线性代数公式总结2

线性代数全公式

基本运算

①A+B=B+A

②(A+8)+C=A+(6+C)

③c(A+B)=cA+cB(c+”)A=cA+dA

@c(J4)=(tv/)A

⑤cA=0oc=0或4=00

[A±BY=Ar±BT

(cA)，=c(f)。

(A8)，=BTAT

"6-1)…21)=C；=

乙

O=+〃22422+…+〃2，，42”

转置值不变Ar=\A

逆值变|A」=」

同

依=

以以+用,引=以用,舛+|a，A，r\

,3阶矩阵

5=。血血）

W+耳州+冏

4+8=(%+4,%+/2，出+63)

|/4+同=|«!+£1,4+&。3+闯

A*A0....

==4用

0B*1111

国，，（c）〕=l

有关乘法的基本运算

线性性质，

A（3]+&）=AB{+AB、

（cA）B=c（AB）=A（cB）

结合律（A8）C=A（BC）

（AB）T=BrAT

屋.W

（Ak）'=Ak,

不一定成立！

AB=EoBA=E

与数的乘法的不同之处

不一定成立！

无交换律因式分解障碍是交换性

一个矩阵的每个多项式可以因式分解，例如

A2-2A-3E=（A-3E\A+E）

无消去律（矩阵和矩阵相乘）

当A4=0时势A=0或4=（）

由4。0和AB=0R8=0

由4工0时AB=AC/3=C（无左消去律）

特别的设可逆，则有消去律。

左消去律：。

右消去律：。

如果列满秩，则有左消去律，即

©AB=O=>B=O

②ACnB=C

可逆矩阵的性质

i）当可逆时,

也可逆，且。

也可逆，且.

数，也可逆，。

ii）,是两个阶可逆矩阵也可逆，且。

推论：设，是两个阶矩阵，则

命题：初等矩阵都可逆，H

向(c)))J4

（M»，儿））尸=

命题：准对角矩阵

可逆每个都可逆，记

伴随矩阵的基本性质：

AA*=4*4=坐

当可逆时，得，（求逆矩阵的伴随矩阵法）

且得：

伴随矩阵的其他性质

①M*|=|川，型=|小7

②（A4=（A*）『，

图(04户=c"iA*

④（人〃）*=3*八*,

⑤，

⑥O时，

关于矩阵右上肩记号：，，,

i）任何两个的次序可交换,

如，

(A*)-=(A-)*等

ii)

(AB>=8*A*

但不一定成立!

