考研数学三线性代数模拟试卷128-真题(含答案与解析)

考研数学三（线性代数）模拟试卷128

（总分74,做题时间90分钟）

1.选择题

选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1.

设A,B为n阶可逆矩阵，则（）.

SSSSINGLESEI

A

存在可逆矩阵P|，P2，使得PITAP「P2TBp2为对角矩阵

存在正交矩阵QI,Q2，使得Q「AQ「Q2TBQ2为对角矩阵

存在可逆矩阵P,使得Pt（A+B）P为对角矩阵

D存在可逆矩阵P,Q,使得.PAQ=B

分值：2

答案:D

而析：因为A,B都是可逆矩阵，所以A,B等价，即存在可逆矩阵P,Q,使得

PAQ=B：选（D）.

2.

n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是（）.

SSSSINGLESEI

rAA无负特征值

-BA是满秩矩阵

rCA的每个特征值都是单值

rD

AT是正定矩阵

分值：2

答案:D

解析：正定的充分必要条件是A的特征值都是正数，（A）不对；若A为正定矩阵,

则A一定是满秩矩阵，但A是满秩矩阵只能保证A的特征值都是非零常数，不

能保证都是正数，（B）不对；（C）既不是充分条件乂不是必要条件；显然（D）既是

充分条件又是必要条件.

3.

下列说法正确的是（）.

SSSSINGLESEI

A任一个二次型的标准形是唯一的

B若两个二次型的标准形相同，则两个二次型对应的矩阵的特征值相同

C若一个二次型的标准形系数中没有负数，则该二次型为正定二次型

D二次型的标准形不唯一，但规范形是唯一的

分值：2

答案:D

解析：(A)不对，如f=xIX2，令则f=yJ—y22；若令则f=y

।2—9y22；(B)不对，两个二次型标准形相同只能说明两个二次型正、负

惯性指数相同，不能得到其对应的矩阵的特征值相同；(C)不对，若一个二次

型标准形系数没有负数，只能说明其负惯性指数为0,不能保证其正惯性指数

为n；选(D),因为二次型的规范形由其正、负惯性指数决定，故其规范形唯

■

4.

设A为可逆的实对称矩阵，则二次型X『AX与X『AtX().

SSSSINGLESEI

A规范形与标准形都不一定相同

B规范形相同但标准形不一定相同

厂C标准形相同但规范形不一定相同

rD规范形和标准形都相同

分值：2

答案:B

1

解析：因为A与A合同，所以XTAX与XTA1X规范形相同，但标准形不

一定相同，即使是同一个二次型也有多种标准形，选(B).

5.

设n阶矩阵A与对角矩阵合同，则人是().

SSSSINGLESEI

A可逆矩阵

-B实对称矩阵

Oc正定矩阵

"D正交矩阵

分值：2

答案:B

解析：因为A与对角浒A合同，所以存在可逆矩阵P,使得P「AP二A,从而

A二(PT)-,AP-1=(P-l)TAP,AT=[(P-,)TAP]T=(P-1)TAPt

=A,选(B).

6.

设A,B都是n阶矩阵，且存在可逆矩阵P,使得AP=B,则().

SSSSINGLESEI

A,B合同

A,B相似

方程组AX=0与BX=0同解

Dr(A)=r(B)

分值：2

答案:D

解析：因为P可逆,所以r(因=NB),选析).

7.

设A,B为n阶实对称矩阵，则A与B合同的充分必要条件是().

SSSSINGLESEI

Ar(A)=r(B)

rB|A|=|B|

CA〜B

厂DA,B与同一个实对称矩阵合同

分值：2

答案:D

解析：因为A,B与同一个实对称矩阵合同，则A,B合同，反之若A,B合同,

则A,B的正负惯性指数相同，从而A,B与合同，选(D).

8.

设贝11人与队).

SSSSINGLESEI

A相似且合同

"B相似不合同

rC合同不相似

「D不合同也不相似

分值：2

答案:C

解析：由|入E—A|=0得A的特征值为1,3,一5,由|入E—B|=0得B的特征值

为1,1,-1,所以A与B合同但不相似，选(C).

9.

