核心素养导向的初中数学八年级上册《因式分解-提公因式法》教学设计

核心素养导向的初中数学八年级上册《因式分解——提公因式法》教学设计

一、课程基本要素

1.学科与学段

本教学设计针对初中二年级（八年级）数学学科。

2.课时安排

2课时（共90分钟）

3.课程类型

新授课

4.设计理念

本设计以《义务教育数学课程标准（2022年版）》为根本遵循，秉承“以学生发展为本”的核心教育理念，聚焦学生数学核心素养的培育。设计超越了传统“概念-例题-练习”的单一技能训练模式，致力于构建一个理解驱动、素养导向的学习进程。我们以大概念教学为统领，将“提公因式法”置于“式的恒等变形”这一更广阔的数学观念背景下，揭示其作为从“和的形式”到“积的形式”的逆向转换的数学本质。在教学策略上，深度融合逆向设计（UbD）理念，先明确期望的深度理解目标，再设计评估证据，最后规划学习体验。通过创设源于真实世界与数学内部的问题情境，激发学生认知冲突，引导他们经历从具体到抽象、从特殊到一般的完整数学化过程。同时，我们强调技术赋能，运用动态数学软件辅助理解，并渗透跨学科联系（如物理中的公式简化、经济学中的分配计算），培养学生的模型观念与应用意识。整个教学过程注重合作探究与反思性学习，鼓励学生主动建构知识，发展逻辑推理能力与数学抽象能力，最终实现从掌握一项操作技能到理解一种数学思想方法的跃迁。

二、教材与学情深度分析

（一）教材内容解析与定位

因式分解是初中数学“代数式”领域承前启后的核心内容，而提公因式法是因式分解最基本、最核心的方法，是后续学习公式法、分组分解法等高级方法的基础工具和逻辑起点。在华东师大版教材体系中，本节内容紧接“整式的乘法”之后，这种编排深刻体现了数学知识间的逆向思维与互逆关系。整式乘法是将几个整式的“积”化为一个多项式的“和”，是因式分解的逆向运算。理解这种互逆性，是学生构建完整代数变形认知结构的关键。

从数学思想方法层面看，本节内容蕴含了丰富的教育价值：

1.转化与化归思想：将多项式转化为整式乘积的形式，是简化问题、寻找解决方案的重要策略。

2.整体思想：公因式可能是一个单项式，也可能是一个多项式，这要求学生具备将代数式的一部分视为一个整体的眼光。

3.符号意识：准确识别和处理代数式中的系数、字母及其指数，是运算正确的前提，也是发展抽象符号能力的重要途径。

4.程序性知识与概念性知识的融合：不仅要掌握“如何提”的步骤（程序性知识），更要理解“为什么能提”（乘法分配律的逆用）以及“提什么”（公因式的本质是各项公共的因式）的概念性内涵。

教材通常从简单的数字系数、相同字母因式入手，逐步过渡到系数为分数、小数、负数，以及需要识别多项式公因式的情况。本设计将在此基础上，对内容进行结构化重组与深化，引入更具思维挑战性的变式，旨在引导学生触及概念的本质。

（二）学情精准诊断

八年级学生正处于从具体运算思维向抽象逻辑思维过渡的关键期。他们对整式的乘法运算（尤其是单项式乘多项式）已经掌握，对乘法分配律有着牢固的认知，这是学习本节内容最直接、最重要的认知基础。同时，他们初步具备了观察、归纳、类比等探索能力。

然而，学习本节内容可能面临的认知障碍与误区包括：

1.思维定式干扰：长期进行正向的整式乘法运算，导致对逆向的因式分解思维模式感到陌生和不适应，容易出现“分解不彻底”或返回原式的倾向。

2.公因式识别困难：对于系数部分，找最大公约数可能存在疏漏；对于字母部分，容易忽略指数最小的要求；更困难的是识别隐藏的公因式，如将(a-b)

与(b-a)

