2026上海中考数学复习专题01 数与式中的求值、动点与规律探索（原卷版）

专题01数与式中的求值、动点与规律探索

（6大题型4难点16新考法，题型清单）

题型一：利用非负性求值（高频考点）题型五：数或式的规律探索（高频考点）

难点01结合相反数的定义列出等式新考法01新定义与规律探索综合

难点02结合二元一次方程组求解新考法02规律探索与数学文化

新考法01结合三角形求解新考法03立方根规律探索

新考法02结合三角函数求解新考法04跨化学学科综合

新考法03与平面直角坐标系结合题型六：图形规律探索（高频考点）

题型二：代数式求值（高频考点）新考法01跨化学学科

难点01结合代数式的值确定字母的关系新考法02图形操作中规律探索

新考法01结合方程（组）求代数式的值新考法03勾股树规律探索

新考法02结合函数求代数式的值新考法04函数中的规律探索

题型三：整除问题新考法05多面体规律探索

新考法01整除与概率

题型四：数轴动点问题

难点01分类讨论三个动点位置关系问题

新考法01新定义阅读理解

题型一：利用非负性求值

若几个具有非负性的数或式子相加和为0,则每一个加数均为0;常见的非负数有绝对值、偶次方值、二次根

式值.

口诀助记：非负三类记分明,偶次方、绝对值、算术根:和为零则各为零,求出字母代数值.

【中考母题溯源·学方法】

2

【典例1】（2025·四川凉山·中考真题）若3x2y192xy110，则xy的平方根是（）

A．8B．8C．22D．22

【变式1-1】难点01结合相反数的定义列出等式（高频考点）

2025

（2025·江苏扬州·二模）若ab1与a2b2互为相反数，则2a3b．

【变式1-2】难点01结合二元一次方程组求解

22025

（2025·广东梅州·一模）已知2xy3xy30，则xy（）

A．2025B．1C．2025D．1

【变式1-3】新考法01结合三角形求解

（2025·全国·一模）实数m，n满足m2n40，则以m，n为边长的直角三角形的第三边长为．

【变式1-4】新考法02结合三角函数求解

2

32

（上海一模）在中，、都是锐角，且，则的度数为

2025··ABCBCsinCsinB0A

22

（）

A．120B．90C．75D．60

【变式1-5】新考法03与平面直角坐标系结合

2

（2025·四川广安·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为a,b，且a，b满足a2b30，

则点A在第象限．

【中考模拟闯关·练提分】

1.（2025·山东青岛·一模）若实数a，b满足a22a1b20，则函数yaxb的图象不经过（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

3

2．（2025·广东茂名·模拟预测）若ABC中，AB所对的边是c，AC所对的边是b，满足sinAcb0，

2

则ABC是（）

A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．不能确定

2025

3．（2025·广东·模拟预测）如果a1b20，那么ab的值为．

4．（2025·四川宜宾·二模）若x，y是实数，且|x2|y30，则(xy)2024的值为．

20

5．（2025·河北唐山·三模）若x1y20250，则xyπ的值为．

6．（2025·四川成都·二模）若m，n为实数，且m1(n2)20，则mn．

7．（2025·四川资阳·模拟预测）若(x3)4与y4互为相反数，即yxxy．

8．（2025·青海西宁·二模）在Rt△ABC中，若两直角边a，b满足|2b10|12a0，则三角形中最小的

角的正切值是．

题型二：代数式求值

1、直接代入法：把已知字母的值直接代入代数式计算求值.

2、整体代入法：①观察已知代数式和所求代数式的关系.

②利用提公因式法、平方差公式、完全平方公式将已知代数式和所求代数式进行变形，使它们成倍分关系.