线性表示

Of见

尸.%,％，…，％ox。］+x2a2+•••+/,4=0有解

<=>（如%，…，=£有解（1=（孙…，再）丁）

有解，即可用A的列向量组表示

则不弓,…,4

则存在矩阵，使得

线性表示关系有传递性当，

则4I，42,…，夕->小公…力

等价关系：如果与互相可表示

记作即％，…，%=翁42,…，力。

线性相关

,单个向量，相关

,相关对应分量成比例相关

①向量个数=维数，则线性相（无）关

,有非零解

如果，则一定相关

Ar=（）的方程个数n<未知数个数s

②如果无关，则它的每一个部分组都无关

③如果无关，而相关，则

证明：设不全为0,使得

则其中，否则不全为0,,与条件无关矛盾。于是。

④当时，表示方式唯一无关

（表示方式不唯一。名…&相关）

⑤若，并且，则一定线性相关。

证明：记，，

则存在矩阵，使得。

有个方程，个未知数，，有非零解，。

则，艮］也是的非零解，从而线性相关。

各性质的逆否形式

①如果无关，则。

②如果有相关的部分组，则它白己一定也相关。

③如果无关，而，则无关。

⑤如果，无关，则。

推论：若两个无关向量组与等价，则。

极大无关组

一个线性无关部分组，若等于秩，就一定是极大无关组

①必，无关o/（%,%，…，a,）=s

另一种说法：取的一个极大无关组

（/）也是a,%，…，4，〃的极大无关组=（/），〃相关。

证明：相关。

/（四,％…见

分囚，…，。、

③/可用四,&唯一表示=/（%,•••,&4）=/（四,•••,4）=5

④拓…,0->%，•,・，&=/（%，…,%，4,…

=>/仍,…，以）《7（必，…,4）

⑤%…,见三八…，小0/（%4…夕）=/仍,…，夕）

矩阵的秩的简单性质

0<r（A）<min\m,〃}

z*（A）=0<=>A=0

行满秩：

列满秩：

阶矩阵满秩：

A满秩oA的行（列）向量组线性无关

=同工0

0A可逆

只有零解，唯一解。

矩阵在运算中秩的变化

初等变换保持矩阵的秩

①厂（A，）=4A）

②时，

®r（A±B）<r（A）4-r（B）

④r（AB）<min{r（AI,r⑻}

⑤可逆时，

弱化条件：如果列满秩，则

证：下面证与同解。

rj是ABx=0的解o=0

o8〃=00?是Br=0的解

可逆时，

⑥若，则（的列数，的行数）

⑦4列满秩时448）=43）

区行满秩时，（4A）=dA）

⑧厂（人3）+〃之4人）+广（3）

解的性质

1.的解的性质。

如果是一组解，则它们的任意线性组合一定也是解。

V,,Aq=0nA（J7+。2%+…+C'J71=°

2.

①如果是的一组解，则

喈+C鼻+•••+Ce^e也是Ax=1的解。C]+。2+…+Ce=1

喈+C2g2+…+G&是Ax=°的解=C++…+4=°

A（c&+。242+…+）=GAM+c2A<2+…+G.A幺

=伍+C?+…+

特别的：当是的两个解时，是的解

②如果是的解，则维向量也是的解是的解。

解的情况判别

方程：，即

|有解|<=>P-a,a”

07（*夕）=7（4）=7（/，%「.，%1，/0=7（即%，.：。“）

无解|07（AI⑶>/（A）一一解|u>/（A|侪=/（A）=〃I无穷多解

方程个数：

y（A|伤<y（A）<tn

①当时，，有解②当时，，不会是唯一解

对于齐次线性方程组，

只有零解=（即A列满秩）（有非零解o,（A）<〃）

特征值特征向量

%是A的特征值o4是A的特征多项式|x£-A|的根。

两种特殊情形：

（I）是上（下）三角矩阵，对角矩阵时，特征值即对角线上的元素。

工**、

A=0A->*

、0043,

X-A）-*_*

\xE-^=0x-A-*=（1-4］）（工一丸2）（工一人3）

00x-A.3

（2）时：的特征值为

特征值的性质

命题：阶矩阵的特征值的重数

命题：设的特征值为，则

命题：设是的特征向量，特征值为,即，则

①对于的每个多项式

②当可逆时，，

命题：设的特征值为，则

①/（A）的特征值为）/（乙）,….）

②可逆时，的特征值为

|A|

A*的特征值为t中

义।丸,

③”的特征值也是尤卜几2,…乂“

特征值的应用

①求行列式|A|=/l|,九,…,2”