视为不同，无法洞察其互为相反数的关系。

3.概念理解表面化：可能将“提公因式”简单地理解为一种“提取”动作，而未能深刻理解其是“乘法分配律逆用”的代数本质，导致在复杂情境中无法灵活应用。

4.符号处理错误：当公因式为负或因式提取后括号内首项为负时，符号处理是高频错误点。

基于此，本设计的教学策略是：激活旧知，搭建桥梁；暴露冲突，引发探究；循序渐进，突破难点；变式训练，深化理解。通过设计环环相扣的问题链，引导学生自己发现、归纳和修正，将潜在的认知冲突转化为深度学习的契机。

三、素养导向的教学目标

依据课程标准与深度学情分析，制定如下分层教学目标：

（一）知识与技能目标

1.理解因式分解（提公因式法）的概念，能准确判断一个多项式的变形是否为因式分解。

2.能准确、迅速地确定多项式各项的公因式（包括数字系数与字母因式）。

3.熟练掌握利用提公因式法将多项式分解因式的基本步骤，并能规范书写。

4.能处理公因式是单项式，以及公因式是多项式（包括互为相反数的情形）的各类题型。

（二）过程与方法目标

1.经历从具体数字例子到一般字母表示式的抽象概括过程，体会类比、归纳的数学思想方法。

2.通过对比整式乘法与因式分解的关系，发展逆向思维能力。

3.在探究公因式本质和提公因式法则的过程中，提高观察、分析、概括及语言表达能力。

4.学会运用提公因式法解决简单的代数式求值、化简证明等问题，初步体会其在数学中的应用价值。

（三）情感、态度与价值观目标

1.通过探索因式分解与整式乘法的互逆关系，感受数学知识间的普遍联系与对立统一之美，形成辩证的数学观。

2.在克服学习难点、解决复杂问题的过程中，培养独立思考、坚持不懈的意志品质和严谨求实的科学态度。

3.通过小组合作探究，体验交流协作的重要性，增强团队意识。

4.认识因式分解在简化运算、解决实际问题中的工具性作用，激发学习数学的内在兴趣。

四、教学重难点

教学重点：提公因式法的概念与操作步骤。

确立依据：这是本节课学生必须掌握的核心知识与基本技能，是后续所有学习的基础。对概念（公因式）的清晰理解和步骤的规范执行是达成教学目标的关键。

教学难点：

1.准确识别公因式，尤其是系数为最大公约数、字母取最低次幂的把握。

2.当多项式首项系数为负时，正确提取负公因式。

3.将多项式（如(b-a)

）通过提取负号转化为公因式（如(a-b)

）的灵活处理。

突破策略：针对难点1，设计从易到难的辨析活动，强化“最大”、“所有”、“最低”等关键词的理解。针对难点2和3，采用“先情境后规则”的方法，创设一个必须提取负公因式才能简化的问题情境，让学生体验提取负号的必要性，再归纳符号处理规则，避免机械记忆。

五、教学准备

教师准备：

1.精心设计的多媒体课件（含动态演示、问题情境、例题变式、课堂练习）。

2.预设的学生探究活动单（引导性问题、合作任务、反思空间）。

3.实物投影仪或同屏软件，用于展示学生解题过程。

4.几何画板或类似动态数学软件，用于可视化展示多项式变形过程。

学生准备：

1.复习整式乘法，特别是单项式乘以多项式的法则。

2.复习求几个整数最大公约数的方法。

3.预习教材相关内容，并提出1-2个疑问。

六、教学实施过程（90分钟）

第一课时：概念的建构与法则的初探（45分钟）

（一）创设情境，提出问题（预计时间：8分钟）

活动1：计算挑战，激活经验

教师出示两组计算题：

第一组（正向运算）：

①3×4+3×5

②a(b+c)

③2x(x-3y)

（学生口答，迅速完成。目的在于激活乘法分配律及单项式乘多项式的记忆。）

第二组（逆向填空）：

①3×4+3×5=3×(_+_)

②ab+ac=a(_+_)