③把已知代数式看成一个整式代入所求代数式中计算求值．

【中考母题溯源·学方法】

【典例2】（2025·海南·中考真题）当x2时，代数式2x3的值为（）

A．1B．7C．1D．5

【变式2-1】难点01结合代数式的值确定字母的关系（高频考点）

b1a1

9．（2025·湖南湘西·模拟预测）若实数a，b满足a28a50，b28b50，则的值为（）

a1b1

1

A．B．2或20C．2或20D．20

2

【变式2-2】新考法01结合方程（组）求代数式的值

3xy3xa

（2025·江苏徐州·中考真题）若二元一次方程组的解为则ab的值为．

2xy2yb

【变式2-3】新考法02结合函数求代数式的值

11

（2025·浙江宁波·三模）已知二次函数yx2x2025与x轴的交点的横坐标为m、n，则的值

mn

为．

【中考模拟闯关·练提分】

1．（2025·甘肃酒泉·三模）已知m，n，k为非负实数，且mk12kn1，则代数式2k28k6的最小

值为（）

A．2B．0C．2D．2.5

2．（2025·山东聊城·二模）若ab3，ab1，则a3b2a2b2ab3的值为．

3.（2025·四川绵阳·一模）已知m，n是一元二次方程x26x80的两个根，则mnmn的值为．

题型三：整除问题

利用平方差公式对整式或高次幂进行因式分解或降幂,直到式子中出现整数因式,则可以判断该

整式或高次幂可以被整数因式整除

【中考母题溯源·学方法】

【典例3】（2025·宁夏·中考真题）定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则

这个三位数叫做“极差数”．例如，三位数231，因为312，所以它是“极差数”．

【理解定义】

三位数265是否为“极差数”？___________．

【建模推理】

（1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为a,b,c，则a与b,c的关系式为___________；

（2）任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？

【变式3】新考法整除与概率

53．（2025·河北唐山·二模）我们知道，一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就能被3整除．

