考研数学二（解答题）模拟试卷341

考研数学二（解答题）模拟试卷341

一、解答题（本题共20题，每题1.0分，共20分。）

]im包二把二!

]、求八"I_7

标准答案：1;

知识点解析：暂无解析

f.一]山

2、求不定积分J2/+/_]°

标准答案：

令”.二J__________匚心____

由A（2L1）+BG+D=I-1得解得A=：,B=一；.

故1~T业=3n/+1I-[n：2*-ii+c.

J2x+工-136

知识点解析：暂无解析

-32-2'

4=—k—1k

3、设矩阵42-3」，问当k为何值时，存在可逆矩阵P,使得P」AP为

对角矩阵?并求出P和相应的对角矩阵.

标准答案:

A-3-22-22

-4-2…3A-12A*3

A-1-22

=0A♦I-k=(A-1)(A♦I)2.

00A♦1

制知矩阵4的特征值为九«i.A2=A,=-l.

由于4~4.故入=-l时，矩阵•必有2个线性无关的特征向敏,因此秩r(-E-A)=

-20

1时,由(E-4)x0・00-01

--44」L000

得到矩阵4属于特征值A=I的特征向=(1,0,l)T.

当入=-I时，由(一段-4)”00

00

TT

得到矩阵4”于特征值A=-1的线性无关的特征向St%=(-l,2,O),a3=(I,0,2).

I-Ir

那么，令P=(..a?,.)=02o.小P'r

102-

知识点解析：暂无解析

4、设f(x)在［a,b］上连续，在(a,b)内可导(a>0),且f(a)=0.证明：存在乐(a.

匕与'(£)，

b),使得熊尸a

标准答案：令(p(x)=(b-x)af(x),显然(p(x)在［a,b］上连续,在(a,b)内可导,因为

(p(a)=(p(b)=0,所以由罗尔定理,存在乐(a,b),使得(p'(&)=0,由(p，(x尸(b-x严［(b-

x)「(x)-af(x)］得(b4)aJ［(b七)f(&).af©)］且故f(《尸a

知识点解析：暂无解析

5、设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,已知中，心邛是它的三个解向

2

32

，队+叩3

43

-4」求该方程组的通解.

量，且5

标准答案：设该非齐次方程组为Ax=b,因为r（A尸3,则n—r（A）=4—3=1,故其

对应的齐次线性方程组的基础解系含有一个向量.1，112,小均为方程组的解，因

此齐次线性方程组Ax=O的一个非零解为

3

4

$=2/-（功+"3）=（Vl-%）+（可|-）=

5

L」故此方程组的通解

6、证明：

Xii1.+

(I)JInsinxdx=jIncosxdx；(D)Jlnsin2xdx=JInsinxdx；(DI)JInsinxdx=--^-In2.

标准答案：(I)

M-T"

Insinxdx(学_=JIncos/d/=Incosxdx.

(n)

+

ln»in2x<lx=Insin2xd(2x)=^|Insin疝=g-JInsinfdtwInsinrdi

=insin/dl--yj,lnsin(n-/)d(TT-/)

-i-JInsirUck+产I-I

-yJinsinudu=IInsinxdi.

（Hi）由题

J=Iln(2sinxcosx)dx=2J+--In2=J=--ln2.

(口)与题(I)得J。22

知识点解析：暂无解析

,f^f(x)dx

7、已知f(x)连续，Htf(x-t)dt=l-cosx,求的值.

标准答案：令x—t=u,有HtfU—t)出=J0x(x—u)f(u)du.于是xfoxf(u)du—

foxuf(u)du=l一cosx.两边对x求导，得J()"(u)du=sinx,

在上式中.令1=£,得f/Gr)dLr=L

知识点解析：暂无解析

8、求2的极值.

f(xy)-xe“

标准答案：先求函数'2。的驻点，fx7x,y)=e—x=O,fy'(x,y)=

一y=0,解得函数f(x,y)的驻点为(e,0).又A=fx：J'(e，0)=-1,B=fxy''(e,

,,

0)=0,C=fyy(e,0)二一1,所以B2—ACV0,A<0.故f(x,y)在点(e,0)处取得

极大值

知识点解析：暂无解析

min

9、设f(x)二阶可导，f(0)=f(l)=0且。GYifa)=-l.证明：存在1),使得

f〃快8.