③2x^2-6xy=2x·_

（学生亦能快速完成。教师追问：第二组的变形依据是什么？引导学生明确：是乘法分配律的逆用。）

活动2：实际问题，引入课题

呈现问题情境：“学校要扩建一块长方形绿地，其长、宽分别为(2a+3b)

米和c

米。现计划在绿地中央修建一个圆形花坛，花坛半径为a

米。请问绿地的剩余面积（即长方形面积减去圆形面积）是多少平方米？请尝试用两种不同的代数式表示。”

引导学生列出表达式：S=c(2a+3b)-πa^2

。

教师引导：“能否找到一个更简洁、或因式乘积的形式来表示这个面积？比如，能不能像第二组填空那样，把某个公共的‘东西’提到括号外面来？”

学生可能发现a

是公共部分，尝试变形：S=a(2c+3bc/a-πa)

，但这出现了分式，不符合整式要求，引发认知冲突。

教师适时引导：“看来直接提a

遇到了麻烦。我们先从一个更简单的多项式开始研究这种‘逆向’的变形方法。”

设计意图：从学生已有的“分配律逆用”经验出发，自然平滑。通过实际问题创设“寻求简洁表示或特殊形式”的需求，引出学习因式分解的必要性，将数学学习锚定在解决真实问题的背景下。

（二）合作探究，建构概念（预计时间：15分钟）

活动3：类比归纳，形成概念

出示多项式：ma+mb+mc

。

提问1：这个多项式由几项构成？每一项有什么特点？（都有因式m

）

提问2：根据乘法分配律的逆用，它可以写成什么形式？（m(a+b+c)

）

教师明确：我们把m

叫做多项式ma+mb+mc

各项的公因式。这种把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解。也叫做把这个多项式分解因式。

板书核心定义。

活动4：辨析比较，深化理解

出示一组式子，请学生以小组为单位讨论、辨析哪些是因式分解，哪些不是，并说明理由。

1.x^2-4=(x+2)(x-2)

（是）

2.(x+2)(x-2)=x^2-4

（不是，是整式乘法）

3.x^2+4x+4=(x+2)^2

（是）

4.x^2+3x+2=x(x+3)+2

（不是，右边不是积的形式）

5.a^2-b^2+1=(a+b)(a-b)+1

（不是）

小组讨论后汇报，教师关键追问：“判断是否为因式分解，最本质的标准是什么？”（①等式左边是多项式；②等式右边是几个整式的乘积；③是恒等变形。）

设计意图：通过具体实例抽象出概念，符合认知规律。紧接着的辨析活动至关重要，旨在通过正反例对比，让学生准确把握因式分解概念的内涵与外延，特别是与整式乘法的区别与联系，防止混淆。

（三）探索方法，归纳步骤（预计时间：17分钟）

活动5：寻找“公因式”

给出多项式：12a^3b^2c，18a^2b^3

。

提问：如果这是一个两项式，它的公因式是什么？如何系统地去寻找？

引导学生从两方面思考：

1.系数：取各项系数的最大公约数。12

和18

的最大公约数是6

。

2.字母：取各项都含有的相同字母，且取它们指数中最低的。

1.3.字母a

：指数分别是3

和2

，取a^2

。

2.4.字母b

：指数分别是2

和3

，取b^2

。

3.5.字母c

：第二项不含c

，因此公因式中不含c

。

所以，公因式是：6a^2b^2

。

师生共同归纳确定公因式的“三步法”：一看系数，二看字母，三看指数。

活动6：提炼“提”的法则

以多项式6x^3y-12x^2y^2+18xy^3

为例，师生共同完成分解。

步骤1：确定公因式。系数最大公约数是6

，公共字母x,y

，x

最低次1

，y

最低次1

，故公因式为6xy

。

步骤2：“提”。将公因式6xy

作为积的一个因式写在前面。

步骤3：“商”。用原多项式的每一项分别除以公因式6xy

，将所得的商作为另一个因式的对应项。

即：(6x^3y)÷(6xy)=x^2

；(-12x^2y^2)÷(6xy)=-2xy

；(18xy^3)÷(6xy)=3y^2

。

步骤4：写出结果：6x^3y-12x^2y^2+18xy^3=6xy(x^2-2xy+3y^2)