设A,B为三阶矩阵，且特征值均为一2,1,1,以下命题：(1)A〜B；

(2)A,B合同；(3)A,B等价；(4)|A|二B中正确的命题个数为().

SSSSINGLESEI

分值：2

答案:B

解析：因为A,B的特征值为一2,1,1,所以|A|二|B|二一2,又因为

r(A)=r(B)=3,所以A,B等价,但A,B不•定相似或合同，选(B).

2.填空题

1.

二次型f(xI,X2，X3)=(x1—2x2)2+4x2X3的矩阵为.

SSS_FILL

分值：2

答案：正确答案：因为f(xI,x2,x3)=XI''+4x22—4x]x2+4x2x

3,所以

2.

设则a-a2，。3经过施密特正交规范化后的向量组为

SSS_FILL

分值：2

答案:正确答案：令B3二。3，正交规范化的向量组为

3.

设二次型2xI2+x22+x32+2xIX2+ax2X3的秩为2,贝|J

a=.

SSSFILL

IZI?

分值：2

答案:正确答案：该二次型的矩阵为因为该二次型的秩为2,所以|A|二0,

解得

4.

2

设5xJ+x2'+tx3+4xix2一2x]x3一2x2x3为正定二次型，则t

的取值范围是.

SSSFILL

分值：2

答案:正确答案：二次型的矩阵为因为二次型为正定二次型，所以有5>0,

|A|>0,解得t>2.

3,解答题

解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

1.

2

用配方法化二次型f(X「X2X3)=X1+X2X3为标准二次型.

SSSTEXTQUST

分值：2

答案：

正确答案：令即X二PY,其中则

2.

用配方法化二次型f(x1,X2,X3)=X]2+2xIX2+2xIX3-4x32为

标准形.

SSS_TEXT_QUST

分值：2

答案：

2

正确答案：f(x1,x2，x3)-x!'+2x,x2+2x,x3—4x3=(x)+x2

+x3)2—(X2+x3；2--431■,

设二次型f(xI,x2，X3)—XT.AX,A的主对角线上元素之和为3,又

AB+B=O,其中____________

SSS_TEXTQUST

3.

求正交变换X二QY将二次型化为标准形；

ZI

dI/

分值：2

答案：

正确答案：由AB+B案得(E+A)B=O,从而r(E+A)+r(B)W。因为r(案=2,所以

r(E+A)Wl,从而入二一1为A的特征值且不低于2重，显然人二一1不可能为

三重特征值，则A的特征值为入।二人2二一L入3=5.由(E+A)B=O得B的

列组为(E+A)X=O的解，故为入।二人2二一1对应的线性无关解.令

为入3二5对应的特征向量，因为Ar=A,所以解得令正

交化得gQ=(Yi,Y2，丫3)，则

SSS_TEXT_QUST：

4.

求矩阵A.

3

1

<1IJ/

分值：2

答案：

正确答案：由得

设二次型f(x「，X2，X3)=xTAX,tr(A)=l,乂且AB=O.

SSST'rXTQIST

5.

求正交矩阵Q,使得在正交变换X=QY,下二次型化为标准形.

dI/

分值：2

答案：

正确答案：(1)由AB=O得为入=0的两个线性无关的特征向量，从而入=0

为至少二重特征值，又由tr(A)=l得入3=1,即入1=入2=0，入3=1.令

入3=1对应的特征向量为因为A「二A,所以解得入第=1对应的线

性无关的特征向量为令所求的正交矩阵为且

SSSTEXTQUST：

6.

求矩阵A.

dI/

分值：2

答案：

正确答案：

7.

用正交变换法化二次型f(XI,X2,X3)=X1"+x2"+X3'—4xIX2一

4x1X3—4x2X3为标准二次型.

3

SSSTEXTQUSTI4|

分值：2

答案：

正确答案:f(x］，X2，X3)=xTAX,其中由得人”一3,X

二人3=3.由(一3E—A)X=0得入I=一3对应的线性无关的特征向量为

由(3E—A)X=O得入2;入3=3对应的线性无关的特征向量为将a2，口

3正交化得单位化得

设二次型f(x,,x2,x3)=(a—1)xI2+(a—1)x22+2x3°+2x1x2

(a>0)的秩为____________

SSSTEXTQUST：

8.