例：2349，9能被3整除，234能被3整除．

尝试试说明537是否能被3整除；

验证设abc是一个三位数，若abc能被3整除，则abc也能被3整除；

应用直．接．写．出．三位数81n能被3整除的概率．

【中考模拟闯关·练提分】

1．（2025·河北保定·二模）我们知道能被3整除的数的规律，设abc是一个三位数，若abc可以被3整除，

则这个数就能被3整除．

例如，三位数108，∵abc1089，9可以被3整除，∴108就能被3整除．

发现

将三位数abc去掉末尾数字c得到两位数ab，再用ab减去c的2倍所得的差为ab2c．若ab2c能被7整

除，则三位数abc就能被7整除．

验证

如，对于三位数364，∵362428，28可以被7整除，∴364就能被7整除．

（1）用上述方法判断455能否被7整除？__________（填“能”或“不能”）；

探究

（2）请用含a，b，c的代数式表示ab2c______________；

（3）结合（2）论证“发现”中的结论正确．

2．（2025·安徽·模拟预测）数学兴趣小组开展深究活动，研究“能被3整除的数”．指导老师首先提出一个猜

想：如果该数的各数位上的数的和能被3整除，那么这个数就一定能被3整除．例：∵12345621，

21能被3整除，∴615432能被3整除．

对于此规律：兴趣小组的两位成员分别针对三位数、四位数进行了证明：

（i）星星同学对三位数进行了证明：

设某个三位数上的百位、十位和个位上的数分别是a，b，c．

∵100a10bcabc＝3abc，

∴若abc能被3整除，则该三位数能被3整除．

（ii）宁宁同学对四位数进行了证明：

设某个四位数的千位、百位、十位、个位上的数字分别是a，b，c，d．

∵1000a100b10cd

abcd

3abcd，

∴若abcd能被3整除，则该四位数能被3整除．

(1)请写出横线上所缺内容．

(2)该兴趣小组继续探索一个四位数能被11整除的条件，证明过程如下：

1000a100b10cd1001aa99bb11ccd

……

请补充省略部分的推理过程，并写出四位数能被11整除的条件．

3．（2025·江苏扬州·一模）我们知道能被3整除的数的规律，设abc是一个三位数，若abc可以被3整除，

则这个数就能被3整除．

例如，三位数108，abc1089，9可以被3整除，108就能被3整除．

【发现】将三位数abc去掉末尾数字c得到两位数ab，再用ab减去c的2倍所得的差为ab2c．若ab2c能

被7整除，则三位数abc就能被7整除．

【验证】如，对于三位数364，362428，28可以被7整除，364就能被7整除．

（1）用上述方法判断455能否被7整除？

【探究】（2）请用含a，b，c的代数式表示ab2c；

（3）结合（2）论证“发现”中的结论正确．

【迁移】（4）下列结论正确的是．（填序号）

①在三位数abc中，若满足abc是11的倍数，则abc是11的倍数；

②在三位数abc中，若满足abc是11的倍数，则abc是11的倍数；

③在三位数abcd中，若满足abcd是11的倍数，则abcd是11的倍数；

4．（2025·海南三亚·一模）综合与实践

在小学，我们知道像12，27，36，45，108，……这样的自然数能被3整除．一般地，如果一个自然数的所

有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除．你能说出其中的道理吗？

先来看两位数的情形．

若一个两位数的十位、个位上的数字分别为a，b，则通常记这个两位数为ab．于是ab10ab9aab．

显然9a能被3整除，因此，如果ab能被3整除，那么9aab就能被3整除，即ab能被3整除．

(1)一个三位数6□4的十位数字未知，请从2、6、7中找出“□”中合适的取值，使得这个三位数能被3整除，

“□”可能等于_________；

(2)请你用类似的方法模拟划线部分说明三位数abc能被3整除的道理；

(3)证明：三个连续的正整数之和能被3整除．

题型四：数轴动点问题

数轴上的三种动点问题

数轴的动点问题，无论在平时练习，还是月考，期中期末考试中属于压轴题的版块，其过程复杂，情况多

变。动点问题虽然较难，但观察总结过这类题目考型后会发现其实总体来说就分为三类:

一、数轴上点移动后的表示

点的移动问题方法：“三找”：(1)找起点；（2）找方向；（3）找长度

二、两个点之间的距离

1、距离公式：AB=｜a-b｜=｜b-a｜（或者：右边的数-左边的数）

2、中点公式：点M表示的数为：（a+b)/2；

3、移动公式：当点A向右移动m个单位，则A表示的数为：a+m；

当A向左移动m个单位，则A表示的数为a-m.

三、数轴上动点移动问题

点的移动问题就是将点的移动后表示与用绝对值表示两点之间的距离结合起来。

方法：(1)找起点；（2）找方向；（3）找长度（4）根据距离公式列方程

【中考母题溯源·学方法】

【典例4】（2024·山东威海·中考真题）定义我们把数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值．数

轴上表示数a，b的点A，B之间的距离ABabab．特别的，当a0时，表示数a的点与原点的距

离等于a0．当a0时，表示数a的点与原点的距离等于0a．

应用

如图，在数轴上，动点A从表示3的点出发，以1个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动．同时，动点B

从表示12的点出发，以2个单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动．

(1)经过多长时间，点A，B之间的距离等于3个单位长度？

(2)求点A，B到原点距离之和的最小值．

【变式4-1】难点01分类讨论三个动点位置关系问题

如图，在数轴上的三个点A、B、C分别表示有理数a、b、c，且a、b、c满足a4，ab7，ab0，

c是最小的正整数．

(1)请直接写出a_______，b_______，c_______．

(2)若点A沿数轴向左运动，速度为每秒1个单位，点B和点C沿数轴向右运动，速度分别是2个单位/秒、

3个单位/秒．设运动时间为t（秒）．

①2秒后，点A、B、C分别表示的有理数．

②请问：3BCAB的值是否随着时间t的变化而变化？若不变化，求这个不变的值；若变化，求这个值的

变化范围．

(3)若把（2）中点B和点C的运动速度互换，请问：在运动过程中，t为何值时，点B、点C分别到原点O

的距离相等？（直接写出结果）

【变式4-2】新考法01新定义阅读理解

阅读理解：A、B、C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离的3倍，我们称点C是【A，

B】的和谐点．若点C到B的距离是点C到A的距离的3倍，我们称点C是【B，A】的和谐点．

（1）如图1，点A表示的数为1，点B表示的数为3．表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是

3，那么点D【A，B】的和谐点，点D【B，A】的和谐点．（请在横线上填是或不是）

（2）如图2，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为1，点B所表示的数为3．则【A，B】的和谐点

有个，并求出所有【A，B】的和谐点所表示的数．

（3）如图3，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为20，点N所表示的数为40．现有一只电子蚂蚁P