。

教师板书完整过程，强调步骤的规范性和除法的准确性。引导学生用整式乘法验证结果。

活动7：初步应用，巩固步骤

学生独立完成练习：分解因式

①8ab^2-12a^2b

②-15x^2y^3+20x^3y^2

（教师巡视，收集典型正确与错误解法，为第二课时讲评做准备。）

（四）课时小结，布置预学（预计时间：5分钟）

小结：引导学生回顾本节课的核心内容：1.什么是因式分解？2.什么是公因式？如何确定？3.提公因式法的基本步骤是什么？

预学任务：思考：1.练习②中，首项系数是负的，如何处理？2.如果公因式本身是一个多项式，比如a(x-y)+b(x-y)

，该怎么分解？请尝试。

设计意图：第一课时聚焦于概念的形成和基础操作步骤的建立。通过清晰的探究活动和规范的示范，让学生掌握“标准情况”下的提公因式法。以问题和预学任务结束，为第二课时的难点突破埋下伏笔，保持学习的连贯性。

第二课时：难点的突破与素养的深化（45分钟）

（一）回顾迁移，直面难点（预计时间：10分钟）

活动1：评析与引深

教师利用实物投影展示上节课练习②-15x^2y^3+20x^3y^2

的学生解法。可能出现：

1.公因式取5x^2y^2

，得到5x^2y^2(-3y+4x)

。

2.公因式取-5x^2y^2

，得到-5x^2y^2(3y-4x)

。

提问：两种结果都对吗？哪种更优？为什么？

引导学生讨论：两种结果都是正确的，因为它们是恒等变形。但通常，我们倾向于让括号内的多项式首项系数为正，这样看起来更简洁、更标准。因此，当多项式首项系数为负时，我们常常先提取负号，将公因式的系数变为正数。

归纳规则：当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“-”号，使括号内第一项的系数变为正数。在提出“-”号时，多项式的各项都要变号。

活动2：探究多项式公因式

出示预学问题：a(x-y)+b(x-y)

学生展示预学成果，能识别(x-y)

作为整体是公因式，分解为(x-y)(a+b)

。

教师变式：a(x-y)+b(y-x)

提问：现在还有公因式吗？(x-y)

和(y-x)

有什么关系？

引导学生发现：y-x=-(x-y)

。因此，原式=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)

。

提炼重要策略：当多项式中出现互为相反数的代数式时，可通过提取负号，将其转化为相同的公因式。

设计意图：直接从上节课的遗留问题和预学任务切入，高效连贯。通过对不同解法的评析，让学生自己体会并接纳“首项系数为正”的优化约定。通过多项式公因式及其相反数形式的探究，攻克本节课最主要的认知难点。

（二）分层练习，综合应用（预计时间：20分钟）

本环节设计三个层次的练习，由浅入深，螺旋上升。

层次一：基础巩固（概念与步骤的直接应用）

1.找出下列多项式的公因式：

1.2.6x^3-9x^2

2.3.-4a^3b^2+6a^2b^3-2a^2b^2

3.4.3m(a-b)-2n(b-a)

5.分解因式：

1.6.-2x^3+4x^2-6x

2.7.3a(x-y)-2b(y-x)

（学生独立完成，同桌互查，巩固基本技能。）

层次二：能力提升（深化理解与灵活应用）

3.下列因式分解是否正确？若不正确，请改正。

*2a^2b-4ab^2+2ab=2ab(a-2b)

*-x^2+xy-xz=-x(x+y-z)

（旨在诊断常见错误，如“漏项”、“符号错误”。）

4.利用因式分解简化计算：

*23×7.8+39×2.2

（引导学生将数字进行因数分解，寻找公因数，体验因式分解在数值计算中的简便性。）

5.已知a+b=5,ab=3

，求a^2b+ab^2

的值。

（引导学生先分解因式：a^2b+ab^2=ab(a+b)