求a；

3

jjl/

分值：2

答案：

正确答案：因为二次型的秩为2,所以r(A)=2,从而a=2.

SSS_TEXT_QUST：

9.

用正交变换法化二次型为标准形.

dI/

分值：2

答案：

正确答案：由|人E—A|=0得入l=X2=2,X3=0.当入=2时，日

(2E—A)X=0得X=2对应的线性无关的特征向量为当入二。时，由(0E—

A)X=0得入=0对应的线性无关的特征向量为因为a「a?两两正交，

单位化得

设n阶实对称矩阵A的秩为r,且满足A之二A(A称为幕等阵).求：

SSS_TEXT_QUST：

10.

二次型XTAX的标准形；

<1I/

分值：2

答案：

正确答案：因为A?」，所以|A||E—A|=0,即A的特征值为0或者1,因为A

为实对称矩阵，所以A可对角化，由r(A)=r得A的特征值为入=l(r重),

222

人=0(n-r重),则二次型X『AX的标准形为y.+y2+-+yr.

SSS_TEXT_QUST：

11.

的值

|E+A+AP

I

P

分ffi:

答案：

正确答案：令B=E+A+A2+…+A”,则B的特征值为入=n+1(r重)，X=1(n—r

重)，故IE+A+A2+-+An|=|B|=(n+l)r.

设A为n阶实对称可逆矩阵,

SSS_TEXT_QUST：

12.

记X=(xI,X2，…，Xn)',把二次型f(x1,X2，Xn)写成矩阵

形式；

3

JU/

分值：2

答案：

正确答案：因为r(A)=n,所以|A|WO,于是显然A*,A~都是实

对称矩阵.____________

SSS_TEXT_OUST：

13.

二次型g(x)=X'AX是否与f(X1,x2，…，Xn)合同？

3

dI/

分值：2

答案：

正确答案：因为A可逆，所以A的n个特征值都不是零，而A与AT合同，故

二次型f(xI,X2，…，Xn)与g(X)=X'AX规范合同.

设A是三阶实对称矩阵，且A2+2A=O,r(A)=2.

SSSTEXTOUST：

14.

求A的全部特征值；

3

dI/

分值：2

答案：

正确答案：由A2+2A=0得r(A)+r(A+2E)W3,从而A的特征值为。或一2,因

为A是实对称矩阵且r(A)=2,所以入।二0,入2二入3二一2.

SSSTEXTQUST：

15.

当k为何值时，A+kE为正定矩阵？

3

d।)

分值：2

答案：

正确答案：A+kE的特征值为k,k一2,k—2,当k>2时，A+kE为正定矩阵.

16.

J

设二次型f(x1,x2,x3)-x1+4x2"+2x3」+2txix2+2x,为正

定二次型，求t的范围.

SSS_TEXT_QUST1

分值：2

答案:

正确答案：二次型的矩阵为因为该二次型为正定二次型，所以有解得

17.

设A是n阶正定矩阵，证明：|E+A>1.

口

SSSTEXTQUST

分值：2

答案：

正确答案：方法一因为A是正定矩阵，所以存在正交阵Q,使得其中人.

>0,入2>0，…，An>0,因此于是|Q'(A+E)Q|=|A+E|=(X]

+1)(入2+D…(入n-D>1.方法二因为A是正定矩阵，所以A的特征值入

,>0,X2>0,入n>0,因此A+E的特征值为入।+1>1,X2+1>

1,…，入n+1>1,故A+E|=(X1+1)(入2+1)・・・(入n+1)>1.

18.

用配方法化下列二次型为标准形：f(x「x2，x3)=xJ+2x22—5x3：

+2xix—2x,x-2x

23x3•

SSSTEXTQUST,IJ

分值：2

答案：

1

正确答案：令则f(x1,x2，X3)=xAX,f(x,,xx3)=x1

)2+(x2

+2x3)一lOx3

19.

用配方法化下列二次型为标准形：f(xI,X2，X3)=2xIX2+2xIX3+6x

口

SSSTEXTQUST

分值：2

答案：

正确答案：令或X二PIY,其中且P,可逆，

二次型f（xi,x2