从点M出发，以3个单位每秒的速度向右运动，另一只电子蚂蚁Q从点N出发，以1个单位每秒的速度向

左运动，当点P到达点N时，P、Q两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．

①当t15时，若点H是【P，Q】的和谐点且在P、Q之间，则H所表示的数是否为定值，若为定值，请

求出该值，若不为定值，请说明理由．

②直接写出当Q是【N，P】的和谐点时，t的值为．

【中考模拟闯关·练提分】

1．（2025·山东淄博·二模）在数轴上，点O表示原点，现将点A从O点开始沿数轴按如下规律移动：第一次

点A向左移动1个单位长度到达点A1，第二次将点A1向右移动2个单位长度到达点A2，第三次将点A2向左

移动3个单位长度到达点A3，第四次将点A3向右移动4个单位长度到达点A4，…，按照这种移动规律移动

下去，第n次移动到点An，当n2025时，点A2025与原点的距离是个单位．

2．（2025·河北邯郸·一模）如图，以1cm为1个单位长度，用直尺画数轴，数轴上的点A，B，C刚好对着

直尺上的刻度2、刻度8和刻度10．设点A，B，C所表示的数的和是p，该数轴的原点为O．

(1)分别计算出原点O与点C重合时、与AB的中点重合时p的值．

(2)原点O沿着数轴每向左移动1cm，p的值将会如何变化？当p的值为4时，求原点O的位置．

3．（2025·河北沧州·二模）如图，点A，B均在数轴上，点B在点A的右侧，点A对应的数字是2，点B

对应的数字是实数m，且AB10．

(1)求实数m的值；

(2)一个光点从点A出发，沿数轴向右运动到点C，若ACBC20，点C对应的实数为n，

①点B在点C________；（填“左侧”或“右侧”）

②求n的取值范围．

4．（2025·河北·一模）【定义】数轴上表示数a，b的点A，B之间的距离AB|ab|．

【应用】如图，在数轴上，点A表示的数为8，点B表示的数为2，点C表示的数为6，动点P表示的数

为x．

(1)求点A，B之间的距离；

(2)①点P，A之间的距离为______，点P，C之间的距离为______；（用含x的代数式表示）

②求|x8||x6|的最小值；

(3)已知动点P从点A出发，沿着数轴的正方向运动，到终点C停止运动，直接写出|x8||x2||x6|

的最大值及最小值．

5．（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知在数轴上点A表示的数是a，点B表示的数是b，且a、b满足

2

a62b600，点C是异于点A的点，且它到原点的距离与点A到原点的距离相等，请回答问题：

(1)请直接写出a、b、c的值：a，b，c．

(2)动点M以5个单位每秒的速度从点A出发向点B运动，同时动点N以3个单位每秒的速度从点C出发向

点B运动，当M、N其中一个点到达点B时，两点同时停止运动，求经过几秒M、N相距8个单位？

(3)若动点M从点A出发，以2个单位每秒的速度向点B运动（到达点B即停止运动），当点M到达AB的中

点时，其速度变为3个单位每秒，此时停在C点的动点N开始出发，以6个单位每秒的速度向点B运动，动

点N到达点B时，立即以原速返回向点C运动，当点M停止运动时，点N立即停止运动，设动点M的运

动时间为t，求t为多少时，MN6．

6．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，在数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，点C表示的数为c，