②判别可逆性

2是A的特征值石一H=0=4一丸E不可逆

A—XE可逆o/不是A的特征值。

当时，如果，则可逆

若是的特征值，则是的特征值。

f（c）=0nc•不是A的特征值oAcE可逆。

n阶矩阵的相似关系

当时，，而时，。

相似关系有i）对称性：

,则

ii）有传递性：，，则

,,则

（W）-1A（UV）=V'U^AUV=V-'BV=C

命题当时，和有许多相同的性质

①同=冏

②y（A）=y（B）

③，的特征多项式相同，从而特征值完全一致。

与的特征向量的关系：是的属于的特征向量是的属于的特征向量。

An=初o8（U-1=4（u777）

U7AL<=>U-'AUU-，7=加％）

正定二次型与正定矩阵性质与判别

可逆线性变换替换保持正定性

变为，则它们同时正定或同时不正定

,则，同时正定，同时不正定。

例如。如果正定，则对每个

xTBx=xTCTACx=（Q）rACx>0

（可逆，，！）

我们给出关于正定的以下性质

A正定<=>A-E

存在实可逆矩阵，。

=A的正惯性指数二〃。

oA的特征值全大于0。

OA的每个顺序主子式全大于0。

判断正定的三种方法：

①顺序主子式法。②特征值法。③定义法。

基本概念

对称矩阵。

反对称矩阵4r二一人。

简单阶梯形矩阵：台角位置的元素都为1,台角正上方的元素都为0。

如果是一个阶矩阵，是阶梯形矩阵是上三角矩阵，反之不一定

矩阵消元法：（解的情况）

①写出增广矩阵，用初等行变换化为阶梯形矩阵。

②用M7）判别解的情况。

i）如果最下面的非零行为，则无解，否则有解。

ii）如果有解，记是的非零行数，则

/=〃时唯一解。

/<〃时无穷多解。

iii）唯一解求解的方法（初等变换法）

去掉的零行，得，它是矩阵，是阶梯形矩阵，从而是上三角矩阵。

则2“羊0=>W0=…%都不为0。

乂即（目〃）77就是解。

一个阶行列式的值：

①是〃!项的代数和

②每一项是个元素的乘积，它们共有项其中是的一个全排列。

③q1…a叽前面页的应为（一1）心力乜）r（j,j2…J”）的逆序数

=£（-心心认一，…金.

4^\*1J|力2nJ»

hh-jn

r（n（M-l）--21）=C^="（丁）

代数余子式

M9为%的余子式,

定理：一个行列式的值等于它的某一行（列），各元素与各自代数余子式乘积之和。

D=〃21A2i+a22A22+…+。2”&"

一行（列）的元素乘上另一行（列）的相应元素代数余子式之和为0。

范德蒙行列式

11­••1

《…"”=n（%m）c：个

乘法相关

的（"）位元素是4的第，行和B的第j列对应元素乘积之和。

,=44j+《2&j+…+漏%

乘积矩阵的列向量与行向量

（1）设矩阵，维列向量，则

A/3=4al+》2a2+•,,+"〃％

矩阵乘法应用于方程组

方程组的矩阵形式

方程组的向量形式

王%+%%+…=P

（2）设，

A8=（A4，AA，…,44）

，=AA=瓦臼+b2ia2+…+bnian

的第个列向审:是的列向量组的线性组合，组合系数是的第个列向最的

各分量。

的第个行向量是的行向量组的线性组合，组合系数是的第个行向量的

各分量。

矩阵分解

当矩阵的每个列向量都是的列向量的线性组合时，可把分解为与

一个矩阵的乘积

特别的在有关对角矩阵的乘法中的若干问题

（40001

I。。。K）

对角矩阵从右侧乘一矩阵，即用对角线上的元素依次乘的各列向量

对角矩阵从左侧乘一矩阵，即用对角线上的元素依次乘的各行向量

于是，

两个对角矩阵相乘只须把对角线上对应元素相乘

对角矩阵的A次方暴只须把每个对角线上元素作Z次方暴

对一个阶矩阵，规定为的对角线上元素之和称为的迹数。

1

于是Q伊丫=1a（^=）Paf?aTa=ir（aaT）

其他形式方阵的高次暴也有规律

例如：

初等矩阵及其在乘法中的作用

（1）:交换的第两行或交换的第两列

（2）:用数乘的第行或第列

（3）：把的第行的倍加到第行上，或把的第列的倍加到第列上。

初等矩阵从左（右）侧乘一个矩阵A等同于对A作一次相当的初等行（列）变换

乘法的分块法则

一般法则：在计算两个矩阵和的乘积时，可以先把和用纵横线分割成若干小矩

阵来进行，要求的纵向分割与的横向分割一致。

力

in2%

4

1>、

-485

-1与1

41213|

一

1-一I5-

-反2

-1甩

易

一

令5

21次1

A11-

A瓦S

22阀

-1I3

1

I32

两种常用的情况

（1）A3都分成4块

其中的列数和的行数相等，的列数和的行数相关。

+A]?%A1^12+A2^22

ABII

1421A4I%+^22^22

11十^22^21

（2）准对角矩阵

Ai00

o，220

【00…4妹

Ai。Y昂00A岛0•0

000%0（）422，22"0

(00…AJ0000

矩阵方程与可逆矩阵

两类基本的矩阵方程（都需求是方阵，且)

(/)Ax-=B(〃卜A=B

（I）的解法：

目X）

（II）的解法，先化为。

通过逆求解：，

可逆矩阵及其逆矩阵

定义：设是阶矩阵，如果存在阶矩阵，使得，且，则称是可逆矩阵，称是

的逆矩阵，证作。

定理：阶矩阵可逆

求A”的方程(初等变换法)

(斗怛pj即t)

伴随矩阵

4”

