I）的基础解

标准答案：（1）A=-1

（2）（U）的通解为

2。一li

—Z>+2lf

(a+2)。+4。

4+(a+8"z

代日（I）得

2(2/i—Z：)+3(—/]+2Z2)—(a+2)l\—4Zj=0*

2li-Z2+2(—1\+2Zj)+(a+2)Zj+4/?—Z)—(a+8)Z：=0*

一(a+I”1=0,

整理得N

(a+1-all=09因为两个

-(a+1)0

方程组有公共的非零解，所以h，12不全为零，从而a+1-(=0,解

得a=-1或a=0.

知识点解析：暂无解析

011

020

19、已知0是人=10的特征值，求a和A的其他特征值及线性无关的特

征向量.

101

020

标准答案：因为0为A的特征值，所以IAI=10a=0,解得a=l.由I

A-l0-1

0A-20

XE-AI=-°'—1=M入-2)2=0得九1=0,12=Q=2.九1=0代

-10一1】fl01

0-20

1

入(入E-A)X=0,由0E-A=1一0得九1=0对应的线

0

性无关的特征向量为a=i1九2=九3=代入(2E—A)X=0,由2E-A=

10-10-1

000000

得入=入对应的线性无关的特征向量为

-10100°J23=2

01

1,4=0

01

知识点解析：暂无解析

20、设A是三阶矩阵，其特征值是1,2,3,若A与B相似，求|B*+E|.

标准答案：因为A〜B.所以B的特征值为入i=l,入2=2,九3=3,B”的特征值为

回=6,回=3,翌=2,

工“2人B"+E的特征值为7,4,3,故IB*+EI=

84.

知识点解析：暂无解析

21、已知二次型f=2力2+3%2?+3心?+2a殍八（@>0）,通过正交变换化成标准形f=

222

yi+2y24-5y3.求参数a及所用的正交变换矩阵.

2001

A—03

标准答案：设0a3A的特征值为入i=

200

032

023

1,兀2=2,入3=5,由IAI=2(9—a2)=10得a=2,A=11=1代入

~100100

0-2-2011

(XE-A)X=0,由E-A=0一2-2000得无=1对应的线性

0

-1

无关的特征向量为⑴1九2=2代入(入E—A)X=0,由2E—A=

000[010]

0-1-20010

0-2-10000

得入2=2对应的线性无关的特征向量为a2=

300[100

02一2-►01-1

九3=5代入(入E—A)X=0,由5E—A=0-22000得兀3=5

0

a31

1

fo

令力=1

010

则Q=坂

1

I#01

对应的线性无关的特征向量为则

T222

XAX=yi+2y2+5y3.

知识点解析：暂无解析

1-22

~2a4

、设是整数，若矩阵

22aA=l24-2的伴随矩阵A*的特征值是4,-

14,-14.求正交矩阵Q,使QTQ为对角矩阵.

标准答案：IAI=4x(—14)x(-14)=282,由IA*I=IAI2得|AI=28或I

1-22

IA1=-2a4=-6a—40.

AI=-28.24-2若一6a—40=28,则a

34

=—3,不合题意，舍去；若一6a—40=-28,则a=-2,从而

1-22

A=-2—24.

24—2,A的特征值为入=

•1A1=—7,入2="1=入3=上让

4—14-14=2,入］=—7代入(九E—A)X=0.由一/七

f-820

-22-5-412

2-5-4099

011

1-2-4000

—A=000得九1=7对应的线性

(-11

-2

无关的特征向量为四=2；入2=入3=2代入(入E—A)X=0,由2E—A=

12-212-21

24-4000

-2-44000得人=入=2对应的线性无关的特征向量为

[-22

图=10

01

-221

(。3,~2)

遇=4

1（仇.02）

05

-1(-22]

单位化得力=；1

-21‘力=-7=r4

0示375

205

122

3V53展

214

2=，后35/5-700

2020

05

所求的正交矩阵为3375且QTAQ=002

知识点解析：暂无解析

23、n阶矩阵A满足A?—2A—3E=0,证明A能相似对用化.

标准答案：由A2—2A—3E=0得(E+A)(3E—A)=0,则r(E+A)+r(3E—A)Sn；

由r(E+A)+r(3E-AAr(4E)=!^^r(E+A)+r(3E-A)=n.(1)当r(E+A)=n时，

A=3E为对角阵；(2)当r(3E—A)=n时，为对角矩阵；(3)r(E+A)Vn,r(3E—A)

Vn,则IE+AI=0,I3E—AI=0,A的特征值Q=—l,入2=3.入1=一1对

应的线性无关的特征向量个数为n—r(—E—A)=n—r(E+A)；入2=3对应的线性无

关的特征向量个数为n-r(3E-A).因为n-r(E+A)+n-r(3E-A)=n,所以A可

相似对角化.

知识点解析：暂无解析

1-11

a4b

24、设A=1一3—35),已知A有三个线性无关的特征向量且入=2为矩阵A

的二重特征值，求可逆矩阵P,使得P」AP为对角矩阵.

标准答案：由九］=七=2及入1+入2+入3=t「(A)=10得入3=6.因为矩阵阵A有三个

线性无关的特征向量，所以r(2E—A)=l,由2E—A=

1-1]11-1

-2一6-0a-2—a-b

3—300°J得a=2,b=—2.无=入2=2代入

ri1-1)

2E-A—000

(XE-A)X=0,由100°J得储=入2=2对应的线性无关的特征

-11

a[=1必0;

向量为01入3=6代入(入E—A)X=0,由6E-A=

00)得入3=6对应的线性无关

-111200

☆P=10-2020

的特征向量为013则p可逆，且PKP=1006

知识点解析：暂无解析

210123123200

120,B=456,C=035,D=021

、00t