自考学习资料 04184自考线性代数(经管类)辅导讲义

第一部分行列式

本章概述

・大手写板图示0101

ax=b一次二次三次

高次

一元一-多元一次方程组

线性方程组

行列式在线性代数的考试中占很大的比例。从考试大纲来看。虽然只占13%左右。但在其他章。的

试题中都有必须用到行列式计算的内容。故这部分试题在试卷中所占比例远大于13%。

大纲中规定的07.4全国统考07.7全国统考07.10全国统考

比例试题试题试题

直接考行列式这一章的13%左右11%11%15%

再加上其余各章中必须应用行

34%29%21%

列式计算的

1.1行列式的定义

1.1.1二阶行列式与三阶行列式的定义

一、二元一次方程组和二阶行列式

例1.求二元一次方程组

洛+以12々=4⑴

知公+。力与~玩(2)的解。

【答疑编号12010101]

解：应用消元法得

一=瓦。22一名。12

当以1~22一421“12。°时。得

/_自“22-&2以12

♦户22—Q21al2

同理得

▼_也一”

万---------------

以1Mt22一以21%

定义称以21a22为二阶行列式。称对外一心1小为二阶行列式的值。

小

=ana22~。21al2

记为的1

瓦

=可以22-82012

于是与

4

二，力2一《21自

&2

H11

由此可知。若1的1%2。则二元一次方程组的解可表示为:

32

=-12-10=-22

例25一4

【答疑编号12010102]

二阶行列式的结果是一个数。我们称它为该二阶行列式的值。

二、三元一次方程组和三阶行列式

考虑三元一次方程组

/1彳］+%彳2+。13亦3=4(1)

。21'1+以£工2+"23,3~b)⑵

=

%为+a32X2+以33弓4(3)

希望适当选择41，41，41。使得当⑴41+⑵4+G）&后将程与消去。得一元―一次方程

（如41+他i4i+a31A1）再=44i+%41+（4）

若，141+以2141+以31&40,能解出

A_4Al+各41⑸

«1141+/㈤1+«31&

其中4i，4i，4i要满足

以1241+以22』21+。32,31二。⑹

《

了is41+。2341+以33义1=0⑺

为解出Ai，4i，4i.在（6）,（7）的两边都除以41得

A

1

+a41一

4-

1324&112

4a33

1

+41

41

Ai&

这是以4/工11为未知数的二元一次方程组。

卜员手写板图示0103■-02

上五手写板图示0101-03

配2的2

AA=32253一^23空2

即3Ass

依i欠为兀素的余子式；称

Ai=(-1严弧14=(-1严%】,4=(一1严Mi

依次为元素如,物的代数余子式。

定义三阶行列式二+“2141+为i&

于是原方程组的解为

出44

%4

工2二A.

类似地得

这就将二元一次方程组解的公式推广到了三元一次方程组。

123

A=456

例3计算789

【答疑编号12010103]

港手写板图示010LO4

56

解:原式=1义（-1广1+(-1收

89

2323

+7*(-1)3*1

8956

=0

a**

0*

例4(1)00c

【答疑编号12010104】

再qa

b0

(2)，°。

【答疑编号12010105】

、兀手写板图示0101-05

X-142

-2xx>0

例5当x取何值时，421?

【答疑编号12010106]

上交手写板图示010L06

、—xT42

原式=-2xx

421

为将此结果推广到n元一次方程组。需先将二阶、三阶行列式推广到n阶行列式。

1.1.2阶行列式的定义

定义1.1.2当n时，一阶行列式就是一个数。当福工2时，称

以=

%1%2

为n阶行列式。

定义为（其所在的位置可记为GJ））的余子式

力1…“1尸1%,+1…%

V11-明尸1，-U+1'''ai-\n

叫厂

4+11…4+U-i4+U+1"■aMn

“出…anj-\%+1ann

%的代数余子式%=（一1）'%。

定义1以2141+…1%141为该n阶行列式的值。即

“21“22

=%41+以2也1+…+%与

〜2

容易看出，第j列元素的余子式叫次口代数余子式4都与第j列元素无关；类似地,

i行元素的

余子式力4・和代数余子式4都与第i行元素无关。n阶行列式为一个数。

13-12

1-53-4

021-1

例6求出行列式-513-3第三列各元素的代数余了•式。

【答疑编号12010107]

、云手写板图示0101-07

ai3的余子式

MH3=一7。

-51-3

1+3

Ais=(-1)MI3=M13

132

配§=02-1=3。

-51-3

2+3

A23=(-I)M23=-30

anana\n

例7°0…%（上三角行列式）

【答疑编号12010108]

:公手写板图示0101-08

00a1m

=an322,,,冉工

1.2行列式按行（列）展开

定理1.2.1（行列式按行（列）展开定理）

D=kL

少=1+%242+…+以加Ax（i=1，2,••.,4）

或

口=以u工U+“2/4/+••.+以犀&u=l,2,•••,«）□

例1下三角行列式=主对角线元素的乘积。

【答疑编弓12010201】

〜00

a21a220

-=anaa"a7tx

例2计算行列式

1021

2-110

D=

1003

-1021

【答疑编号12010202】

・大手写板图示0102-01

D=(-1)h22=(-1)(T严122

121

=-103="[2Ai2+2^]

-121

=-12.(-1)喟；卜2廿|；；|]

=-(-8-2-2)=12

例3求n阶行列式

010

002

0n-\

n0

【答疑编号12010203]

手写板图示0102-02

例3

原式=n・(-IT"0-9

=(-1严n!

