小学数学五年级《分数应用题（二）》教学设计

小学数学五年级《分数应用题（二）》教学设计【基础·核心概念】分数应用题是小学数学“数与代数”领域的重要内容，它建立在学生已经掌握了分数乘除法的意义、计算方法以及简单的“求一个数的几分之几是多少”的一步应用题基础之上。本课“分数应用题（二）”的核心是理解和掌握“求比一个数多（或少）几分之几的数是多少”的复杂分数乘法应用题，以及相应的“已知比一个数多（或少）几分之几的数是多少，求这个数”的分数除法应用题。这部分内容不仅是分数乘除法知识的综合运用，更是培养学生分析数量关系、构建数学模型、发展逻辑推理能力的关键载体，为学生后续学习百分数应用题、比和比例应用题以及解决更复杂的实际问题奠定坚实的基础。【高频考点·学情分析】五年级学生已经具备了一定的分数运算能力和初步的分析问题能力。他们能够解决简单的“求一个数的几分之几是多少”的问题，但对于涉及“多（或少）几分之几”的复合数量关系，理解上存在思维坡度。学生容易混淆单位“1”，难以准确找到比较量与单位“1”之间的关系，尤其是在需要逆向思考的除法应用题中，思维的转换存在困难。因此，本课教学必须从学生已有的知识经验出发，通过直观的线段图、具体的数量关系分析，帮助学生构建清晰的解题思路，实现从一步应用题到两步应用题，从乘法模型到除法模型的顺利过渡。【教学目标】（一）知识与技能目标【基础·核心】1.使学生理解和掌握“求比一个数多（或少）几分之几的数是多少”的分数乘法应用题的结构特征和数量关系，能正确、熟练地解答此类问题。2.使学生理解和掌握“已知比一个数多（或少）几分之几的数是多少，求这个数”的分数除法应用题的结构特征和数量关系，能正确、熟练地解答此类问题。3.使学生能沟通分数乘法应用题和分数除法应用题的内在联系，理解它们的异同点，初步形成分数应用题的知识结构。（二）过程与方法目标【重要·能力】1.通过画线段图、分析关键句、寻找数量关系等活动，引导学生经历从具体情境中抽象出数学模型的过程，培养其几何直观、模型思想和抽象概括能力。2.通过对比、辨析、沟通，引导学生体会数形结合、转化、方程等数学思想方法在解决问题中的作用，提高分析问题和解决问题的能力。3.鼓励学生从不同角度思考问题，探索不同的解题策略（如算术法和方程法），发展思维的灵活性和创新性。（三）情感态度与价值观目标【拓展·素养】1.使学生在解决实际问题的过程中，感受数学与生活的紧密联系，增强学习数学的兴趣和信心。2.培养学生独立思考、合作交流、勇于质疑的学习习惯，形成严谨求实的科学态度。3.通过对数量关系的分析，渗透事物是相互联系、可以相互转化的辩证唯物主义观点。【教学重难点】（一）教学重点【核心·高频】1.正确分析题目中的数量关系，特别是找准单位“1”，理解“多（或少）几分之几”的含义。2.掌握两类基本分数应用题（乘法型和除法型）的解题思路和方法。（二）教学难点【难点·突破】1.理解“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的除法应用题的算理，特别是当已知量比单位“1”多（或少）几分之几时，如何将已知量转化为单位“1”的几分之几。2.沟通乘、除法应用题的内在联系，构建统一的数学模型：单位“1”的量×（1±几分之几）=比较量；比较量÷（1±几分之几）=单位“1”的量。【教学准备】多媒体课件（PPT），包含动态线段图展示；学生练习用纸；彩色粉笔。【教学过程】（一）激活经验，复习铺垫【基础·导入】1.找准单位“1”。课件出示关键句，让学生找出单位“1”的量，并说出数量关系式。（1）男生人数是女生人数的4/5。（2）实际产量比计划产量增产了1/8。（3）现在的价格比原来降低了1/6。【设计意图】“找单位‘1’”和“说数量关系”是解决分数应用题的基础和关键。通过此环节，迅速唤醒学生的已有经验，为本课学习扫清障碍，特别是对“多（或少）几分之几”的关键句进行专项训练，为新课的探究做好铺垫。2.列式解答。出示复习题：学校图书室有故事书600本，科技书的本数是故事书的2/3。科技书有多少本？学生独立解答后，汇报数量关系：故事书的本数×2/3=科技书的本数。并说明理由。【设计意图】复习“求一个数的几分之几是多少”的一步乘法应用题，这是本课新知识生长的最直接的“最近发展区”。通过回顾，为新知探究搭建“脚手架”。（二）创设情境，探究新知（乘法型）【核心·展开】1.