点C是AB的中点．已知a，b满足|a7|(b9)20，现有两动点P，Q在数轴上同时开始运动，其中点P

从点B出发向左匀速运动，速度为每秒4个单位长度，点Q从点C出发向左匀速运动，速度为每秒2个单位

长度．

(1)填空：ab______，c______；

(2)求几秒后，P，Q之间相距1个单位长度；

(3)若点P运动到C后，立刻以每秒2个单位的速度运动到A后，再以每秒8个单位长度的速度返回到B点时

停止运动；点Q运动到A后，立刻以每秒4个单位长度的速度返回到B点时停止运动，在此运动过程中，是

否会存在CP2CQ？若存在，请直接写出运动时间t的值；若不存在，请说明理由．

题型五：数或式的规律探索

1.数字规律的解题步骤

第一步：按顺序给数标序数

第二步：对比序数(1，2，3，…，n)和数值间的关系，并用含序数的式子表示

第三步：根据规律表示出第n个式子，并检验

第四步：代入n的值，求第n个数

2.求第n个单项式的解题关键

找单项式的系数或者指数与序号的对应关系,可将问题转化成找数与序号之间的规律

3.猜想第n个等式的解题关键

找到等式里边每一个变化的数字与序号之间的对应关系,常见的数字规律同问题1;证明第,个等式的正确

性,即通过整式或分式运算,将等号一边变形为另一边的结果,

口诀助记：等差看差定不变,等比算商齐增减;周期重复找循环,符号正负(-1)"辨;平方立方幂次显，叠加递推

层层算;奇偶分段各有式,验证代入再完善.-

【中考母题溯源·学方法】

【例5】（2025·四川绵阳·中考真题）观察下列单项式：xy,x2y3,x3y5,x4y7,，探究发现其中规律，你认

为从左到右第15个单项式是（）

A．x15y27B．x15y29C．x13y27D．x13y29

【变式5-1】新考法01新定义与规律探索综合

（2025·四川成都·中考真题）分子为1的真分数叫做“单位分数”，也叫“埃及分数”．古埃及人在分数计算时

3113

总是将一个分数拆分成几个单位分数之和，如：．将拆分成两个单位分数相加的形式

521011

2

为；一般地，对于任意奇数k（k2），将拆分成两个不．同．单位分数相加的形式为．

k

【变式5-2】新考法02规律探索与数学文化

（2025·江苏扬州·中考真题）清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳

法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则

写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写

出第⑤组勾股数为．

【变式5-3】新考法03立方根规律探索

（2025·山东滨州·中考真题）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅

读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊

奇，忙问计算的奥妙．华罗庚解释如下：

①由1031000，10031000000，1000593191000000，可得10359319100，由此确定359319是两

位数；

②59319的个位上的数是9，因为只有93的个位上的数是9，所以359319的个位上的数是9；

③如果划去59319后面的三位数319得到59，而3327，4364，又275964，由此确定359319的十

位上的数是3，从而得到59319的立方根是39．

已知373248是一个整数的立方，请你按照上述方法，确定373248的立方根是．

【变式5-4】新考法04跨化学学科综合

（2025·陕西·模拟预测）“数学是将科学现象升华到科学本质认识的重要工具”．比如化学中，醇类物质的分

子中碳原子和氢原子的数目满足一定的数学规律，甲醇中碳原子的数目为1，化学式为CH3OH；乙醇中碳

原子的数目为2，化学式为C2H5OH；丙醇中碳原子的数目为3，化学式为C3H7OH，按照此规律，碳

原子的数目为15的醇的化学式是．

【中考模拟闯关·练提分】

1．（2025·云南·模拟预测）按一定规律排列的多项式：2ab,4ab3,6ab5,8ab7,10ab9,．则第10个

多项式是（）

A．20ab21B．20ab19C．10ab21D．10ab10

2．（2025·云南·模拟预测）观察下列一组单项式：x，2x2，4x3，8x4，16x5，…。按你发现的规律继续

写下去，第n个单项式是（）

nn1

A．12n1xnB．12n1xn

nn1

C．12n1xn+1D．12xn

3x1x为奇数

3．（2025·四川内江·中考真题）对于正整数x，规定函数fx1．在平面直角坐标系中，将

xx为偶数

2

点m,n中的m，n分别按照上述规定，同步进行运算得到新的点的横、纵坐标（其中m，n均为正整数）．例

如，点8,5经过第1次运算得到点4,16．经过第2次运算得到点2,8，经过第3次运算得到点1,4，经过

有限次运算后，必进入循环圈，按上述规定，将点2,1经过第2025次运算后得到点是（）

A．2,1B．4,2C．1,2D．1,4

1111111

4．（2025·甘肃定西·模拟预测）观察：a1，a，a，a，…，则

an．（n1,2,3,）

5．（2025·安徽·模拟预测）观察下列等式：

第1个：122220，

第2个：433321，

第3个：944422，

第4个：1655523，

，

(1)写出第6个式子：．

(2)按照以上规律，第n个等式为，写出证明过程．

题型六：图形规律探索

解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前

一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般

性的结论．

【中考母题溯源·学方法】

【例6】（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，用大小相等的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个

小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形，按照这样的方法拼成的第6个正方形需要（）个小正方形．