小结

1.行列式中元素。廿的余子式%和代数余子式羯的定义C

aUa12

=aHa22~a21a12

2.二阶行列式的定义“21以22

3.阶行列式的定义。即吼"1小+“2弱+…+%也

4.行列式按行(列)展开的定理和应用这个定理将行列式降阶的方法。

作业p8习题1.11(1)(2)(3)(5)(6),3

作业pH习题1.21,2,3(1),(2),4

1.3行列式的性质及计算

1.3.1行列式的性质

给定行列式

将它的行列互换所得的新行列式称为I)的转置行列式，记为c了或。、

Fl-21

即2

性质1转置的行列式与原行列式相等。即

DT=D

性质2用数k乘行列式D的某一行(列)的每个元素所得的新行列式等于kD。

0

nau”

D=々加=4141+勾2当2+…

ax2"

%2…aU

少新二/1.2…为6二/14]+姑+…+依％4用

叫1^2…

二川旬41+%242+一.+%%4&)=e

推论1若行列式中某一行(列)的元素有公因数，则可将公因数提到行列式之外。

推论2若行列式中某一行(列)的元素全为零，则行列式的值为0。

性质3行列式的两行（列）互换，行列式的值改变符号。

以二阶为例

推论3若行列式某两行（列），完全相同，则行列式的值为零。

口=

%

证设%中，第i行与第j行元素完全相同，则

所以，D=0o

性质4若行列式某两行（列）的对应元素成比例，则行列式的值为零。

性质5若行列式中某一行（列）元素可分解为两个元素的和，则行列式可分解为两个行列式的和,

即

aaa

■1«12]xn"12ix以12…以现

—+CC

41+4+%…&+、坛%…bixili2…%

axx%…〜"%2…〜

只要看

左边=（bn+4）4+（bi2+%）4+…+（耳+4）4

二（4141+a24?+…+44）+（%41+，242+…+q4）=右边

注意性质中是指某一行（列）而不是每一行。

1+23+0331320

如=6,而=1,=2

1+24+1351421

1+23+01320

+

1+24+1\1

可见

性质6把行列式的某一行（列）的每个元素都乘以加到另一行（列），所得的行列式的值不变。

证

1.3.2行列式的计算

人们认识事物的基本方法是化未知为已知。

对行列式，先看何为已知，（1）二，三阶行列式的计算：（2）三角形行列式的计算。

因此，我们计算行列式的基本方法是利用行列式的性质把行列式化为三角形，或降阶。

1238

0255

06410

例1计算03615

【答疑编号12010204]

、法手写板图示0102-03

例1解:

原式=l・Aii=Mn

255255251

6410=2X3325=30321

3615125121

152125幽二昵

123=30132

121112

125

1-3

30|01-3=30=-180

|0-1-3-1-3

在行列式计算中如何造零是个重要技巧，主要是应用性质6。

-abacae

bd-cdde

例2计算kf

【答疑编号12010205]

手写板图示0102-04

例2

-bce-111

原式=adfb-ce=abcdef1-11

bce11-1

-11

002

020

02

=abcdef(-1)=4abcdef

20

1021

2-110

1203

例3计一算0321

【答疑编号12010206】

手写板图示0102-05

例3解1

③+（T）①

0

原式②学-2）①0

0

②+2①

@+3@-1-3-2

0-8-2

0-7-5

2141

3-121

5232

例4计算7025

【答疑编号12010207]

、又手写板图示0102-067

例4解

1241

原式=一7321

①一②2532

0725

3111

1311

1131

例5计算1113

【答疑编号12010208】

|/信手写板图示0102-07

例5解

11

00

20

02

=6X8=48

扩展

xaaax+3naaa\aaa

axaax+3。xaa0x-a00

—=(x+3a)

aaxax+3naxa00x-a0

计算aaaxx+3aaax000x-

=（X+3以）（X-以）3

【答疑编号12010209】

1+%11

11+的1(以臼43*°)

例6计算111+%

【答疑编号12010301]

方法1

耳板图示0103-017

方法1解

=a2a3+a1[(l+a2)(l+a3)-1]