标准答案：因为f(»在［0,1］上二阶可导，所以故)在［0,1］上连续且f(0)=f(l)=

min

0,由闭区间上连续函数最值定理知，f(x)在［0,1］取到最小值且

最小值在(0,1)内达到，即存在c®0,1),使得f(c)=—1,再由费马定理知？(c)=

/'(G

0,根据泰勒公式f(0)=f(c)+?(c)(0—c)+2!(0-c)2,m6(0,c)f(l)=f(c)+

-(8)

f(c)(l-c)+2!(1-c)2,&23c,1)整理得

2_2

当CG[O,2］时，/(亭)=/次，取&=

X2

言；当C®2,1)时，f"&)=(1一了次，取匕气2.所以存在氏(0,1),使得

f〃(尖8.

知识点解析：暂无解析

10、求双纽线32+y2)2=a2(x2.y2)所围成的面积.

ix=rcos^*

标准答案：根据对称性，所求面积为第一卦限面积的4倍，令卜=小皿夕,则双纽

笳的2喉&夕＜干)，第一卦限的面积为

A1=y|4r2dd=y14cos2^dZ?=t~sin2j]=亍

线的极坐标形式为J二

所求面积为A=4A］=a2.

知识点解析：暂无解析

11、设政)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)=O,於政改=0.证

明：(1)存在c£(a,b),使得f(c)=0；(2)存在&i€(a,b)(i=l,2),且自淳及，使得

P《i)+f(&)=O(i=l,2)；(3)存在乐(a,b),使得f"(g=f«)；(4)存在n[a,b),

使得r(n)-3f(n)+2f(n)=o.

标准答案：⑴令F(%)=L，f(t)dl,则F(%)在⑶b]上连续，在(a,b)内可导，且F(%)

=f(X).故存在c&a,b),使得Jabf(%)dx=F(b)—F(a)=P(c)(b—a)=f(c)(b—a)=O,

即f(c)=O.(2)令h(x)=e*(x),因为h(a)=h(c)=h(b)=O,所以由罗尔定理,存在

^iG(a,c),&2®c,b),使得h支i)=h纭2)=0,而11侬=四散)+侬]且西0,所

以f(3+f&)=O(i=l，2).(3)令(pa)=e—%K(x)+f(%)]，(pC2)=(p(次)=0，由罗尔

定理,存在乐灯)U(a,b),使得(p0)=0,而＜P'(X)=eF[f"(%)一的3且广

V0,所以f〃(4)=f(9.(4)令g(%)=e%k),g(a)=g(c)=g(b)=O,由罗尔定理，

存在r|]G(a,c),r|2C(c,b),使得g'(ni)=g'(n2)=0：而g'(%)=e'[?(%)一代刈且e

Vo,所以？(ni)-f(iii)=o,f(n2)-Rn2)=o.令p(z)—e-2XEr(z)一厂⑵],

p('7,)一城(孕)-0,由罗尔定理,存在“W(ni，Ti2)U(a,b),使得801)=0,而

(p'(%)=e2[f〃⑴-3?U)+2f(刈且「2年0,所以f“(n)—3?(n)+2f(n)=0,

知识点解析：暂无解析

12＞设A,B,C均为n阶矩阵，其中C可逆，且ABA=c",证明BAC=CAB.

标准答案：由C可逆，知IABAI#),故矩阵A,B均可逆.因ABAC=E,即

A-1=BAC.又CABA=E,得A4=CAB.从而BAC=CAB.

知识点解析：暂无解析

2

13、设x＞0时，f(X)可导，且满足：£(%)=1+工〕1/1)出，求f(%).

标准答案：由f(x)=l+-rJ1f(t)dt得xf(x)=x+fizf(t)dt,两边对力求导得f(x)4-

工

xf(x)=l+f(x)，解得？Q)="，f(%)=ln%+C,因为f(l)=L所以C=l,故故)=

1股+1.