线性表示

可以用线性表示，即可以表示为的线性组合，

也就是存在G，Q，…,G使得G%+C2a2+...+—%=P

记号：

线性相关性

线性相关：存在向量可用其它向量线性表示。

线性无关：每个向量都不能用其它向量线性表示

定义：如果存在不仝为的，使得则称线性相关，否则称线性无关。

即：线性相(无)关有(无)非零解

o4卜=。有(无)非零解

极大无关组和秩

定义：的一个部分组称为它的一个极大无关组，如果满足:

i)(1)线性无关。ii)(/)再扩大就相关。

(〃)二四…4二⑺

定义：规定的秩。

如果每个元素都是零向量，则规定其秩为O

0</(^!,•1•,«,)<min{儿s}

有相同线性关系的向量组

定义：两个向量若有相同个数的向审：，并且向最方程

与同解，则称它们有相同的线性关系。

①对应的部分组有一致的相关性。

的对应部分组，

若相关，有不全为的使得

即是的解，

从而也是的解，则有

,也相关。

②极大无关组相对应，从而秩相等。③有一致的内在线表示关系。

设：，，则

即，

X\P\+即Bx=（）0

X2/32+-'+XX/3S=0

即鬼，…，&与A，尸2,…，孔有相同的线性关系即Ax=O与&=0同解。

反之，当与同解时，和的列向量组有相同的线性关系。

矩阵的秩

定理：矩阵的行向量组的秩二列向量组的秩

规定,（4）=行（列）向量组的秩。

的计算：用初等变换化为阶梯形矩阵，则的非零行数即。

命题：的非零子式阶数的最大值。

《*>C*3c*

h*

A=

*3C4CDc*

*也Aitr

XPV

方程组的表达形式

1.

2.是解

3.有解

基础解系和通解

1.有非零解时的基础解系

是的基础解系的条件：

①每个个都是Ar=0的解②7，%,…,7线性无关③Ax=0的每个解

77f…③/=〃—MA)

通解

①如果是的一个基础解系，则的通解为

,任意

②如果是的一个解，是的基础解系，则的通解为

,任意

特征向量与特征值

定义：如果，并且与线性相关，则称是的一个特征向量。此时，有数，使得，

称为的特征值。

设是数量矩阵，则对每个维列向量，，于是，任何非零列向量都是的特征向量,

特征值都是。

①特征值有限特征向量无穷多

若，

丁=纠=A（c=小…A%=2（c）

4%=沏2J

②每个特征向量有唯一特征值，而有许多特征向量有相同的特征值。

③计算时先求特征值、后求特征向量。

特征向量与特征值计算

A7]=Az7,77w0

o（4E-｛）〃=Q〃=0

。/7是（刀^-4卜=0的非零解

命题：①是的特征值

②〃是属于义的特征向量o〃是（％七一A）x=0的非零解

称多项式打七-⑷为A的特征多项式。

几是A的特征值=2是4的特征多项式,七一A的根。

的重数：作为的根的重数。

阶矩阵的特征值有个：，可能其中有的不是实数，有的是多重的。

计算步骤：

①求出特征多项式上后一川。

②求的根，得特征值。

③对每个特征值，求的非零解，得属于的特征向量。

n阶矩阵的相似关系

设，是两个阶矩阵。如果存在阶可逆矩阵，使得，则称与相似，记作。

n阶矩阵的对角化

基本定理A可对角化0A有〃个线性无关的特征向量。

设可逆矩阵，则

4000、

000

U-1AU=4

001•.0

、000和

'4000、

000

OA(7，〃2,…，%)=。4=（47，/72「一，41〃）

00・.0

<000

判别法则

可对角化对于的每个特征值，的重数。

计算：对每个特征值，求出的一个基础解系，把它们合在一起，得到个线性无关的

特征向量，。令，则

,其中为的特征值。

二次型（实二次型）

二次型及其矩阵

一个〃元二次型的一般形式为

/（犬1,W，…，Z）=£*X；+22

Z=li<j

只有平方项的一次型称为标准一次型。

形如：的元二次型称为规范二次型。

对每个阶实矩阵，记，则是一个二次型。

/（X],x2「、x〃）=/Ar

称4的秩y（A）为这个二次型的铁。标准二次型的矩阵是对角矩阵。规范二次型的矩

阵是规范对