，再代入求值，体会因式分解在代数式求值中的应用价值。）

层次三：拓展探究（发展高阶思维）

6.思考与证明：对于任意正整数n

，3^(n+2)-3^n

一定是24的倍数吗？请说明理由。

（提示：3^(n+2)-3^n=3^n(3^2-1)=3^n·8

，需要进一步分析3^n

的奇偶性？引发深度思考，触碰数论边缘。）

设计意图：分层练习满足不同层次学生的需求。基础层确保全体学生掌握核心技能。能力层通过辨错、简便计算、求值等题型，深化对方法价值的理解。拓展层设计了一个具有挑战性和趣味性的问题，鼓励学有余力的学生进行探索，发展推理能力和探究精神。

（三）跨学科联系与实际问题解决（预计时间：10分钟）

活动3：跨学科情境问题

呈现一个简化的物理/经济模型问题：

物理情境：一个物体从静止开始做匀加速直线运动，在时间t

内通过位移s

，其动能E_k

与位移s

、质量m

、加速度a

的关系可表示为E_k=mas

。另一表达式为E_k=(1/2)m(2as)

。请利用因式分解的思想，说明这两个表达式在形式上如何通过提取公因式ma

联系起来。（虽不完全严谨，但旨在体现“提取公共因子”的思想在公式变形中的体现）

经济情境：某公司生产两种产品A和B，生产单位A产品需成本(2x+1)

元，生产单位B产品需成本(3x-2)

元。若某批次生产了A产品m

单位，B产品n

单位，则总成本C为：C=m(2x+1)+n(3x-2)

。能否将此成本表达式改写为以x

为变量的形式？C=(2m+3n)x+(m-2n)

。这个过程类似于将x

看作公因式进行“整理”，虽然不是严格因式分解，但体现了整理多项式的思想。

讨论：数学中的“提公因式法”思想，在其他领域有什么类似的体现？（如分配资源、合并同类项等）

设计意图：打破学科壁垒，展示数学思想的普适性。通过简单的跨学科例子，让学生感受到代数方法不仅是抽象的符号游戏，更是描述和理解世界的一种强大语言，强化学生的模型观念和应用意识。

（四）总结反思，架构体系（预计时间：5分钟）

活动4：绘制思维导图

引导学生以小组为单位，围绕“提公因式法”这一核心，用思维导图的形式总结两节课所学。关键词应包括：因式分解定义、公因式、确定方法（系数、字母、指数）、步骤（提、商）、注意事项（首项负号、多项式公因式、分解彻底）、与整式乘法的关系、应用（简化、求值）。

各小组展示并交流思维导图，教师进行点评和补充。

最终总结：教师强调，提公因式法不仅是一种代数变形技能，更是一种重要的“化归”思想——将复杂的和式转化为结构更简单的积式。它是我们打开因式分解大门的第一把钥匙，后续学习的公式法等方法，本质上是在寻找特定形式的“公因式”。鼓励学生在今后的学习中，保持这种“寻找公共结构”的数学眼光。

七、作业设计（分层、弹性）

A层（基础达标）：

1.完成教材配套练习中关于提公因式法的所有基础题。

2.自编3道能用提公因式法分解的多项式题目，并解答。

B层（能力提升）：

1.完成教材练习中的综合应用题。

2.探究：当多项式中的字母满足什么条件时，x^2-y^2

和x^2+y^2

都可以进行因式分解？（提示：在实数范围内和复数范围内思考）

3.查阅资料，了解因式分解在密码学（如RSA算法）中的一个简单应用原理介绍。

C层（实践拓展）（选做）：

寻找一个生活中或其它学科（物理、化学、地理等）中，可以用“提取公因素”（不一定是数学公因式）思想来简化描述或解决的问题，写一份简短的报告。

设计意图：作业设计体现分层与选择，尊重学生差异。A层巩固双基；B层提升思维，适度拓展知识边界；C层强调综合实践与跨学科联系，培养研究兴趣。

八、板书设计

主板书（左侧）：

核心素养导向的因式分解——提公因式法

一、概念

1.因式分解：多项式→几