知识点解析：暂无解析

sin7x।1\,

FT*1+cosjJ"，

14、

标准答案:

匕(峙+心＞-f14-cosx1+cos产

=2小fd(f)=2tan1|*=2,

知识点解析：暂无解析

15、设f（x）是以3为周期的连续函数.证明：线性方程di+ky=f（x）（k为非零常数）

存在唯一的以co为周期的特解，并求其解.

y（x）=。一必（『e^/COdz+c）

标准答案：由通解公式知其通解为J*。由y（x）以①

>（x）=e-irFfeto/（t）di+--f°*f（r）dr

为周期确定C,可得L0°、」

知识点解析：暂无解析

16、求下列各题中平面图形的面积：（1）曲线y=a-x2（a>0）与x轴所围成的图

形；（2）曲线y=x?+3在区间［0,1］上的曲边梯形；（3）曲线y=x2与y=2—X?所围

成的图形；（4）曲线y=x?与直线x=0,y=l所围成的图形；（5）在区间［0,n/2］

上，曲线y=sinx与直线x=0,y=l所南成的图形；（6）曲线y=1/x与直线y=

x,x=2所围成的图形；（7）曲线y=x2—8与直线2x+y+8=0,y=—4所围成的

图形；（8）曲线y=x2—3x+2在x轴上介于两极值点间的曲边梯形；（9）介于抛物

线y2=2x与圆y2=4x—X?之间的三块图形；（10）由线y=x?,4y=x?与直线y=l

所围成的图形；（11）曲线丫=*2与¥=/所围成的图形；（12）抛物线y=x?与直线

y=x/2+1/2所围成的图形及由y=x?,y=x/2+l/2与y=2所围成的图形.

<t>M9-Z*>«««>.!

S-£<J-♦»M»•(^♦1•)!»

1

<«>M*y，・・3・

S-距T)“・(”-2)卜卜7

'H：7

♦i3■一,・•・5

■.0-47-TM♦£[•■-3f

•『.Wf£<9一/・

……

•/•I-8・・•・・・♦>

，心—口”[-1-

-<».-p>l><j>-p»l;

{«<|»)

6・，・/，，•，♦，・，・；.•・I

■■广s-0-".f,

标准答案:■,f-f・}•“：♦0・，”£心・卜千7”-6

知识点解析：暂无解析

17、设A,B均为n阶矩阵，且E-AB可逆，则E-BA也可逆.

标准答案：本题考查逆矩阵的概念及性质，抽象矩阵求逆一般主要是AB=E,则A

可逆，还可以用A的行列式不为零，则A可逆，也可以构造恒等式使AX=E,则

X是A的逆.证法1：设C为n阶矩阵，使(E-AB)C=E,则C-ABC二E,左乘n阶

方阵B,右乘n阶方阵A,WBCA-BABCA=BA,(E-BA)BCA=BA-E+E,即[E-

BA)(E+BCA)=E,因而E-BA可逆.证法2：利用分块矩阵的运

B\EBEB

算.[131：E-AB[AE，两边取行列式得A同理

EOEAEAEA

\E-BA|=

BEOE-BABE两边取行列式得BE又由于

EB“EAEA

=(-D

AEBEBE所以IE-ABI=IE-BAI,而E-AB可逆，从

而IE-AB|翔，因而IE-BAI翔，故E-BA可逆.证法3：作恒等式，由A・

ABA=A-ABA,得(E-AB)A=A(E-BA),又由E-AB可逆，所以A=(E-AB)-1ACE-

BA).再由E=E-BA+BA=E-BA+B(E-AB)IA(E-BA)=[E+B(E-AB)1A](E-BA),故

E-BA可逆，且(E-BA)'=E+B(E-AB)_,A.

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设随机变量X的概率密度为

1

F、-IVJCVO

fx(z)=W，0«2，

0，其他

令丫=**(]1)为二维随机变量(X.Y)的分布函数,求:

18、Y的概率密度函数fY(y)；

标准答案：

Y的分布函数记为Fy(>).显然当yVO时,耳6)=?(；^&山=0,当时.

Fy(y)=PIM&y}=P{-64X46)=J，xGr)&,

于是Y的密度函数(当y>O时)为

1