出示例1（改编）：学校图书室有故事书600本，科技书的本数比故事书多1/3。科技书有多少本？（1）【难点突破·关键句分析】引导学生再次找出单位“1”，并理解关键句“科技书的本数比故事书多1/3”的含义。教师追问：“比故事书多1/3”是什么意思？是把谁看作单位“1”？多的部分是哪个量的1/3？学生讨论后明确：是把故事书的本数看作单位“1”。科技书比故事书多的本数，是故事书本数的1/3。也就是说，科技书的本数，是在单位“1”（故事书本数）的基础上，再加上单位“1”的1/3。（2）【重要方法·数形结合】引导学生画线段图分析。教师示范并带领学生一起画：先画一条线段表示单位“1”，即故事书的本数（600本），并在线段上标注。然后提问：表示科技书本数的线段应该怎么画？它比故事书多1/3，应该先画什么？再画什么？学生在练习本上画，教师巡视指导。最后展示规范的线段图：故事书：|————|————|————|（平均分成3份，每份表示单位“1”的1/3，共3份，即600本）科技书：|————|————|————|————|（先画与故事书同样长的部分，再画一个比它多出的部分，多出的部分相当于故事书的1份，即单位“1”的1/3）（3）【核心概念·分析数量关系】结合线段图，引导学生分析数量关系。从线段图上看，科技书的本数由哪两部分组成？（与故事书同样多的部分和比故事书多出的部分。）那么，科技书的本数相当于故事书本数的几分之几？引导学生观察得出：故事书是3份，科技书是（3+1=4）份。因此，科技书的本数相当于故事书本数的4/3。教师引导归纳数量关系式：方法一：故事书的本数+故事书的本数×1/3=科技书的本数。方法二：故事书的本数×（1+1/3）=科技书的本数。（4）【基础·列式解答】学生根据数量关系，独立列式解答。解法一：分步列式。先求多的部分：600×1/3=200（本）；再求科技书的本数：600+200=800（本）。解法二：综合列式。600×（1+1/3）=600×4/3=800（本）。学生汇报，教师板书两种解法，并重点讲解第二种解法的算理：为什么要先算1+1/3？（因为要求的是单位“1”的（1+1/3）倍是多少。）（5）【重要·变式训练】如果题目改为“科技书的本数比故事书少1/3”，又该怎么解答？学生独立尝试画图并列式，然后小组内交流。教师巡视，收集典型资源进行全班展示。预设：线段图：故事书分3份，科技书少1份，即只有2份，相当于故事书的2/3。列式：600×（11/3）=600×2/3=400（本）。强调：关键是理解“少1/3”就是单位“1”的（11/3）。（6）【小结归纳】师生共同小结“求比一个数多（或少）几分之几的数是多少”的分数乘法应用题的解题步骤：①找单位“1”。②判断单位“1”是已知还是未知（已知）。③根据关键句，确定比较量对应的分率。④列式计算：单位“1”的量×（1±几分之几）=比较量。（三）迁移类推，探究新知（除法型）【难点·突破】1.出示例2：学校图书室有科技书800本，科技书的本数比故事书多1/3。故事书有多少本？（1）【难点辨析·对比发现】引导学生将例2与例1（“多1/3”情形）进行比较。讨论：这两道题有什么相同点和不同点？相同点：关键句相同（都是“科技书的本数比故事书多1/3”）。不同点：例1中单位“1”（故事书本数）已知，求比较量（科技书本数）；例2中比较量（科技书本数）已知，求单位“1”（故事书本数）。（2）【核心方法·画图分析】再次运用线段图分析。教师：虽然条件和问题交换了，但数量关系没有变。我们仍然可以用线段图来表示。引导学生画图：先画什么？（单位“1”，即故事书本数，未知，用一条线段表示，平均分成3份。）再画什么？（科技书本数，比故事书多1份，所以要画4份那么长，并标注为800本。）学生在教师引导下完成线段图：故事书（未知）：|————|————|————|（共3份）科技书（800本）：|————|————|————|————|（共4份，对应800本）（3）【逻辑推理·分析关系】引导学生从线段图中寻找数量关系。提问：从图中你能看出什么？800本对应的是几份？故事书本数对应的是几份？学生观察得出：科技书800本对应的是4份，故事书的本数对应的是3份。教师引导将份数关系转化为分数关系。关键：科技书本数是故事书本数的几分之几？（4/3）。为什么？（因为故事书是单位“1”，平均分成3份，科技书有4份，所以科技书是故事书的4/3。）由此得到等量关系：故事书的本数×4/3=科技书的本数。