方法2

吴手写板图示0103-02

llf

・

司1l

9

41as

」l

i)ll-

fasl

la2

o^xF

I

4

3@

1+«]11

11+%1

.«色'"an*°

扩展：计算111+%

【答疑编号12010302】

a10

0

1

例7计算口d

【答疑编号12010303】

例行解01+aba0

①+(a)②-1b10=(-l)A

原式21

0-1c1

00-1d

=(-l)(-l)2+1Mzi=M2i

1+aba0①+q+ab)②0a+(l+ab)cl+at

3a+(l+ab)c1+ab

=L-id

=ad+(l+ab)(1+cd)

00010

0--200

D='：：

9-­000

例8计算00010

【答疑编号12010304】

、“手写板图示0103-04

oO1

例

8解

O2O

9OO

X1OOOO

O2oO

「1-

(-X•

肄•-10

⑨•::-

⑧•8-

r⑦OOO9

⑥

0

。

阚10

O9

2\

D=l210

1y—

00•••010

00--90

D=\\

02--00

扩展：计算10…0°

【答疑编号12010305]

例9计算n阶行列式

a80…00

0a8…00

&=:：:•.::

000…《8

800…0a

【答疑编号12010306]

解按第一列展开，得2=必1+以=/+（一1）""”

例10范德蒙行列式

11

D]==勺—X]；

为x2

【答疑编号12010307]

111

口3=再

222

【答疑编号12010308]

手写板图示0103-05

例10解

琳葭漱1

%0X2-XXX5-X1

o/WWY

=(^2-Xl)施-X])

=(x2-X!)(xs-xj(x3-X2)

23

aaa

bb2b3

cc2c3

例11计算

【答疑编号12010309]

、上手写1板图示0103-067

例111aa?

原式=abc1bb2

1cc2

=abc(b_a)(c-a)(c-b)

aabb2

D=2aa+b2b=(«-g)3

例12证明11

【答疑编号12010310]

.公手写板图示0103-07

例12证明

abb2

左边=

a+b2耳②+(—i)①2ab-a2(b-a；

11①100

ab-a2b2-a2aa+b

b_a2(b-a)12

=(a-b)3

等式得证

小结

1.准确叙述行列式的性质；

2应.用行列式的性质计算行列式的方法

(1)低阶的数字行列式和简单的文字行列式；

(2)各行元素之和为相同的值的情况

(3)有一行(列)只有一个或两个非零元的情况

作业p22习题1.31(1)(3),2,5,6(1)(3)(4)(5)(10)(11)(12)

1.4克拉默法则

这一节将把二元一次方程组解的公式推广到n个未知数，n个方程的线性方程组。为此先介绍下面

的定理。

定理1.4.1对于n阶行列式

%aYL\n

°21a22a。

D=2n，必有

a.a

n\为2n

n力=|月|,当i=时

石印为=ai\Al\+ai2A12+T%4n=,

0,当、时

n。=|月|,与=时

者为%=4J%+⑵4

40,与H时

a,

“11a12In

a21a22…a2nn

D=

淖127,

a.a

证由定理1.2.1知划n2o,注意改变第二列的元素，并不改变第

二列元素的代数余子式

1111

a21a21…3

0产［勺&2

J=!

阿…a加类似地，可证明该定理的剩余部分。

定理1.4.2如果n个未知数，n个方程的线性方程组

。11々+。12彳2+i+%咒物=4

、“用15+an2x2+…+annxn%

的系数行列式

%"12…，

“°21°22；-°2力,0

an\%2…沏力

则方程组有惟•的解.：

Di

X广,-寸/=1,2,…㈤

01…alJ-l4勺+1…ain

“11a12

ailaij-\4aij+\ain,()=1,2,…，力)

%］…anj-\%°切+1…°便

其中

证明从略

5+无2一2电=T

<5彳］-2^2+7为=22,

例1.求解网-2+4弓=4

【答疑编号12010401]

»兀手写板图示0104-01

-3

22=189

4

・••方程组有唯一解

把克拉默法则应用到下面的齐次方程组有

定理1.4.3如果n个未知数n个方程的齐次方程组

4内+%2彳2+—+4力物=0

021a+022登+~+。2加初=°

.%]++%2工2+.一+°.物=0

的系数行列式D六0,则该方程组只有零解，没有非零解。

推论如果齐次方程组

4内+%2为+…+。5物=0

<°215+以22初+…+°2理电=°

-%14+%2矛2+i+1如物=°

有非零解，则必有系数行列式D=0。

事实上，以后我们将证明芯于由n个未知数n个方程的齐次方程组，系数行列式1)=0,不仅是该齐

次方程组有非零解的必要条件，也是充分条件，即若系数行列式D=0,则齐次方程组必有非零解。

例2判断线性方程组

%+3^2-弓+2升=0,

年-5^2+3q-44=0,

2%2+与一%=0，

-