A．30B．40C．49D．56

【变式6-1】新考法01跨化学学科

（2025·四川乐山·中考真题）醇是一类由碳、氢、氧元素组成的有机化合物，下图是这类物质前四种化合物

的分子结构模型图，其中代表碳原子，代表氧原子，代表氢原子．第1种如图1有4个氢原子，第

2种如图2有6个氢原子，第3种如图3有8个氢原子，第4种如图4有10个氢原子，……按照这一规律，

第9种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（）

A．18B．20C．22D．24

【变式6-2】新考法02图形操作中规律探索

（2025·江苏镇江·中考真题）如图，在等腰三角形ABC中，BABC，第1次操作：取AC的中点O1，将O1B

绕点O1分别逆时针旋转120和180，得到线段O1C1和O1A1；第2次操作：取A1C1的中点O2，将O2O1绕点O2

分别逆时针旋转120和180，得到线段O2C2和O2A2；；按照这样的操作规律，第30次操作后，得到线

段O30C30和O30A30，若用点C在点A的正南方向表示初始位置，则点C30在点A30的（）

A．正东方向B．正南方向C．正西方向D．正北方向

【变式6-3】新考法03勾股树规律探索

（2025·甘肃·中考真题）勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含

了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以

这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别

向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，……，则第5个图形中共有个正方形．

【变式6-4】新考法04函数中的规律探索

1

（2025·山东潍坊·中考真题）如图1，点Ax,y是函数yx0图象上任意一点，过A向y轴作垂线交

111x1

1

y轴于点B1，向x轴作垂线交x轴于点C1，矩形A1B1OC1的周长L12A1B1A1C12x1y12x1，

x1

1

2

当x1时，L1有最小值4；如图2，点A2x2,y2是函数yx0图象上任意一点，同样作矩形A2B2OC2，

x1x

2n

它的周长L22x2，同理得L2的最小值为42；；点Anxn,yn是函数y（x0，n为正整数）

x2x

图象上任意一点，作矩形AnBnOCn，它的周长为Ln，则Ln的最小值为．

【变式6-5】新考法05多面体规律探索

（2025·江苏盐城·中考真题）小明在参观科技馆时，发现很多矿物的结晶体有着其独特的几何形态和内在规

律．

［发现问题］

黄铁矿的晶体（如图（1））是一个正方体：它由六个面组成．每个面都是全等的正方形，每个顶点都连接

三条棱．小明查阅资料后了解到，这种各面都是全等的正n边形，且各顶点连接r（r3）条棱的立体图形

称为正多面体，如正方体又称为正六面体．

［提出问题］

小明思考：这样的正多面体有几个？

［分析问题］

一个正F面体的每个面都是全等的正n边形，有V个顶点，E条棱，且每个顶点都连接r条棱．小明对部分

正F面体（如图（2））进行了观察，列出以下数据：

正多面体FnVEr

正四面体43463

正方体648123

正八面体836124

（1）根据表中的数据，请写出F、V、E之间存在的等量关系式_________；

（2）小明进一步发现，正F面体中棱数与各面的边数之和以及棱数与各面的顶点数之和存在着一定的关系．

①从面出发：以正方体为例，它有6个面，每个面都有4条边，则六个面的边数之和为24，又因为正方体

的两个面共用一条边，所以正方体的棱数为12．

正F面体的棱数E_________．（用含n、F的代数式表示）

②从顶点出发：正F面体的棱数E_________．（用含r、V的代数式表示）

［解决问题］

（3）已知一个正多面体有30条棱，且每个顶点连接3条棱，求这个正多面体的面数．

（4）满足正多面体定义的几何体一共有几个？请说明你的理由．

【中考模拟闯关·练提分】

1．（2025·重庆·中考真题）按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有4个圆点，第②个图中有8个圆

点，第③个图中有12个圆点，第④个图中有16个圆点……按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是（）

A．32B．28C．24D．20

2．（2025·重庆·模拟预测）下列各方格中的四个数之间都有相同规律，根据此规律，第8个图中的d（）．

A．315B．645C．965D．1275

3．（2025·四川内江·一模）如图，已知在Rt△ABC中，ACB90，A30，AB2，过点C作CD1AB

于D1，过点D1作D1D2AC于D2，过点D2作D2D3AB于D3，过点D3作D3D4AC于D4，…按此方法得

到的D7D8的长为（）

2345

3333

A．B．C．D．

4444

4．（2025·陕西·中考真题）生活中常按图①的方式砌墙，小华模仿这样的方式，用全等的矩形按规律设计图

案，如图②，第1个图案用了3个矩形，第2个图案用了5个矩形，第3个图案用了7个矩形，……则第

10个图案需要用矩形的个数为．

5．（2025·青海·中考真题）下图是谢尔宾斯基地毯图案的形成过程．按此规律下去，第⑥个图形中黑色三角

形的个数是．

6．（2025·江苏徐州·中考真题）如图所示，用黑白两色棋子摆图形，依此规律，第n个图形中黑色棋子的个

数为．（用含n的代数式表示）

7．（2025·湖南怀化·一模）石油的最低级产物沥青蒸汽里含有多种稠环芳香烃，如图是它的同系列化合物（结

构相似，分子组成相差相同的原子团）的结构式：

第1种物质的分子式是C10H8，第2种物质的分子式是C16H10，第3种物质的分子式是C22H12，…由此可知，

该系列化合物第8种物质的分子式是．

8.（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，四边形ABC