即：单位“1”×（1+1/3）=比较量（800）。（4）【方法多样·列式解答】学生尝试列式解答。教师巡视，了解学生的不同解法。解法一（算术法，逆向思维）：从份数角度思考。先求一份是多少：800÷4=200（本）。故事书有3份：200×3=600（本）。解法二（算术法，分数除法）：根据等量关系列除法算式。800÷（1+1/3）=800÷4/3=800×3/4=600（本）。重点引导学生理解800÷（1+1/3）的算理：因为已知一个数的（1+1/3）是800，求这个数，用除法。或者理解为“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”，用除法计算。解法三（方程法，顺向思维）：设故事书有x本。根据等量关系：x×（1+1/3）=800。解方程：4/3x=800，x=600。【设计意图】方程法顺向思维，更容易理解，是解决此类问题的重要方法，应予以强调和鼓励。（5）【巩固迁移·变式训练】如果题目改为“科技书的本数比故事书少1/3”，又该怎么解答？学生独立完成，然后交流汇报。线段图：故事书3份，科技书2份（对应800本）。等量关系：故事书本数×（11/3）=800。解法：算术法：800÷（11/3）=800÷2/3=800×3/2=1200（本）。方程法：解：设故事书有x本。（11/3）x=800，2/3x=800，x=1200。（6）【对比沟通·建构模型】引导学生对比例1和例2，以及它们的变式练习。讨论：解决这两类问题，最关键的是什么？（找准单位“1”，并判断单位“1”是已知还是未知。）归纳总结分数应用题的基本数量关系模型：【核心模型】单位“1”的量×（1±几分之几）=比较量（单位“1”已知，用乘法）比较量÷（1±几分之几）=单位“1”的量（单位“1”未知，用除法或方程）（四）分层练习，巩固内化【高频·应用】1.【基础练习·模仿应用】（1）食堂运来大米500千克，运来的面粉比大米多1/5。运来面粉多少千克？（2）食堂运来面粉600千克，面粉比大米少1/4。运来大米多少千克？要求学生先找出单位“1”，再列式解答。指名板演，全班订正。2.【辨析练习·对比强化】（1）学校有20个足球，篮球比足球多1/4，篮球有多少个？（2）学校有20个足球，足球比篮球多1/4，篮球有多少个？引导学生对这两题进行对比分析，明确单位“1”不同，解题方法也不同。第一题单位“1”（足球）已知，用乘法；第二题单位“1”（篮球）未知，用除法或方程。3.【综合练习·实际应用】修一条公路，已经修了全长的3/5，还剩400米没修。这条公路全长多少米？（提示：这道题的关键句是什么？单位“1”是谁？已知还是未知？还剩的400米对应的分率是多少？）引导学生分析得出：全长是单位“1”，未知。还剩的400米对应的分率是（13/5）。列式：400÷（13/5）=1000（米）。（五）课堂小结，拓展延伸【素养·升华】1.师生共同回顾本节课的学习内容。教师提问：通过今天的学习，你有什么收获？在解决分数应用题时，你有什么好的经验或方法想和大家分享？学生畅谈体会，教师适时引导，再次强调“找单位‘1’”、“画线段图”、“分析数量关系”的重要性，并回顾总结出的两个基本模型。2.【拓展延伸·思维挑战】出示思考题：甲、乙两桶油共重60千克，甲桶油的重量比乙桶油少1/3。两桶油各重多少千克？（提示：这道题与我们今天学的有什么不同？单位“1”是谁？它已知吗？两个量都不知道，但知道它们的和，该怎么办？）【设计意图】此题是稍复杂的分数应用题，涉及到两个未知量以及它们的和。旨在激发学有余力学生的探究欲望，引导他们在课后尝试运用线段图和方程思想进行解决，为后续学习稍复杂的分数应用题埋下伏笔，体现教学的层次性和延展性。【板书设计】分数应用题（二）例1：故事书600本，科技书比故事书多1/3。科技书多少本？单位“1”：故事书本数（已知）数量关系：故事书×（1+1/3）=科技书列式：600×（1+1/3）=600×4/3=800（本）答：科技书800本。（变式：少1/3→600×（11/3））例2：科技书800本，比故事书多1/3。故事书多少本？单位“1”：故事书本数（未知）数量关系：故事书×（1+1/3）=科技书解法一（方程）：解：设故事书x本。（1+1/3）x=8004/3x=800x=600解法二（算术）：800÷（1+1/3）=800÷4/3=600（本）答：故事书600本。